Nociones de ecuaciones diferenciales aplicadas a las ciencias empresariales PDF

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Trabajo semestral de cálculo II...

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FICHA DE IDENTIFICACIÓN DE TRABAJO

Título Autor

Nociones de Ecuaciones diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Gustavo A. Mollericon Coronel 52997

Fecha Carrera

Ingenieria Comercial

Asignatura

Calculo II

Grupo

B

Docente Periodo Académico Subsede

Ing. David Eduardo Ramos Alcázar I-2019 La Paz

Copyright © 2019 por Gustavo Andres Mollericon Coronel Todos los derechos reservados

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

RESUJMEN: Se denomina ecuación diferencial a una relación entre una función (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la función. Se denomina ecuación diferencial ordinaria a una ecuación diferencial en la que la función depende sólo de una variable. En este último caso, se dice que la ecuación está expresada en forma normal o explicita si la derivada de orden superior aparece despejada como función de todos los demás demás ingredientes de la ecuación. En caso contrario se dice que la ecuación está expresada en forma implícita. El uso de las ecuaciones diferenciales en el contexto de las finanzas es múltiple y variado, ya que este tipo de ecuaciones permiten modelizar cualquier situación o fenómeno que presenta variaciones en función de sus factores (por ejemplo, cambios y alteraciones a partir del tiempo). En este sentido, las ecuaciones diferenciales son especialmente útiles para la fijación de precios. Los métodos numéricos basados en ecuaciones en derivadas parciales no suelen ser muy populares en finanzas primándose el uso de los métodos estocásticos debido a que los algoritmos usando estos últimos suelen ser más fáciles de implementar. Palabra clave: Ecuación Diferencial

ABSTRACT: The differential equation is a relation between a function (sufficiently derivable), its variables and one or several successive derivatives of the function. An ordinary differential equation is called a differential equation in which the function depends only on one variable. In the latter case, it is said that the equation is expressed in normal or explicit form if the higher order derivative appears clear as a function of all the other ingredients of the equation. Otherwise, it is said that the equation is expressed implicitly. The use of differential equations in the context of finance is multiple and varied, since this type of equations allow modeling any situation or phenomenon that presents variations depending on their factors (for example, changes and alterations from time). In this sense, differential equations are especially useful for pricing. The numerical methods based on partial differential equations are not usually very popular in finance, and the use of stochastic methods is preferred because algorithms using the latter are usually easier to implement. Key words: Differential Equation

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

Tabla de contenido Capítulo I Introducción ...................................................................................................................1 Capitulo II Marco Teórico...............................................................................................................2 Capitulo III Definición del Problema .............................................................................................7 Capítulo IV Objetivos ......................................................................................................................9 4.1

Objetivo general ...............................................................................................................9

4.2

Objetivo especifico ............................................................................................................9

Capitulo V. Marco práctico ...........................................................................................................10 Capítulo VI. Conclusiones .............................................................................................................13 Capítulo VII. Recomendaciones ....................................................................................................13 Bibliografía .....................................................................................................................................14

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

INDICE DE ECUACIONES Ecuación 1. Forma Implícita de una función ................................................................... 2 2Forma Explícita .............................................................................................................. 2 3Ecuación diferencial de primer orden ............................................................................ 2 4Ecuación diferencial de primer orden de forma Explícita ............................................. 3 5Ejemplo 1 ........................................................................................................................ 3 6Ejemplo 2 ........................................................................................................................ 3 7Ejemplo 1 ........................................................................................................................ 4 8Ejemplo 2 ........................................................................................................................ 4 9Ejemplo 3 ........................................................................................................................ 4

