01. Lectura 1 EDA v9 - ecuaciones diferenciales aplicadas formulas PDF

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Lectura 1

Fundamentos diferenciales

1.1.

de

ecuaciones

Definici´ on de ecuaci´ on diferencial

En general, una ecuaci´on se refiere a una igualdad donde aparece alguna inc´ognita y se pretende obtener su valor de modo que satisfaga la igualdad. Agregar al concepto ecuaci´on la palabra diferencial hace intuir que se trata de una de un tipo de ecuaci´on que en que interviene los elementos del c´alculo diferencial e integral y efectivamente, resolver una ecuaci´on diferencial como (por ejemplo y ′ = y ) significa obtener una cierta funci´on y de modo que al sustituirla en la ecuaci´on original se mantenga la igualdad, es decir, que obtener funciones y cumplan ser iguales a su derivada. En la mayor´ıa de este curso estaremos trabajando con un tipo de ecuaciones diferenciales llamadas ordinarias las que se definen formalmente como: 9

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales 1.1 Definici´ on (ds) Una ecuaci´on diferencial ordinaria (EDO) es aquella que contiene una funci´on de una variable y sus derivadas respecto de dicha variable. Formalmente, dada una funci´on desonocida y : R −→ R que lleva x en y(x), la ecuaci´on F (x, y, y ′ , y ′′, . . . , y (n−1) , y (n) ) = 0 donde y (n) representa la derivada n-´esima de la funci´on y, es una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n. Por simplicidad de notaci´on usamos indistintamente y supondremos que la ecuaci´on ser´a de la forma

≡

y(x). Normalmente

F (x, y, y ′ , y ′′, . . . , y (n−1) ) = y (n) y diremos que est´a en forma expl´ıcita, mientras que la dada en la definici´on estar´a en forma impl´ıcita.

1.2.

Definici´ on ecuaciones diferenciales, ordinarias y parciales

A continuaci´on se presenta una distinci´on informal entre dos principales tipos de ecuaciones diferenciales: Las Ecuaciones diferenciales ordinarias o (EDO) son ecuaciones donde las derivadas se toman con respecto a una sola variable. Es decir, solo hay una variable independiente. Por ejemplo: dy = ky, dt dx d2 x + kx = f (t). m 2 +c dt dt

(Ley de Newton de enfriamiento) (Vibraciones mecanicas) 10

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales Las Ecuaciones diferenciales parciales o (EDP) son ecuaciones que dependen de derivadas parciales de funciones varias variables. Es decir, hay varias variables independientes.Por ejemplo: ∂y ∂y +c = 0, ∂t ∂x ∂u ∂ 2u = , ∂t ∂x2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = + 2. ∂y ∂t2 ∂x2

(Ecuaci´on de transporte) (Ecuaci´on de calor) (Ecuaci´on de onda en dos dimensiones)

La clasificaci´on anterior depende del tipo de derivadas y del n´umero de variables independientes, otra clasificaci´on que se puede presentar seg´ un el orden. El orden es simplemente el orden de la derivada m´as grande que aparece. Si la derivada m´ as alta que aparece es la primera derivada, la ecuaci´ on es de primer orden. Si la derivada m´ as alta que aparece es la segunda derivada, entonces la ecuaci´on es de segundo orden y as´ı sucesivamente. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton anterior es una ecuaci´ on de primer orden, mientras que la ecuaci´on de vibraciones mec´anicas es una ecuaci´on de segundo orden. La ecuaci´on que gobierna las vibraciones transversales en una viga, a4

∂ 4y ∂ 2y + 2 = 0, ∂x4 ∂t

es una ecuaci´on diferencial parcial de cuarto orden. No importa que las derivadas con respecto a t sean solo de segundo orden. Tambi´en se puede distinguir entre c´omo aparecen las variables dependientes en la ecuaci´ on. En particular, decimos que una ecuaci´ on es lineal si la variable dependiente y sus derivadas aparecen linealmente, es decir, como primeras potencias que no se multiplican entre ellas y no aparecen en otras funciones. En otras palabras, la ecuaci´ on es una suma de t´erminos, donde cada t´ermino es una funci´on de las variables independientes o alguna funci´ on de las variables independientes multiplicada por una de variable dependiente o su derivada. De lo contrario, la ecuaci´ on se llama no lineal. En particular, una ecuaci´on diferencial ordinaria es lineal si se puede poner en la forma:

an (x)

dy dn−1 y dn y + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = b(x). + a (x) n−1 n−1 n dx dx dx

(1.1) 11

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales Las funciones a0 , a1 , . . . , an se llaman coeficientes. Por ejemplo, ex

d2 y dy 1 + sin(x) + x2 y = 2 x dx dx

(1.2)

Es lineal, mientras que dy dy 1 + sin(y) + x2 y 2 = x dx dx dy 2 2 no lo es lineal ya que los t´erminos sin(y) dx y x y no son lineales respecto y . ex

1.3.

