IntroducciÓn A LAS Ecuaciones Diferenciales Parciales PDF

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1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

1.1 PRELIMINARES, NOTACIONES Y CONCEPTOS Una ecuación diferencial parcial (E.D.P) es una ecuación en la que intervienen una o más derivadas parciales de una función desconocida (variable dependiente) de dos o más variables independientes. Por ejemplo, )

)

 

)

)



−   = 

−3  





 

  

+ 

+2

+

 

 

 

 

 

+

 

 

=   

+ cos()

 



−   = 0 

= (, , )

Hay cierta comodidad en el uso de subíndices para denotar derivadas parciales. Por ejemplo,  =  , 

 =

  

,

 =

 =   



 



, etcétera.

Luego las ecuaciones diferenciales parciales mencionadas anteriormente pueden ser escritas, respectivamente como )  −   =  

)  − 3  +  + cos()  −   = 0 )  + 2 = 

) ℎ  + ℎ  + ℎ = (, , ) En general, una ecuación diferencial parcial que involucra varias variables independientes , , ⋯, una función desconocida  de estas variables, y las derivadas parciales  ,  , ⋯ ,   ,  , ⋯, de la función; se puede escribir en la forma , , ⋯ , , ,   , ⋯ ,  ,  , ⋯  = 0

El orden de una ecuación diferencial parcial es el orden de la derivada parcial más alta que aparece en la ecuación. Por ejemplo, si ,  son variables independientes,  = (,  ) es la función buscada, entonces ) 

 

−   = 0 es una E.D.P de primer orden. 

)   − 9  = 0 es una E.D.P de segundo orden Una ecuación diferencial parcial es lineal si es lineal en la función desconocida (variable dependiente) y sus derivadas parciales. Una E.D.P que no es lineal se llama no-lineal. Por ejemplo,   −  =  es una E.D.P lineal, mientras que    −  =  

es no-lineal a causa del término  , y

() ⁄  − 4 = 

es no-lineal a causa del término ( ) ⁄  .

Una ecuación diferencial parcial es cuasi-lineal si es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden. Por ejemplo, la ecuación de segundo orden   + 4  − ( ) +   = ()

es cuasi-lineal, pues es lineal en  y . Esta ecuación es no-lineal a causa de los términos (),  y ( ). Por supuesto, cualquier ecuación lineal es también cuasilineal. Una solución de una ecuación diferencial parcial es cualquier función que la satisface. Por ejemplo, la ecuación 4 + 3  +  = 0

(1.1)

tiene como solución (, ) =  ⁄ (3 − 4)

Para comprobarlo, hallamos   y  aplicando la regla de la cadena a (, ). Esto es   = − 1   ⁄ (3 − 4) +   ⁄  [(3 − 4)](3) 4   = −

de forma similar,

1  ⁄ (3 − 4) + 3  ⁄   (3 − 4)  4  = −4  ⁄   (3 − 4)

Al sustituir  ,   y  en ( 1.1) se tiene

4  + 3 +  = − ⁄ (3 − 4) + 12 ⁄  (3 − 4) − 12  ⁄  (3 − 4) +  ⁄ (3 − 4 ) = 0

La solución general de una ecuación diferencial parcial es una combinación lineal de todas las soluciones linealmente independientes de la ecuación con tantas funciones arbitrarias como el orden de la ecuación; una ecuación diferencial parcial de orden  tiene  funciones arbitrarias. Cualquier solución obtenida de esta solución general por selecciones particulares de las funciones arbitrarias se llama una solución particular. Es decir, una solución particular de una ecuación diferencial parcial es aquella que no contiene funciones arbitrarias. Con el propósito de adquirir algunas ideas relacionadas con la naturaleza de las soluciones general y particular de las ecuaciones diferenciales parciales, consideremos los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Encuentre todas las soluciones  = (,  ) de  =   +  .

Solución: Integrando con respecto a 

     = ( + )   (, ) =

 +  + () 3

donde () es una función arbitraria de .

Ejemplo 2: Encuentre la solución general de

 

=  + .

Solución: Integrando con respecto a , tenemos      = ( + )  (, , ) =  +

donde  es una función arbitraria de  y .

 + (, ) 2

Ejemplo 3. Hallar la solución de la ecuación diferencial parcial  



= 6 + 12 

(1.2)

Solución: Aquí la variable dependiente  depende de  y . Para hallar la solución, buscamos determinar  en términos de  y , es decir (, ). Para esto escribamos (1.2) como 



  = 6 + 12  

e integramos con respecto a  , manteniendo a  constante. 