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andrtes Mollericon Coronel

Capítulo I Introducción Una de las áreas de aplicación de las matemáticas más extendida en relación con la dirección y gestión, esto es, la dirección de empresas, se relaciona con los aspectos de: (i) identificación de funciones de producción y costos; (ii) delimitación de las variables, procesos y en general factores que constituyen las condicionantes principales; y (iii) establecimiento de tendencias que puedan aportar criterios en lo referente a escenarios futuros. En estas consideraciones se deben tener en cuenta, no pocas veces, soluciones para problemas que implican la optimización de recursos. Los cálculos sobre optimización por lo general se relacionan con aspectos de análisis marginal, determinación de puntos de equilibrio y de niveles óptimos de producción para una determinada unidad de productividad económica, o nivel de integración económico: individuo, hogar, institución o empresa. Ese punto óptimo de producción se relaciona con la igualdad entre costo marginal e ingreso marginal. Con el fin de establecer esas condiciones óptimas en equilibrio dinámico se pueden utilizar mecanismos de determinación de derivadas, las cuales constituyen un medio de determinación de los valores óptimos y de los valores extremos. Las derivadas, por referirse a funciones, sean estas lineales o no, representan más bien factores causales manifestados como vectores relacionados con causalidad. Para establecer los mecanismos de optimización por lo general se determina la función mediante la cual la variable dependiente o endógena es resultante de un conjunto de factores. Estos últimos constituirán las variables exógenas o independientes. De allí que las denominaciones sean: (i) función objetivo y (ii) variables de elección, en relación con la expresión matemática a trabajar y las variables o factores independientes que influyen en la detección de los puntos máximos o mínimos relativos se realiza mediante la igualación a cero de la primera derivada. Una vez detectados los puntos en los cuales la pendiente de la función es cero, se establece cuáles puntos son mínimos, máximos o de inflexión. La aplicación de las matemáticas a problemas económicos, esencialmente, consta de tres fases: 1. Traducir la información económica a lenguaje matemático para obtener de esta forma un modelo económico (este modelo puede ser una ecuación diferencial, una ecuación en diferencias, un sistema lineal o cualquier otra expresión matemática). 2. Tratamiento del modelo obtenido mediante métodos matemáticos, lo que lleva a una solución (o soluciones) en forma matemática del problema original. 3. Interpretar los resultados obtenidos en términos económicos. Intentar dar una solución a problemas económicos utilizando modelos matemáticos es una tarea difícil y bastante compleja ya que existen numerosos factores (tanto endógenos como exógenos) que rodean a los problemas económicos. Al ser la economía una disciplina social, en la mayoría de los casos se trabaja con “seres vivos” que son muy sensibles a variables no explicativas dentro de los modelos matemáticos utilizados, por tanto, tales modelos requieren ser validados y ajustados permanentemente ya que están sometidos a un fuerte grado de incertidumbre.

1 Asignatura: Calculo II Carrera: Ingeniería Comercial

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

Capitulo II Marco Teórico Comenzaremos con unas definiciones de carácter introductorio. Definición 1 Se denomina ecuación diferencial a una relación entre una función (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la función. Se denomina ecuación diferencial ordinaria a una ecuación diferencial en la que la función depende solo de una variable. En este último caso, se dice que la ecuación está expresada en forma normal o explicita si la derivada de orden superior aparece despejada como función de todos los demás ingredientes de la ecuación. En caso contrario se dice que la ecuación está expresada en forma implícita. Dada una ecuación diferencial (ordinaria o no): 1. Se denomina orden de la ecuación al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuación. Es obvio que toda ecuación en forma normal puede ser expresada en forma implícita. Lo contrario no siempre es factible. 2. Se denomina grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Si 𝑦 = 𝑦(𝑥) indica una función derivable hasta el orden que convenga, una ecuación diferencial ordinaria de orden 𝑛(𝑛 ∈ ℕ) en forma implícita es una expresión del tipo Ecuación 1. Forma Implícita de una función 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), … , 𝑦 𝑛 (𝑥)) = 0 mientras que expresada en forma explícita adopta la forma 𝑦 𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), … , 𝑦 𝑛−1(𝑥)) 2Forma Explícita Comentario: 

Como ya se anunció en la introducción, en este tema sólo se tratarán las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden las cuales, si no se dice lo contrario, se supondrán expresadas en forma normal.

No obstante, las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden expresarse también en forma diferencial 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ℎ(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 3Ecuación diferencial de primer orden

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Asignatura: Calculo II Carrera: Ingeniería Comercial

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

El paso de esta forma a la explícita (y recíprocamente) se efectúa simplemente poniendo 𝑔(𝑥,𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) = − ℎ(𝑥,𝑦).

4Ecuación diferencial de primer orden de forma Explícita Definición 2 Dada una ecuación diferencial ordinaria 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), … , 𝑦(𝑛)(𝑥)) = 0 (𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦 𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), … , 𝑦 𝑛−1(𝑥))) 1. Se denomina solución particular (o también integral particular o curva integral) de la ecuación en el intervalo 𝐼 ⊂ ℝ a una función 𝑦 ≡ 𝛷-(𝑥), derivable hasta el orden que convenga en 𝐼 , tal que

𝐹(, 𝛷 (𝑥); 𝛷 ′ (𝑥 ), … , 𝛷𝑛 (𝑥)) = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝛷 𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝛷(𝑥 ), 𝛷 ′ (𝑥), … , 𝛷𝑛−1(𝑥)) ; ∀𝑥 ∈ 𝐼

2. Se denomina solución general (o también integral general) de la ecuación en el intervalo 𝐼 ⊂ ℝ al conjunto de las soluciones (o integrales) particulares de la ecuación en dicho intervalo. Comentario: 

Geométricamente hablando, las soluciones de las ecuaciones diferenciales son curvas en ℝ2 . Atendiendo a la definición dada, si 𝑦 = 𝛷(𝑥) es una solución de una ecuación, dicha curva es, obviamente, graf 𝛷 .

