Ejercicios Resueltos Sistemas de Ecuaciones Lineales PDF

Preview

Summary

Ejercicios de ecuaciones lineales aplicadas...

Description

Encabezado: EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejercicios Sistemas de Ecuaciones Lineales Actividades y Rúbrica de Evaluación – Tarea 1 – Presaberes

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

Nombre del Tutor Curso: Programación Lineal Código: 100404

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Vicerrectoría Académica y de Investigación 2020

1

Encabezado: EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio No. 1 Sistemas de ecuaciones lineales: Sea el sistema de ecuaciones lineales de 2x2 9𝑥 + 2𝑥 = 0 {2𝑥1 1− 5𝑥2 2= 17

(1) (2)

Determine la solución por el método gráfico del sistema de ecuaciones lineales (2*2), mediante su representación gráfica y resultados de 𝑥1 𝑦 𝑥2. Solución del sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico. 

Primero, procedemos a despejar la misma variable en ambas ecuaciones (1 y 2) {



9𝑥1 2 2𝑥1 − 17 → 𝑥2 = 5

9𝑥1 + 2𝑥2 = 0 →

2𝑥1 − 5𝑥2 = 17

𝑥2 = −

Calculamos los puntos de corte de las dos funciones con los ejes “X” y “Y” para representarlas en el Plano Cartesiano. 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝟏) 𝟗𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎

𝑆𝑖 𝑥1 = 0 → 9(0) + 2𝑥2 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑥2 = 0 2𝑥2 = 0 → 𝑥2 = 0

𝑆𝑖 𝑥1 = 1 → 9(1) + 2𝑥2 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑥2 = −4.5 𝒙𝟏

2𝑥2 = −9 → 𝑥2 = −

0

𝒙𝟐 = −

1

-4.5

0

𝟗𝒙𝟏 𝟐

9 → 𝑥2 = 4.5 2 Punto (0,0) (1,4.5)

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 (𝟐) 𝟐𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 = 𝟏𝟕

𝑆𝑖 𝑥1 = 0 → 2(0) − 5𝑥2 = 17 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠,

2

Encabezado: EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3

17 −5𝑥2 = 17 → 𝑥2 = − 5 𝑆𝑖 𝑥1 = 1 → 2(1) − 5𝑥2 = 17 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 2 − 5𝑥2 = 17 → 𝑥2 = −

𝒙𝟏 0 1

𝒙𝟐 =

𝟐𝒙𝟏 − 𝟏𝟕 𝟓 17 5 -3

−

15 → 𝑥2 = −3 5 Punto (0, − ) 17 5

(1,-3)



Procedemos a Graficar y la solución del sistema es el punto donde las rectas se cortan:



Como gráficamente, a simple vista no podemos determinar el valor de 𝑷𝟎, igualamos las dos ecuaciones que definen estas dos rectas, posteriormente despejamos la variable:

Encabezado: EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4

2𝑥1 − 17

9𝑥1 =− 2 2(2𝑥1 5− 17) = 5(−9𝑥1 ) 4𝑥1 − 34 = −45𝑥1 4𝑥1 + 45𝑥1 = 34 49𝑥1 = 34 𝑥1 =

34 49

Es así que concluimos que el valor de la coordenada en el Eje X del punto de intersección es 𝑥1 = 49. 34

Si sustituimos el valor de 𝑥1 en la ecuación (1) tenemos: 9𝑥1 + 2𝑥2 = 0

34 9 ( ) + 2𝑥2 = 0 49 306 + 2𝑥2 = 0 49 2𝑥2 = − 𝑥2 = −

306 49

153 49

Es así que concluimos que el valor de la coordenada en el Eje Y del punto de intersección es: 𝑥2 = −

153 49

Por lo tanto, concluimos que el punto de intersección entre las rectas dadas por las ecuaciones (1) y (2) es 𝑷𝟎 = ( , − 𝟑𝟒

𝟒𝟗

𝟏𝟓𝟑 𝟒𝟗

), a lo cual determina que la solución del sistema de ecuaciones

lineales propuesto es 𝑥1 = 49 y 𝑥2 = − 34

153 . 49

Encabezado: EJERCICIOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejercicio No. 2 Sistemas de ecuaciones lineales: Sea el sistema de ecuaciones lineales de 3x3 − 4𝑥 = 3−18 −8𝑥5𝑥 = −12 1 +1 3𝑥 2 −2 5𝑥 { 4𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 12

Determine la solución por el método de eliminación de Gauss Jordan del sistema de ecuaciones

lineales mediante su forma matricial, con todas sus operaciones y los resultados de 𝑥1, 𝑥2 𝑦 𝑥3. 

Llevamos la matriz ampliada a la forma escalonada reducida:

4 0 − 18 5⁄ 𝟏 −4 ⁄ 𝟓 −4 0 −18 0− 18 5 ⁄ 𝐹2−(𝐹1×−8) 𝟏 − 5⁄ 𝐹1÷5 5 | − 204⁄) (−8 3 −5| −12) → (−8 3 −5| (0 −17⁄ −5 −12) → 5 5 12 4 −1 3 12 4 −1 3 12 4 −1 3 𝟏 − 4 5⁄ 𝐹3−(𝐹1×4) 0 −𝟏𝟕⁄𝟓 → 0 11⁄5 ( 𝟏 − 4 5⁄ 0 𝟏

(0

0

0 − 18⁄ 5 204 −5| − ⁄5 132 3 ⁄5

)

𝐹2÷(−17⁄ 5)

→

0 − 18⁄ 𝟏 − 4 5⁄ 5 𝐹3−(𝐹2×11⁄ 5) 0 𝟏 25 17 ⁄ | 12 → 132 ⁄ 3 0 11⁄5 5 ( )

0 4 0 − 18 ⁄ 𝐹2−(𝐹3×25 − 18⁄5 𝐹3÷(−4⁄ ) 𝟏 − 5⁄ ⁄ 17) 5 17 25 ⁄ | → (0 12 12 ) → ⁄ | 𝟏 25 17 17 −𝟒 ⁄ 0 0 ) 0 0 𝟏 𝟏𝟕 ⁄ 0− 18 5⁄ 𝐹1−(𝐹2×−4⁄ 5) 𝟏 0 06 𝟏 −4 5 (0 𝟏 0 | (0 𝟏 0| 12) 12 ) → 0 0 𝟏 0 0 0 0 𝟏

Al hacer la sustitución regresiva tenemos que𝑥1 = 6, 𝑥2 = 12 , 𝑥3 = 0, luego la solución

general viene dada por:

𝑥1 6 [𝑥2 ] = [ 12] 𝑥3 0 El sistema es compatible determinado (tiene una única solución).

5...