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Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Herramientas Matemáticas I Álgebra

Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas tiene la estructura siguiente: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑓 { ℎ𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑘𝑧 = 𝑔 𝑙𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑛𝑧 = 𝑟 Donde a, b, c, d, e, f, g, h, k, l m, n y r son constantes. La solución son los valores de x, y y z que cumplen simultáneamente las tres ecuaciones del sistema, es decir, el par ( x, y, z), que satisface las tres ecuaciones.

Resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas Para resolver un sistema de ecuaciones se procede de manera similar a la resolución del sistema de dos incógnitas, teniendo en cuenta que el conjunto solución, si existe, debe estar compuesto por ternas ordenadas (x, y, z). Una de las formas de resolución es transformar un sistema de tres ecuaciones a un sistema de dos ecuaciones.

1) Método de sustitución Resolvamos el siguiente sistema con el método de sustitución: 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 𝐼) { 𝑥 − 𝑧 = −2 𝐼𝐼) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 𝐼𝐼𝐼) Despejamos una de las incógnitas de cualquiera de las tres ecuaciones; en este ejemplo, conviene despejar la x de la segunda ecuación.

2

𝑥 = −2 + 𝑧

Ecuación II):

Una vez despejada la incógnita x de la ecuación II), sustituimos su expresión en las ecuaciones restantes: {

2. (−2 + 𝑧) − 𝑦 + 𝑧 = 3 (−2 + 𝑧) + 𝑦 + 𝑧 = 6

Operamos algebraicamente: {

−4 + 2𝑧 − 𝑦 + 𝑧 = 3 −2 + 𝑧 + 𝑦 + 𝑧 = 6

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: {

−𝑦 + 3𝑧 = 7 𝐼) 𝑦 + 2𝑧 = 8 𝐼𝐼)

Ahora resolvemos por el método de sustitución. Despejamos la variable y de la ecuación II): 𝑦 = 8 − 2𝑧 Sustituimos en la ecuación I) por la expresión anterior: −(8 − 2𝑧) + 3𝑧 = 7 Resolvemos la ecuación:

−8 + 2𝑧 + 3𝑧 = 7 5𝑧 = 15 𝑧=3

Ahora hallamos el valor de y reemplazando el valor de la incógnita z: 𝑦 = 8 − 2.3 𝑦=2 Teniendo los valores de las variables y y z solamente falta calcular el valor de la variable x. Como calculamos anteriormente: 𝑥 = −2 + 𝑧 Reemplazamos z por 3:

3

𝑥=1

Por lo tanto, la solución del sistema la expresamos como 𝑆 = {(1; 2; 3)}

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales Al igual que en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas, se podría haber presentado una situación de indeterminación o incompatibilidad.

Sistemas inconsistentes y consistentes “Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solución. Se dice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente” (Stanley y Grossman, 2007, p. 12). Para tener en cuenta: Tabla 1: Sistemas inconsistentes y consistentes Sistemas compatibles determinados

Sistemas compatibles indeterminados

Variable de la tabla

Solución única

Infinitas soluciones

No tiene solución

𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)} Fuente: elaboración propia

En la tabla 1 no dice cómo especificar la solución de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado. Veremos esto con un ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema: 2𝑥 − 𝑦 = 3 𝐼) { 7𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 4 𝐼𝐼) 5𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 1 𝐼𝐼𝐼) Es conveniente despejar la variable y de la ecuación I) y sustituirla en las ecuaciones II) y III): 𝑦 = 2𝑥 − 3 𝑎)

4

Reemplazamos en II):

7𝑥 − 5. (2𝑥 − 3) + 𝑧 = 4

Operamos algebraicamente: 7𝑥 − 10𝑥 + 15 + 𝑧 = 4 −3𝑥 + 𝑧 = −11 𝑧 = −11 + 3𝑥 𝑏) Ahora reemplazamos en la ecuación III):

5𝑥 − 4. (2𝑥 − 3) + 𝑧 = 1 5𝑥 − 8𝑥 + 12 + 𝑧 = 1 −3𝑥 + 𝑧 = −11 Ahora se reduce a resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: −3𝑥 + 𝑧 = −11 { −3𝑥 + 𝑧 = −11

Despejando la variable z de la primera ecuación y reemplazando en la segunda ecuación, obtenemos la siguiente expresión: −3𝑥 − 11 + 3𝑥 = −11 0𝑥 = 0 Esto nos indica que el sistema tiene infinitas soluciones, ya que para cualquier valor que tome la variable x se cumple la igualdad.

Para expresar la solución como la terna (𝑥, 𝑦, 𝑧), tenemos los valores de y y z de las ecuaciones a) y b). Entonces, la solución nos queda: 𝑆 = {(𝑥; 2𝑥 − 3; −11 + 3𝑥 )} Las expresiones de las soluciones de los sistemas de ecuaciones compatibles determinados tienen que estar expresadas en un misma variable; en nuestro ejemplo, la variable fue la incógnita x. Para cada valor que tome la variable x, obtendrás una solución particular del sistema de ecuaciones.

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Referencias Stanley, I., y Grossman, S. (2007). Álgebra lineal. México: McGraw Hill Interamericana.

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