(1.3)

Soluci´ on de una ecuaci´ on diferencial

En cursos de c´alculo diferencia e integral es muy probable que se hayan resuelto ecuaciones diferenciales, por ejemplo y ′ = y o y ′′ = y que por simple inspecci´on se pueden suponer soluciones, para lo siguiente consideremos un ejemplo m´as complicado: dx + x = 2 cos t. dt

(1.4)

Aqu´ı x es la variable dependiente y t es la variable dependiente y es un ejemplo b´asico de una ecuaci´on diferencial de primer orden, ya que implica solo la primera derivada de la variable dependiente. Esta ecuaci´on surge de la ley de Newton de enfriamiento donde la temperatura ambiente oscila con el tiempo. Resolver la ecuaci´on diferencial significa encontrar x en t´erminos de t que la cumpla. Es decir, queremos encontrar una funci´ on de t, que llamaremos x, de modo que cuando se sustituya x(t) en eqrefeq1, la ecuaci´on se satisfaga. Siguiendo con el ejemplo, si se afirma que x = x(t) = cos t + sin t es una soluci´on la forma de verificarlo es calcular la derivada, encontramos que − sin t + cos t. Ahora calculemos el lado izquierdo de (1.4).

dx dt

=

dx + x = (− sin t + cos t) + (cos t + sin t) = 2 cos t. dt 12

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales Con lo que se verifica la igualdad con el lado derecho. La cuesti´on ahora es, ¿hay m´ as soluciones? Si, x = cost + sint + e−t es tambi´en una soluci´on como se muestra continuaci´on:

dx = − sin t + cos t − e−t . dt Nuevamente, sustituyendo en el lado izquierdo de (1.4)

dx + x = (− sin t + cos t − e−t ) + (cos t + sin t + e−t ) = 2 cos t. dt se verifica la ecuaci´on. De hecho, para esta ecuaci´on todas las soluciones se pueden escribir en la forma

x = cos t + sin t + Ce−t pora C constante. La obtenci´on de una soluci´ on de requiere de aclarar lo que entenderemos cuando digamos que un problema est´a bien planteado. 1.2 Definici´ on (Principio de Hadamard) Un problema se dice bien planteado seg´un Hadamard si satisface que 1. El problema admite soluci´on 2. La soluci´on es u´nica 3. La soluci´on depende de manera continua de los datos num´ericos del problema. Como hemos visto, una ecuaci´on diferencial no determina una ´unica soluci´on, por consiguiente no ser´ıa un problema bien planteado. Debemos agregar condiciones a nuestro problema para que sea bien planteado, de este modo aparecen condiciones iniciales, problemas de contorno, etc. 13

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales 1.3 Definici´ on (Problemas de valores iniciales (PVI)) ∈ R. Las siguientes relaciones Sea x0 ∈ (a, b), F : (a, b) × Ω → R e y0 , y01, . . . , y n−1 0 se denominan problema de valores iniciales F (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0 x ∈ (a, b) y(x0 ) = y0 y ′ (x0 ) = y 10 .. .

(1.5)

y (n−1)(x0 ) = y n−1 0

M´ as delante revisaremos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones. Este teorema nos dice que, para ciertas F , el problema (1.5) tiene una u´nica soluci´on alrededor de un entorno de x0 .

Particularmente, para el caso de ecuaciones diferenciales de primer orden, la definici´ on se reduce a la siguiente.

1.4 Definici´ on (PVI para ecuaciones de primer orden) La ecuaci´on general de primer orden tiene la forma F (x, y(x), y ′ (x)) = 0, donde F : (a, b) × Ω → R y Ω abierto de R2 . Con frecuencia asumiremos que y ′ se despeja de la relaci´on anterior, es decir que existe f : Ω′ → R, Ω′ abierto de R2 , tal que y ′ = f (x, y ). Bajo esta suposici´on, si (x0 , y0 ) ∈ Ω′ el problema de valores iniciales se escribe y′ = f (x, y) y(x0 ) = y0

14

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales

1.4.

