Sistemas ecuaciones Lineales PDF

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Sistemas de ecuaciones lineales y adyacentes, para poder entender el sistema elecrtico...

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24/10/21 11:30

exact (x+2y-2)dx+(2x-y+3)dy=0 - Calculadora de ecuaciones diferenciales exactas - Symbolab

Solución

( x + 2y − 2 ) dx + ( 2x − y + 3 ) dy = 0: y = 3 + 2x − √ 5x2 + 8x + 9 − c1 , y = 2x +√ 5x2 + 8x + 9 − c1 + 3

Pasos (x + 2y − 2 )dx + ( 2x − y + 3 ) dy = 0

Solve exact:

y = 3 + 2x −

√ 5x2 + 8x + 9 − c1

, y = 2x +

√ 5x2 + 8x + 9 − c1

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+3

( x + 2y − 2 ) dx + ( 2x − y + 3 ) dy = 0 Ecuación diferencial exacta Una EDO de la forma M ( x, y ) + N ( x, y ) y′ = 0 es una ecuación diferencial exacta si se cumple lo siguiente: 1. Si existe una función Ψ ( x, y ) tal que Ψx ( x, y ) = M ( x, y ) , Ψy ( x, y) = N( x, y ) 2 2 2. Ψ ( x, y ) tiene derivadas parciales continuas: ∂M ( x, y) = ∂ Ψ ( x, y ) = ∂ Ψ ( x, y ) = ∂N ( x, y )

∂y

∂y∂x

∂x∂y

∂x

Sea y la variable dependiente. Dividir entre dx:

x + 2y − 2 + ( 2x − y + 3 ) dy = 0 dx

Sustituir dy con y′ dx

x + 2y − 2 + ( 2x − y + 3 ) y′ = 0

La ecuación tiene la forma de una ecuación diferencial exacta

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Si las condiciones se cumplen, entonces Ψ x+ Ψ y· y′ = dΨ( x, y ) = 0 dx La solución general es Ψ (x, y ) = C

( ) ( ) Vericar que ∂M x, y = ∂N x, y : ∂x ∂y Calcular ∂M : ∂y

Verdadero

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2

( x + 2y − 2 ) ′ Tratar x como constante

Aplicar la regla de la suma/diferencia:

(f ± g )′ = f ′ ± g′

= x′ + ( 2y) ′ − 2′

x′ = 0

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https://es.symbolab.com/solver/exact-differential-equation-calculator/exact %5Cleft(x%2B2y-2%5Cright)dx%2B%5Cleft(2x-y%2B3%5Cright)dy%3D0?… 1/3

24/10/21 11:30

exact (x+2y-2)dx+(2x-y+3)dy=0 - Calculadora de ecuaciones diferenciales exactas - Symbolab

( 2y) ′ = 2

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2′ = 0

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=0+2−0 Simplicar

=2

Calcular ∂N : ∂x

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2

Verdadero

2

2

2

2

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Ψ ( x, y ) = 3y − y + 2xy + x − 2x + c1

Encontrar Ψ ( x, y ) :

Ψ (x, y ) = c2 2 2 3y − y + 2xy + x − 2x + c1 = c2

2

2

Combinar las constantes 2 2 3y − y + 2xy + x − 2x = c1

2

2

Despejar y:

y = 3 + 2x −

√ 5x2 + 8x + 9 − 2c1

, y = 2x +

√ 5x2 + 8x + 9 − 2c1

+3

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2 2 3y − y + 2xy + x − 2x = c1

2

2

Multiplicar ambos lados por 2 2 2 3y · 2 − y · 2 + 2xy · 2 + x · 2 − 2x · 2 = c1 · 2

2

2

Simplicar 2

2

6y − y + 4xy + x − 4x = 2c1 Restar 2c 1 de ambos lados 2

2

6y − y + 4xy + x − 4x − 2c1 = 2c1 − 2c1 Simplicar 2

2

−y + ( 6 + 4x ) y + x − 4x − 2c1 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

y1, 2 =

− ( 6 + 4x ) ±

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√ ( 6 + 4x ) 2 − 4 (−1 ) (x 2 − 4x − 2c 1 ) 2 ( −1 )

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