 

(1.3)

     = (6 + 12  )   

= 3  + 12  + ()

(1.4)

siendo () arbitraria. Ahora integramos (1.4) con respecto a  manteniendo a  constante. 

  = [3  + 12  + ()]  

(, ) = 3   + 4  + ∫ () + ()

(1.5)

esta vez añadiendo una función arbitraria de  dada por (). Puesto que la integral de una función arbitraria de  es otra función arbitraria de , podemos escribir (1.5) como (, ) = 3   + 4  + ℎ() + ()

(1.6)

siendo ℎ() = ∫ () como la solución. Esto se puede verificar al sustituir en (1.2) y obtener la identidad.

Puesto que (1.2) es una E.D.P de segundo orden y (1.6) tiene dos funciones arbitrarias, podemos afirmar que (1.6) la solución general de (1.2). Ejemplo: 1.3. Resolver la E.D.P

  =  +  

sujeta a las siguientes condiciones: (1, ) = 2 − 4 ; (, −2) =  + 8. Solución: Escribimos la ecuación como

Integramos con respecto a  .

    =  +   



     = ( +  )     1  =  +   + ()  2

Ahora integramos con respecto a . 

1   =     +  + ()   2

(, ) =

1  1   +   +  () + () 2 4

Haciendo () = ∫ () , se obtiene

(, ) =    +    + () + () 



que es la solución general. Ahora como (1, ) = 2 − 4, tenemos 2  − 4 =

De donde

1 1 (1)  + (1)  + () + (1) 2 4

() = 2 − 4 −

1 1  −  − (1) 2 4

(1.7)

() = 2  −





−





  −  (1 )

Sustituyendo (1.8) en (1.7), se tiene (, ) =





   +    + 2  −   −    − (1) + () 



Usando la condición (, −2) =  + 8, tenemos +8 = De donde

(1.8) (1.9)



1  1 9 1  (−2) + (−2) + 2(−2) − (−2) − (−2) − (1) + () 4 2 4 2

() =   − 3 − 5 + (1)

Al sustituir (1.10) en (1.9) se obtiene (, ) =

(1.10)

1 9 1 1    +   + 2  −  −   − (1) +   − 3 − 5 + (1) 4 2 4 2

Luego la solución particular es (, ) =

1 9 1 1    +   + 2  −  −   +   − 3 − 5 4 2 4 2

1.2 SIGNIFICADO GEOMETRICO DE LAS SOLUCIONES GENERAL Y PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL Consideremos la E.D.P de dos variables independientes , .  , , ,

, ⋯ ,  , ⋯  = 0  

 

(1.13)

donde  es una función dada y  =  (,  ) es una función desconocida de sus variables , . Si la solución de (1.13) es, por ejemplo (, ) =  (,  ) +  () + ()

(1.14)

Supongamos que escogemos funciones particulares para () y (), y reemplazamos  por . Entonces (1.14) toma la forma

 = (, )

(1.15)

La cual se interpreta como una superficie en un sistema de coordenadas rectangulares (, , ) como se indica en la Figura 1.1

Figura 1.1

La superficie está formada por los puntos con coordenadas (, , ) que satisfacen (1.15). Para funciones arbitrarias () y (), se obtiene una familia de superficies cada miembro de la cual corresponde a una selección particular de () y (), es decir, una solución particular. La E.D.P que tenga esto como una solución se llama la ecuación diferencial de la familia de superficie. Obsérvese la analogía con las E.D.O’s en las cuales la solución general con constantes arbitrarias (en vez de funciones) representa una familia de curvas, donde cada miembro de ella corresponde a una solución particular, es decir, una selección particular de esas constantes arbitrarias. Estas ideas se pueden generalizar a los casos donde hay más de dos variables independientes. Así por ejemplo, en el caso donde  es una función de tres variables independientes, las cuales podemos denotar por  , ,   podríamos pensar como una solución particular de una E.D.P con estas variables, la dada por  = ( ,  , )

(1.16)

