Sistemas de Ecuaciones lineales PDF

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Unidad 1: Sistemas de Ecuaciones lineales. Método de Gauss. Sistemas de ecuaciones lineales: Una ecuación lineal tiene la forma: ax by cz dt

n

x, y , z , t son las incógnitas, a , b , c, d son los coeficientes, y n es el término independiente.

2x

3

0x

4

0x

0

3 La ecuación tiene una única solución. 2 El “cero” no puede pasar dividiendo. ¿Existe algún número que multiplicado por cero de 4 como resultado? No. La ecuación no tiene solución. El “cero” no puede pasar dividiendo. ¿Existe algún número que multiplicado por “cero” de “cero” como resultado? Si, cualquier número, por tanto la ecuación tiene infinitas soluciones. Decimos que la solución es x λ , con λ R . x

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales dadas conjuntamente para obtener las soluciones comunes a todas ellas.

Determinados (una única solución) S.C.D. Compatibles (con solución) S.C.

Sistema de ecuaciones lineales S.E.L.

Indeterminados (infinitas soluciones) S.C.I.

Incompatibles (sin solución) S.I.

2x y z 4  Concepto de combinación lineal: Ejemplos: Dado el S.E.L. 3x 2 y z 1. x y z 5  Una combinación lineal de las ecuaciones E1 , E 2 y E 3 es una nueva ecuación que se obtiene al multiplicar cada ecuación por un número y después sumar los resultados, por ejemplo: 2 E1 7 E2 4 E3

1

3E

Una combinación lineal de E1 y E2 es, por ejemplo:

1

4E

2

Una combinación lineal es una nueva ecuación que se obtiene al multiplicar cada ecuación por un número y después sumar los resultados. En un S.E.L. si una ecuación es combinación lineal de otras, se puede suprimir, ya que no aporta información. Diremos que un conjunto de ecuaciones son linealmente independientes cuando no se puede expresar ninguna ecuación como combinación lineal de las restantes. Una ecuación es combinación lineal de otras

Se puede suprimir dicha ecuación.

Las ecuaciones son linealmente dependientes.

Ninguna ecuación es combinación lineal de otras

No se puede suprimir ninguna ecuación.

Las ecuaciones son linealmente independientes.

Al resolver un sistema nos tenemos que quedar con las ecuaciones que no se pueden expresar como combinación lineal del resto, es decir, con las ecuaciones que sean linealmente independientes. Sistemas escalonados. Se resuelven de “abajo” a “arriba”

x 3 y 2 z 7  5y z 6   3 z 12  x    

z 12 / 3

2y

t

y

z 8 z 3t 11

x y z t   y z 2t

5

t

λ

t

λ y z 

z 11 - 3λ

4 3

y 3 

2λ

En los sistemas escalonados, no sobra ninguna ecuación, ninguna ecuación es combinación lineal del resto, los sistemas están formados por ecuaciones linealmente independientes.

Método de Gauss. Sirve para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales. Consiste en transformar un sistema en otro sistema escalonado, y resolver éste último. Procedimiento:

2

- Se sustituye una ecuación por una combinación lineal de ella y de otra ecuación. - Se empieza haciendo “ceros” en la primera columna, después se pasa a la segunda columna y así sucesivamente. - Para hacer “ceros” en la primera columna, siempre uso la primera ecuación, para hacer ceros en la segunda columna uso la segunda ecuación y así sucesivamente.

2 E 3E significa que sustituyo la 2ª ecuación por la combinación - La notación E2 1 2 lineal que resulta al multiplicar la 1ª ecuación por “2” y la 2ª ecuación por “-3”.

ax by   Para hacer ceros: cx dy  E2    

ax by   aE2  my     

cE1

1º Paso Para hacer ceros = en la primera = columna, usamos = la primera ecuación, que no = se modifica.

0 0

0

0

0

3º Paso Para hacer ceros = en la tercera = columna, usamos = la tercera ecuación, que no = se modifica

= 0 0

=

0

=

=

2º Paso Para hacer ceros en la segunda columna, usamos la segunda ecuación, que no se modifica.

Y así sucesivamente…

Fundamento teórico del Método de Gauss: Dos sistemas son equivalentes, cuando tienen las mismas soluciones.

Aplicando cualquiera de las siguientes transformaciones a un sistema se obtiene uno equivalente. 1) Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de cero. 2) Sumar a una ecuación otra del sistema. 3) Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema. 4) Sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella y de otra ecuación, siempre y cuando el número que multiplica a la ecuación que se sustituye sea distinto de cero

3

Al finalizar el proceso, o en algún paso intermedio podemos encontrarnos con uno de los siguientes casos: a) Una fila de ceros, corresponde a una ecuación que no aporta información y por tanto podemos prescindir de ella.

0 0  0 0

sistema

x 0 y 0

t 0

0

Cuando esto sucede es porque en el sistema inicial la ecuación correspondiente es combinación lineal de las ecuaciones anteriores. b) Dos filas iguales o proporcionales, podemos suprimir una de ellas.

        5 0 1 2 3  0 2 4 6 10  

sup rimimos la última

         0 1 2 3 5  

3) Una fila de ceros salvo el último número, el que corresponde al término independiente:

0 0  k0

0

sistema

x 0 y 0

t 0k

0

la ecuación no tiene solución, y por tanto se trata de una sistema incompatible, S.I.

En general podemos afirmar que en un sistema de ecuaciones lineales el número de ecuaciones y el número de incógnitas, no tiene nada que ver con el número de soluciones, el único resultado cierto es: Un sistema en el que haya más incógnitas que ecuaciones no puede ser compatible y determinado.