Teorema de existencia y unicidad

Antes de invertir tiempo tratando de resolver una ecuaci´on diferencial dada, es conveniente saber qu´e soluciones existen realmente. Tambi´en podemos querer saber si existe s´olo una soluci´ on de la ecuaci´on que satisface la condici´on inicial dada esto es, cu´ ando sus soluciones son ´unicas. Consideremos como ejemplos los siguientes casos donde las condiciones anteriores no se cumple. No cumple existencia. El problema de valor inicial

y′ = x1 y(0) = 0 R no tiene soluci´on, porque ´esta no existe para y(x) = (1/x)dx = ln|x| + C en la ecuaci´ on diferencial en el punto x = 0. No cumple unicidad. Por otro lado, se puede f´ acilmente verificar que el problema de valor inicial √ y′ =2 y y(0) = 0 tiene dos soluciones diferentes y1 (x) = x2 y y2 (x) = 0 por lo tanto la soluci´ on no es u´nica pese a que cumplen la condici´ on de valor inicial. Como nuestran los ejemplos anteriores, antes de que podamos hablar de la soluci´ on de un problema de valor inicial, es necesario conocer si tiene una y solo una soluci´ on. Para resolver esta situaci´on se cuenta con el teorema siguiente que, en pocas palabras, el PVI tendr´a una y solamente una soluci´on definida cerca del punto x = x0 en el eje x, siempre que tanto la funci´on f como su derivada parcial ∂f sean continuas en el entorno ∂y del punto (x0 , y0 ) en el plano xy . 15

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales 1.1 Teorema (Existencia y unicidad de soluciones) Sup´ ongase que tanto la funci´ on f (x, y) y su derivada parcial ∂f son continuas en alg´ un ∂y rect´ angulo R en el plano xy que contiene el punto (x0 , y0 ) en su interior. Entonces, para alg´un intervalo abierto I conteniendo el punto x0 , el problema de valor inicial y′ = f (x, y) y(0) = 0 tiene una y s´olo una soluci´ on que est´a definida en el intervalo I . Note que en los dos ejemplos anteriores no se cumplen las condiciones del teorema anterior,√en el primer caso la funci´on f no es continua en x0 = 0 y en el segundo caso ∂2 y ∂f = ∂x = √1y no es continua en el mismo valor. ∂x

1.5.

An´ alisis del valor inicial

Ejemplo 1. En el caso de la ecuaci´on diferencial y ′ = y tanto la funci´on f (x, y ) = y son continuas en cualquier punto. As´ı, el como la derivada parcial ∂f ∂y teorema implica la existencia de una soluci´on ´unica para cualesquiera condiciones iniciales. Aunque el teorema u´nicamente asegura la existencia s´ olo que alg´un intervalo abierto contenga x = x0 , cada soluci´on y(x) = Cex en realidad est´a definida para toda x. Ejemplo 2. Para alguna constante A, analiza la existen y unicidad de la siguiente ecuaci´ on diferencial: y′ = y2, y (0) = A. Si asumimos que A 6= 0, entonces y no es id´entica a cero al menos en puntos x cerca 0. De este modo, podemos convertir la ecuaci´on inicial en + C, y equivalente x′ = y12 y por inspecci´ on encontramos que x = −1 y 1 1 y = C−x . Si y(0) = A, entonces C = A y as´ı y=

1 A

1 . −x

Si A = 0, entonces y = 0 es una soluci´on. 16

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales Si consideramos, por ejemplo A = 1, la solcuion diverge en x = 1 por lo que el intervalo que asegura el teorema anterior no es todos los reales. El siguiente ejemplo muestra que, si la funci´on f (x, y) y o su derivada parcial ∂f no ∂y satisfacen la hip´otesis de continuidad del teorema, entonces el problema de valor inicial puede no tener soluci´on o tener muchas, incluso un n´umero infinito, de soluciones. Ejemplo 3. Considere la ecuaci´on diferencial xy ′ = 2y

(1.6)