Esto no podría visualizarse geométricamente como la Figura 1.1. Sin embargo, podemos considerar un cuádruplo de números ( ,  , ) como representando a un punto en un espacio cuadridimensional y entonces referirnos a (1.17) como una superficie cuadridimensional o hipersuperficie. Por ejemplo,  +   +   =  representa una esfera de radio  centrada en (0,0,0) en el espacio tridimensional,  +  +  +   =

  representaría una hiperesfera de radio  centrada en (0,0,0,0) en un espacio cuadridimensional. Condiciones iniciales y de fronteras Como en el caso de la E.D.O’s, con frecuencia necesitamos resolver una E.D.P sujeta a condiciones dadas. Es decir, encontrar una función desconocida de una ecuación diferencial parcial que satisfaga condiciones dadas. Estas condiciones pueden ser condiciones iniciales y / o condiciones de frontera. Por ejemplo, la E.D.P

Con

 −  = 0, (, 0) =  , (0, ) = 0, (, ) = 0,

0 <  < ,

 > 0,

0 ≤  ≤ ,  > 0,

 ≥ 0,

 ≥ 0,

constituye un problema que consiste en una ecuación diferencial parcial y tres condiciones dadas. Físicamente, la ecuación describe la conducción de calor en una varilla de longitud  . La primera condición se conoce como la condición inicial que prescribe la función desconocida (, ) a lo largo de la región determinada en un cierto tiempo  inicial, en este caso  = 0. Las condiciones iniciales también se conocen como condiciones de Cauchy. Las dos últimas condiciones se denominan condiciones de frontera que describen la función en dos puntos de los límites prescritos. Debido a que generalmente hay una combinación de condiciones iniciales y frontera, con frecuencia nos referimos a tales problemas como problemas de valor de frontera. Matemáticamente hablando, el tiempo y las coordenadas espaciales son considerados como variables independientes. Las E.D.P que modelan sistemas físicos suelen tener un número infinito de soluciones. Para seleccionar la función que de manera única representa la solución a un problema físico; es decir, una solución particular, deben imponerse las condiciones iniciales y/o condiciones de frontera que posteriormente caractericen al sistema que está representado. Las condiciones de frontera se clasifican en las tres categorías siguientes:







Condiciones de frontera de dirichlet (también conocidas como condiciones de frontera

del primer tipo), cuando se prescriben los valores de la función desconocida  en cada punto de la frontera  de un dominio dado . Condiciones de frontera de Neumann (también conocidas como condiciones de frontera del segundo tipo), cuando se prescriben los valores de las derivadas normales de la función desconocida  en cada punto de la frontera . Condiciones de frontera de Robin (también conocidas como condiciones de frontera del tercer tipo, o condiciones de frontera mixtas), cuando se prescriben los valores de una combinación lineal de la función desconocida  y su derivada normal en cada punto de la frontera .

Los siguientes problemas son ejemplos de cada categoría:  =  , 0 <  < ,  > 0, (, 0) = (),  (, 0) = (), 0 <  < , (0,  ) =  (),  (, ) =  (),  > 0

 =  , 0 <  < ,  > 0, (, 0) = (),  (, 0) = (), 0 <  < ,  (0,  ) =  (),  (, ) =  (),  > 0

 =  , 0 <  < ,  > 0, (, 0) = (),  (, 0) = (), 0 <  < , (0,  ) +  (0,  ) = 0,   > 0. (, ) +  (,  ) = 0,

En el estudio de las E.D.P se dice que un problema está bien planteado si cumple los siguientes requisitos: ) Existencia: Hay por lo menos una solución al problema.

) Unicidad: La solución es única.

) Continuidad: La solución depende continuamente de los datos. Es decir, cambios pequeños en los datos producen cambios pequeños en la solución. Si alguna de estas condiciones no se satisfacen, se dice que el problema está incorrectamente planteado.

La forma de una E.D.P puede sugerir cierto método de solución, como en el siguiente ejemplo Ejemplo: 1.2. Resolver la ecuación 

   + =   

Solución: Escribamos la ecuación como

   +  =   

integramos con respecto a  ambos lados de la ecuación 

   +   =      

1  +  =   + ()  2

1  () =   + ()  2

Ahora, integramos con respecto a  ambos lados de la ecuación 

donde

 1 ()  =     + ()  2 

1  =    +  ()  + () 4 1 () () (, ) =   + +   4

es la solución general, con () = ∫ () Un tipo especialmente sencillo de E.D.P es aquella que puede resolverse por métodos de E.D.O usando una variable independiente a la vez, como en los ejemplos tratados anteriormente. Otro buen ejemplo es el siguiente