No obstante, la curva en cuestión es, a menudo, difícil e incluso imposible de expresar analíticamente en forma explícita y, por tanto, las soluciones de las ecuaciones diferenciales se presentan con frecuencia en la forma de funciones definidas implícitamente, 𝛷(𝑥; 𝑦) = 0 Ejemplos 

Ecuación: 𝑦 𝑛 + 4y = 0.

Solución particular: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥.

Solución general: 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠2𝑥(𝐶1 , 𝐶2 𝑐𝑡𝑒𝑠. ). 5Ejemplo 1 

Ecuación: 𝑦 ′ =

𝑦2 1−𝑥𝑦

Solución general: 𝑥𝑦 = 𝑙𝑛𝑦 + 𝐶(𝐶𝑐𝑡𝑒. ) 6Ejemplo 2

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Asignatura: Calculo II Carrera: Ingeniería Comercial

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

Definición 3 Dada una ecuación diferencial de orden 𝑛 (ordinaria o no): 1. Se tiene un problema de valor inicial cuando se conocen los valores de la función (variable dependiente) y de sus derivadas hasta orden 𝑛 − 1 en un mismo punto. 2. Se tiene un problema de contorno cuando se conocen los valores de la función (variable dependiente) y/o de sus derivadas (como máximo hasta orden 𝑛 − 1) en diferentes puntos. Dar un problema de condiciones iniciales o de contorno para una ecuación diferencial puede permitir obtener una solución particular de la ecuación. Ejemplos: En el primero de los ejemplos anteriores: 

Problema de condiciones iniciales: 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1 1

Solución: 𝑦 = 2 sin 2𝑥 7Ejemplo 1 

Problema de contorno: 𝑦(0) = 1, 𝑦(𝜋/2) = 2

No tiene solución 8Ejemplo 2 

Problema de contorno: 𝑦(𝜋/8) = 0, 𝑦(𝜋/6) = 1

Solución: 𝑦 =

2 (sin 2𝑥 √3−1

− cos 2𝑥)

9Ejemplo 3 (Gracia Rivas & Román-Roy, 2008) Ecuación diferencial de primer orden para la función exponencial La función exponencial es igual a su propia derivada, y lo mismo es válido para cualquier producto de una función exponencial por una constante. Es fácil demostrar que ésas son las únicas funciones que satisfacen esa propiedad en todo el eje real. TEOREMA 8.1. Si C es un número real dado, existe una y sólo una función 𝑓 que satisface la ecuación diferencial 𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

para todo 𝑥 real 𝑦 que satisface también la condición inicial 𝑓(0) = 𝐶 . Esta función viene dada por la fórmula 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑒 𝑥 4

Asignatura: Calculo II Carrera: Ingeniería Comercial

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

Demostración. Es fácil comprobar que la función f(x) = Ce" satisface la ecuación diferencial y la condición inicial dadas. Tenemos que demostrar ahora que ésta es la única solución. Sea y = g(x) una solución cualquiera de este problema de valores iniciales: 𝑔′(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑔(𝑂) = 𝑐.

Queremos demostrar que 𝑔(𝑥) = 𝐶𝑒 𝑥 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑔(𝑥)𝑒 −𝑥 = 𝐶 . Consideremos la función ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑒 −𝑥 y demostremos que su derivada siempre es cero. La derivada de ℎ viene dada por ℎ′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)𝑒 −𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑒 −𝑥 = 𝑒 −𝑥[𝑔′(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝑂.