Aplicando el teorema anterior con f (x, y) = 2y/x y ∂f = 2/x, se concluye ∂y que la ecuaci´on 1.6 debe tener una soluci´ on u´nica cercana a cualquier punto del plano xy donde x 6= 0. De hecho, es inmediato que las soluciones serian en la forma y(x) = Cx2 Notemos satisface la ecuaci´on 1.6 para cualquier valor de la constante C y para todos los valores de la variable x. En particular, si x = 0 el respectivo problema de valor inicial con condici´on y(0) = 0 tendr´ıa una infinidad de soluciones. Obs´ervese que todas estas par´ abolas solucion pasan por el origen (0, 0), pero ninguna de ellas pasa por alg´un otro punto del eje y. Pero el problema de valor inicial con condici´on y(0) = y0 no tiene soluci´on si y0 6= 0. En suma, se tiene que los PVI de la ecuaci´on 1.6 se caracterizan en los siguientes casos: tiene una soluci´on u´nica en el entorno de (x0 , yo ) si x0 6= 0 carece de soluci´on si x0 = 0 pero y0 6= 0 tiene infinidad de soluciones si x0 = y0 = 0

1.6.

Ecuaciones diferenciales matem´ aticos

como

modelos

Los siguientes ejemplos ilustran el proceso de traducci´on de las leyes y principios cient´ıficos en t´erminos de ecuaciones matem´ aticas ecuaciones diferenciales. 17

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales Modelo 1: La ley de enfriamiento de Newton?? La raz´on de cambio de la temperatura T (t) respecto del tiempo t de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura A del medio ambiente. Esto es, dT = −k(T − A) dt donde k es una constante positiva. Notese que si T > A, entonces dT < 0, por lo que la dt temperatura es una funci´on decreciente de t y el cuerpo se est´a enfriando, pero si T < A, entonces dT > 0, por lo tanto la temperatura T est´a aumentando. dt As´ı, la ley f´ısica se traduce en una ecuaci´on diferencial. Si damos valores a k y A, podremos encontrar una f´ ormula expl´ıcita para T (t), y entonces ser´a posible predecir la temperatura que tendr´a el cuerpo. Modelo 2: La ley de Torricelli. Establece que la raz´on de cambio respecto del tiempo de un volumen V de agua en un tanque de drenado es proporcional a la ra´ız cuadrada de la profundidad y del agua en el tanque: √ dV = −k y dt

(1.7)

donde k es una constante.

Figura 1.1: La ley de drenado de Torricelli donde h =

k A

Si el tanque es un cilindro con paredes verticales y una secci´ on dy transversal de ´area A, entonces V = Ay, por lo que dV = A . dt dt En este caso la ecuaci´on 1.7 toma la forma √ dy = −h y dt

es una constante.

Modelo 3: Crecimiento poblacional. La raz´on de cambio respecto del tiempo de una poblaci´ on P (t) con tasas de natalidad y mortalidad constantes es, en muchos casos sencillos, proporcional al tama˜no de la poblaci´ on. Esto es, dP = kP (1.8) dt 18

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales donde k es la constante de proporcionalidad. Primero n´otese que cada funci´ on de la forma P (t) = Cekt

(1.9)

= kP , esto puede verificarse de la siguiente es una soluci´on de la ecuaci´ on diferencial dP dt manera: P ′ (t) = Ckekt = kCekt = kP (t) para todo n´ umero real t. Debido a que la sustituci´ on en la ecuaci´on 1.8 de cada funci´on de la forma dada en 1.9 produce una identidad, todas esas funciones son soluciones de la ecuaci´on1.8. = kP Entonces, aun si el valor de la constante k es conocido, la ecuaci´ on diferencial dP dt kt tiene una infinidad de soluciones de la forma P (t) = Ce , una para cada valor “arbitrario” de la constante C. Esto es com´un en las ecuaciones diferenciales. Es tambi´en afortunado, porque nos permite usar informaci´on adicional para seleccionar, entre todas estas soluciones, una en particular que se ajuste a la situaci´ on de estudio. Supongamos que hay 100 bacterias en el momento 0 y 200 bacterias 10 segundos m´as tarde. ¿Cu´ antas bacterias habr´ a 1 minuto desde el tiempo 0? = kP , pero no Como se mostr´o arriba P (t) = Cekt con C constante es soluci´on de dP dt se sabe cual es valor de C ni de k de modo que la soluci´on modele la situaci´on mostrada. Para encontrar estas constantes se consideran las condiciones que debe cumplir el modelo, P (0) = 100 y P (10) = 200, y sustituimos los valores como se muestra a continuaci´ on: 100 = P (0) = Cek0 = C, 200 = P (10) = 100 ek10 . Y as´ı C = 100 y 2 = e10k o equivalentemente