Ejemplo: 1.4. Resolver el problema de valor de frontera  



 + 2 , = 

(0, ) = 0,  (, 0) =  

Solución: Escribimos la ecuación como    =2 −  

Integramos con respecto a 

   −  = 2   

   −   =  2     −  = 2 + () 

la cual es una ecuación diferencial lineal con factor integrante   . Por tanto    −  = 2 + ()  

Integramos con respecto a  



() = 2  + () 

 ( )  = [2 + ()]  

 = −2 +  ()   + ()

Haciendo () = ∫ ()  , tenemos

(,  ) = −2 +   () +  ()

De (0,  ) = 0 encontramos () = − (0), así (1.11) queda

(1.11)

(,  ) = −2 −  (0) +  ()

Derivamos parcialmente con respecto a  , tenemos

(1.12)

 (, ) = −2 +  ()

Usando  (, 0) =   hallamos que

  = −2 +    ( )

O bien () =   + 2 Entonces

Así (1.12) queda

() =

1   + 2 +  3

(,  ) = −2 −  (0) +

1     + 2 +   3

Puesto que  = (0), encontramos que la solución particular es (,  ) = −2 +

Ejercicios 1.1

1     + 2  3

1. Clasifique cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales parciales como: lineal, no-lineal, cuasi-lineal o no cuasi-lineal. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

   +  = cos     +    +  = 2  =  + 2 +  ( − ) +   = 1 ( − ) + 2 = 4  =  +      −   = tan   +  −  = 4  + 3 +   =  

j) k) l) m) n)

 −   −  = 0   +  =   =  +    −   +   −    = 0  =   

2. Demuestre que (, , ) =

1

  +  +  

Es una solución de  +  +  = 0 para (, , ) ≠ (0, 0, 0).

3. Demuestre que (,  ) = ( + ) + ( − ) es una solución de  =  

para cualquier función dos veces diferenciable  y  de una variable,  es una constante positiva. 4. Demuestre que 1 1   ()  (, ) = [( + ) + ( − )] + 2  2

es una solución de  =   para cualquier  que es dos veces diferenciable y  que es diferenciable para todo real  .  es una constante positiva. Demuestre que esta solución satisface las condiciones para todo real  .

(, 0) = (),

(, 0) =  ()

5. Demuestre que (,  ) = ln[( −  ) + ( −  ) ]

satisface la ecuación de Laplace  +   = 0 para todo los pares (,  ) de números reales excepto ( ,  ). 6. Sea  y  soluciones de

(,  ) +  (,  ) +  (,  ) +  (,  )  +  (,  ) + (,  ) = 0

Demuestre que  +  es también una solución para cualquier número  y  .

7. Si una función (, ) se puede escribir como   (⁄ ) se llama homogénea de grado . Muestre que cualquier función homogénea diferenciable satisface la ecuación diferencial   +  =    Esto se llama el teorema de Euler sobre funciones homogéneas. 8. Obtenga la solución de los siguientes problemas de valor de frontera a) b) c) d) e)





(0,  ) = 0.

=  ;

   

 

  

  

 (, 0) = 0,  ,  = 0. 

=   cos ;



= 0;



 (0, ) = 3  ,  (, 1) =  

= 4 +   ;

= 3  + 2; 

9. (a) Resuelva 

 



 (0,  ) = , (, 0) = 2

 (0,  ) =   − 2, (, 0) =  + 3 

+





= 0.

(b) Determine la solución particular con la cual (, 0) =   + ,

(2,  ) = 3 

10. Muestre que si  =   +     (⁄) entonces  +  =    



11. Determine  para que  =          satisfaga  +  = .      





12. Muestre que la función (, , ) = (  +   +   )⁄  satisface la ecuación de Laplace.       =0 + +      13. Resolver el problema de valor de frontera







 = 2, +  

(1, ) = 20 cos 

14. a) Si  = ( ⁄ ) + ( ⁄ ) demuestre que    + 2 +     = 0    

 

 

b) Obtenga una solución a la E.D.P en a) que satisfaga las condiciones  = cos  para   = 1 y  =   para  =   

 

15. Suponga que en la E.D.P

+   = 0  

hacemos el cambio de variables de

coordenadas rectangulares (, ) a coordenadas polares (, ) de acuerdo a las ecuaciones de transformación  =  cos  ,  =  . a) Muestre que  ...