Luego, según el teorema de la derivada nula, ℎ es constante. Pero 𝑔(𝑂) = 𝐶 por lo que ℎ(𝑂) = 𝑔(𝑂)𝑒 0 = 𝐶 . Por tanto, tenemos ℎ(𝑥) = 𝐶 para todo x lo cual significa que 𝑔(𝑥) = 𝐶𝑒", como se deseaba demostrar. El teorema 8.1 es un ejemplo de teorema de existencia y unicidad. Nos dice que el problema de valores iniciales dado tiene una solución (existencia) y que tiene una sola solución (unicidad). El objeto de gran parte de la investigación en la teoría de las ecuaciones diferenciales es descubrir teoremas de existencia y unicidad para clases amplias de ecuaciones. Seguidamente comentamos un tipo importante que incluye la ecuación diferencial 𝑦′ = 𝑄(𝑥) y la ecuación 𝑦′ = 𝑦 como caso particular. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Una ecuación diferencial de la forma (8.5)

𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)

en donde 𝑃 y 𝑄 son funciones dadas, se denomina ecuación diferencial lineal de primer orden. Los términos que contienen la función incógnita 𝑦 y su derivada 𝑦′ aparecen como una combinación lineal de 𝑦 e 𝑦′. Las funciones 𝑃 y 𝑄 se suponen continuas en un cierto intervalo abierto 𝐼 . Vamos a buscar todas las soluciones y definidas en 𝐼 .

Consideremos primero el caso particular en el que el segundo miembro, 𝑄( x) es idénticamente nulo. La ecuación (8.6)

𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑂

se llama ecuación homogénea o reducida correspondiente a la (8.5). Resolveremos la ecuación homogénea y luego utilizaremos el resultado para resolver la ecuación no homogénea (8.5).

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Asignatura: Calculo II Carrera: Ingeniería Comercial

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

Si y no es nula en 1, la ecuación (8.6) es equivalente a la ecuación 𝑦′ = −𝑃(𝑥) 𝑦

(8.7)

Esto es, toda y no nula que satisfaga (8.6) satisface también (8.7) y recíprocamente. (Apostol, 1967) Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes Una ecuación diferencial de la forma 𝑦" + 𝑃1(𝑥)𝑦′ + 𝑃2(𝑥)𝑦 = 𝑅(𝑥)

se denomina ecuación lineal de segundo orden. Las funciones 𝑃 , y 𝑃2 que multiplican la función incógnita 𝑦 y su derivada 𝑦′ son los coeficientes de la ecuación. Para las ecuaciones lineales de primer orden, dimos un teorema de existencia y unicidad y determinamos todas las soluciones mediante una fórmula. Si bien existe un teorema de existencia y unicidad para la ecuación general lineal de segundo orden, no hay una fórmula que nos dé todas las soluciones, salvo en algunos casos particulares. En el Volumen II se expone un estudio de la ecuación lineal general de segundo orden. Aquí sólo tratamos el caso en el que los coeficientes 𝑃𝑙 y 𝑃2 son constantes. Cuando el segundo miembro 𝑅(𝑥) es idénticamente nulo, la ecuación se llama homogénea. La ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes fue la primera ecuación diferencial de un tipo general que se resolvió completamente. En 1743, Euler publicó una primera solución. Aparte de su interés histórico, esta ecuación se presenta en una gran variedad de problemas de aplicación, de manera que su estudio es de importancia práctica. Además, podemos dar fórmulas para todas las soluciones. (Apostol, 1967)

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Asignatura: Calculo II Carrera: Ingeniería Comercial

Título: Nociones de Ecuaciones de diferenciales aplicadas a las Ciencias Empresariales Autor: Gustavo Andres Mollericon Coronel

Capitulo III Definición del Problema ' dv v = − ' 2x dx, ln v = −x2 ⇒ v = e−x2. No ponemos ninguna constante de integración porque nos basta una solución. Sustituyendo v en (∗) queda u e−x2 − x = 0. Esta ecuación también es de variables separables: du = xex2 dx ⇒ u = ' xex2 dx = 1 2 ex2 + c. La solución es, por tanto, y = uv = e−x2 1 2 ex2 + c. Aplicación: El precio como función del tiempo Supongamos que las funciones de oferta y demanda de un bien son Qd = 12 − p, Qs = −6+2p. La tasa de cambio del precio respecto al tiempo (en días) es un tercio de la demanda excedente Qd − Qs. 1. Calcula la función p(t). 2. Calcula el precio esperado dentro de 2 días si el precio actual es p (0) = 4 C. 3. Calcula el precio esperado dentro de 10 días suponiendo p (0) = 4 C y, alternativamente, p (0) = 8 C. Interpreta el resultado. Solución: ´ 1) La tasa de cambio de precio es su derivada respecto al tiempo, luego el dato es que p = 1 3 (Qd − Qs) = 1 3 (12 − p + 6 − 2p) =6 − p. Tenemos, pues, una ecuación diferencial lineal. Para resolverla hace...