ln 2 10

= k ≈ 0.069, por lo tanto

P (t) = 100 e(ln 2)t/10 ≈ 100 e0.069t . Entonces, en t = 60, la poblaci´on es P (60) = 6400. Interpretando los resultados, nuestra soluci´on significa que debe haber exactamente 6400 bacterias en la placa a los 60 s? ¡No! Hicimos suposiciones que podr´ıan no ser verdaderas exactamente, solo aproximadamente. Si nuestras suposiciones son razonables, entonces 19

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales habr´ a aproximadamente 6400 bacterias. Adem´as, en la vida real P es una cantidad discreta, no un n´umero real. Sin embargo, nuestro modelo no tiene problemas para decir que, por ejemplo, a los 61 segundos, P (61) ≈ 6859.35 o en general, brindarnos la siguiente representaci´on grafica para poder analizar el comportamiento de la poblaci´on como se muestra a continuaci´on:

Figura 1.2: Crecimiento de bacterias en los primeros 60 segundos.

1.6.1.

Modelos matem´ aticos

El ejemplo anterior ilustra el proceso crucial del modelado matem´ atico (ver figurra 1.6.1), el cual involucra lo siguiente: 1. La formulaci´on en t´erminos matem´aticos de un problema del mundo real; esto es, la construcci´on de un modelo matem´ atico. 2. El an´ alisis o soluci´ on del problema matem´ atico resultante. 3. La interpretaci´on de los resultados matem´aticos en el contexto original de la situaci´on del mundo real. En el Modelo 3 de la poblaci´on, el problema en el mundo real es determinar su n´ umero en un tiempo futuro. Un modelo matem´atico consiste en una lista de variables (P y t) que describen la situaci´on dada, junto con una o m´as ecuaciones que relacionen esas variables (dP/dt = kP , P (0) = P0 ) que se conocen o asumen como ciertas. El an´alisis 20

Lectura 1: Fundamentos de ecuaciones diferenciales

Figura 1.3: Proceso del modelado matem´atico matem´atico consiste en resolver esas ecuaciones. Finalmente, se aplican estos resultados matem´aticos para tratar de dar una respuesta a la pregunta original en el mundo real. Como un ejemplo de este proceso, pensemos que la primera formulaci´ on del modelo matem´atico consiste en las ecuaciones dP/dt = kP , P (0) = 1000, que describen la poblaci´ on de bacterias del modelo anterior. Despu´es nuestro an´alisis matem´ atico consiste (ln 2)t/10 en encontrar la funci´on soluci´ on P (t) = 100 e como nuestro resultado matem´ atico. Para una interpretaci´on en t´erminos del mundo real, la poblaci´ on de bacterias, sustituimos t = 60 para obtener una predicci´ on de la poblaci´on de P (60) = 6400 bacterias despu´es de 60 segundos. Si, por ejemplo, esta poblaci´ on crece bajo condiciones ideales de espacio y alimento ilimitados, nuestra predicci´ on puede ser bastante exacta, en cuyo caso concluimos que el modelo matem´atico es adecuado para el estudio de esa poblaci´ on particular Sin embargo, en el Modelo 3 simplemente se ignora cualquier factor de complicaci´on que pudiera afectar nuestra poblaci´on de bacterias. Esto hace el an´alisis matem´atico bastante simple, aunque quiz´a no tan apegado a la realidad. Un modelo matem´atico satisfactorio est´ a sujeto a dos requerimientos contradictorios: debe ser suficientemente detallado para representar con relativa exactitud la situaci´on real, tambi´en suficientemente simple para hacer pr´ actico el an´ alisis matem´atico. Si el modelo es muy detallado, de tal manera que representa por completo la situaci´on f´ısica, entonces el an´alisis matem´ atico puede ser dif´ıcil de aplicar. Si, por el contrario, el modelo es muy simple, los resultados pueden ser tan imprecisos que no ser´ıan ´utiles. De este modo, hay una inevitable necesidad de equilibrar en...