Ejemplo 1: 2x y 3z 2    3 x 2 y z 13  5x 4y 2z 4 

2x y 3z 2    3 x 2 y z 13 E2  5x 4y 2z 4 E 3 

Empezamos haciendo “ceros” en la primera columna, para ello usamos la primera “ecuación”

 2x y 3z  3 E1 2 E2  7 y 11z 5E 1 2E 3  3 y 11z

2 32 2

4

Ya hemos hecho “ceros” en la primera columna, a continuación hacemos ceros en la segunda columna, para ello usamos la segunda ecuación. Antes cambiamos de signo la tercera ecuación.

 2x y 3z   7 y 11z  3 y 11z 

 2x y 3z   7y 11z E3  3 y 11z

2 32 2 E3

2 32 2 E3

3 E2

2  2x y 3z   7 y 11 z 32 7 E1  110 z 110

Ya los hemos transformado en un sistema de Gauss, resolvemos de abajo hacia arriba: 2  2 x y 3z   7 y 11 z 32  110 z 110 

7y

32 11

110 1 110 E 2 : 7 y 11 z 32

De E 3 :110 z 110 Sustituimos en 7y

Sustituimos en E 3

21

x: 2 y

y

z3

21 7 2

3

z

y

z

1

7 y 11 1 32

3

2 x2 3 3 2 x2 ( 3) 3 1 2 x6 2 2 x 6 2 2 x 4 x 4 2 x 2 2 La solución del sistema es x 2, y 3, z 1 el sistema tiene una única solución → se trata de un sistema compatible determinado →S.C.D. En las ecuaciones del sistema inicial no sobraba ninguna, ninguna es combinación lineal del resto, las ecuaciones son linealmente independientes.

Ejemplo 2:

 x 3y 7z  z  5x y x 4 y 10 z 

 x 3y 7z  z  5x y 1x 4 y 10 z 

10 8 11

Empezamos haciendo ceros en la primera columna, para ello usamos la primera ecuación:

10 8 E2 11 E3

5E1 E2 E1 E3

7z x 3 y   14 y 34 z  7 y 17 z 

10 42 21

Si observamos la segunda ecuación todos los coeficientes y el término independientes son divisibles entre “2”, por tanto podemos dividir la segunda ecuación por 2 y trabajar con números más pequeños:

7z x 3y   14 y 34 z  7 y 17 z 

10 42 E 2 21

1 E 2 2

7z x 3y   7 y 17 z  7 y 17 z 

10 21 21

5

Vemos que las ecuaciones E2 y E 3 son idénticas, por tanto podemos suprimir E3 ya que no me aporta información, con lo que obtenemos el sistema: 10 x 3y 7z , se trata de un sistema con infinitas soluciones, S.C.I., para  21  7 y 17 z resolverlo hacemos z λ y sustituimos en E 2 : 7y 17 λ 21 7 y 21 17 λ

y

21 17 λ , 7

z λ 21 17 λ en la primera ecuación: sustituyendo  y  7 y    z  63 51 λ  21 17 λ  E1 : x 3  x 7 7 λ 10 10 λ  7 7   7x 7

63 51 λ 7

49 λ 7

7 x 70 63 51 λ

70 7

49 λ

7x

63 51 λ

7 x7 2 λ

49 λ 70

x

7 2 λ 7

El sistema tiene infinitas soluciones, que son de la forma: x

7 2 λ , 7

y

21 17 λ , 7

z

λ con λ

R.

Se trata de un S.C.I. El hecho de suprimir la tercera ecuación, nos indica que en el sistema inicial la tercera ecuación era combinación lineal de las dos primeras.

Ejemplo 3:  2x y  3x 5 y    x 6y  12x 7 y

 2   3  1   12 

6

En este caso prescindimos de las incógnitas:

4 10 9

1 6  5 4 6 10  7 9

Hacemos ceros en la 1ª columna, usamos para ello la primera ecuación:

6

      

2 3 1 12

1 5 6 7

  3E 1 2E 2  E1 2 E3   6E1 E4 

6  4 E 2 10 E3  9 E4

2 0 0 0

1 13 13 13

6  26  26   27 

Podemos dividir E 2 y E3 por “13”:

 2 2 1 6 1    1 E 13 26 E2 1 0 13 2  0   0 1 13 26 E 3 0 1 E  13 3    0 13 27 13  0  columna, usando la segunda ecuación:       

2 0 0 0

1 1 1 13

6  2 2 E 3  27  E 4

E2 13E 2

   E3   E 4 

2 0 0 0

1 1 0 0

6  2 2 27

hacemos ceros en

la segunda

6  2 0  1

Al pasar a sistema, la tercera ecuación: E3 : 0 x 0 y 0 la puedo suprimir, y la última 1 No tiene solución, estamos ante un sistema incompatible queda: E4 : 0x 0y S.I.  2  2 1 6 1 6     5 4  3  0 1 2 Nota: De  hemos pasado a  . 1 6 10  0 0 0      12  0 0 1 7 9    En el sistema inicial sobra la tercera ecuación, es combinación lineal de las dos primeras, las otras tres ecuaciones: E1 , E2 y E4 son independientes.

 2x y   3x 5 y   x 6y  12x 7 y

6 4 10 9

    c.l. de E 1 y E 2  

E1, E 2 y E 4 son l.i.

Nos quedamos con: 2 1 6    0 1 2   1 0 0

2 x y 6  y 2   0y 1 

El sistema es incompatible al serlo la última ecuación.

7

= = = =

0 0

0

0

0

1º Paso Para hacer ceros en la primera columna, usamos la primera ecuación, que no se modifica.

3º Paso Para hacer ceros = en la tercera = columna, usamos = la tercera ecuación, que no = se modifica

0 0 0

2º Paso Para hacer ceros en = la segunda columna, = usamos la segunda = ecuación, que no se modifica. =

Y así sucesivamente…

8...