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Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

Algunos casos típicos

Video conceptual

Referencias

Revisión del módulo

LECCIÓN 1 de 5

Introducción

La matemática y —en particular— el álgebra lineal permiten modelizar situaciones de la vida cotidiana y situaciones de la profesión que abracemos.



Cuando un caso real se formula mediante un modelo matemático, los conceptos ‘solución’ y ‘decisión’ están relacionados, pero desde luego no son sinónimos. Así, un sistema de ecuaciones lineales sin solución (incompatible) puede llevar a tomar una decisión de forma clara, mientras que la solución proporcionada por un sistema compatible determinado, no tiene por qué ser válida para decidir. (Liern Carrión, 2018, p. 6).



Por ejemplo, la solución obtenida no tiene significado en el contexto del problema. “Esta circunstancia hace que resulte necesario analizar los requisitos que se exigen a las soluciones para que sean útiles en modelos de la economía y la empresa” (Liern Carrión, 2018, p. 6). Si tomamos el caso de la economía, muchas veces deberemos plantear condiciones como que las variables no sean negativas o se encuentren en un rango determinado (Liern Carrión, 2018).

“Por otro lado, cuando existen diferentes alternativas en las soluciones, es necesario poder compararlas para determinar cuál resulta más conveniente antes de decidirnos por una opción” (Liern Carrión, 2018, p. 6).



Existen numerosas situaciones, en casi toda actividad humana, que pueden analizarse o resolverse con sistemas de ecuaciones. Veremos algunos ejemplos que nos permitan entender su importancia.

1

ECONOMÍA: Oferta y demanda

En economía, se llama “mercado a un grupo de compradores y vendedores de un [producto] o servicio” (Mankiw en Thompson, 2005, https://www.promonegocios.net/mercadotecnia/mercado-definicion-concepto.html). En este contexto, la demanda es la cantidad de un producto que los compradores quieren y pueden comprar.

La función “oferta es la cantidad de un producto que los vendedores quieren y pueden vender” (Mankiw en Thompson, 2006, https://www.promonegocios.net/oferta/definicion-oferta.html).

Observemos el siguiente gráfico:

Figura 1: Gráfico de oferta y demanda

Fuente: elaboración propia.

En la Figura 1, en relación con la línea verde, se puede observar cómo, a medida que la cantidad demandada aumenta, el precio disminuye. Análogamente, en la línea azul, el gráfico muestra que, a mayor oferta, mayor precio.

Si existe competencia pura, es decir, si ninguno de los compradores o vendedores influye particularmente en la regulación del mercado, cuando la cantidad de artículos que los vendedores ofrecen es igual a la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar, el mercado se encuentra en equilibrio.

Determinar el precio y la cantidad en que se encuentra en equilibrio es resolver un sistema de ecuaciones.

2

ECONOMÍA: Input-output

El análisis input-output fue desarrollado por Leontief (…) valiéndole su desarrollo y aplicación a problemas económicos ser galardonado con el Nobel de Economía en 1973. La motivación que le llevó a usar esta técnica fue el poder estudiar las interrelaciones existentes entre las diferentes actividades económicas y para ello se valió del algebra lineal para medir la estructura de una economía. (Estudiante Unad, 2019, https://prezi.com/splp7zlqim6b/algebra-lineal/).

El modelo básico de análisis input-output se centra en observar los datos económicos de los sectores productivos en una específica región geográfica. Cada sector produce unos bienes (outputs) y consume los producidos por otros (inputs). Por tanto, cada sector productivo debe considerarse simultáneamente como productor (los bienes se denominan outputs) y como consumidor (los bienes se denominan inputs). (Tenorio Villalón, Martín Caraballo y Paralera Morales, 2011, p. 13).

Un ejemplo que aplica el modelo input-output sería:

Supongamos 3 industrias autopartistas A1, A2, A3. Cada una de ellas produce un único bien y su producción se obtiene de la siguiente forma:

Cada unidad de A1 requiere 0,3 unidades de A1, 0,2 unidades de A2 y 0,3 unidades de A3. Cada unidad de A2 requiere 0,1 unidades de A1, 0,2 unidades de A2 y 0,3 unidades de A3.

Cada unidad de A3 requiere 0,2 unidades de A1, 0,5 unidades de A2 y 0,1 unidades de A3. Si las demandas exteriores son 45 unidades de A1, 50 unidades de A2 y 51 unidades de A3, este modelo responde a la pregunta: ¿cuáles son los niveles de producción que permite el equilibrio de esta economía?

3

INGENIERÍA: Flujo de redes

Una red consiste en un conjunto de puntos llamados nodos, con líneas o arcos que los conectan denominadas ramas . La dirección del flujo se indica en cada rama y la cantidad (o tasa) de flujo se denota por medio de una variable. El supuesto básico estándar en una red de flujos es que el flujo que entra a la red es el mismo que sale de la red, y que el flujo entrante en un nodo es igual al flujo saliente del nodo. Por ejemplo, en la figura siguiente se muestra una red elemental con un solo nodo. (Rossignoli, 2018, p. 11).

Figura 2: Esquema de red elemental con un nodo

Fuente: elaboración propia a base de Rossignoli, 2018, p. 11.

En este caso, los flujos entrantes (a yb) y el flujo saliente c deben satisfacer:a + b = c.

Múltiples problemas de ingeniería, ciencias sociales y naturales (entre otros) se pueden modelar a partir del planteo de un flujo de redes. Los flujos pueden ser de tráfico en una ciudad, de aviones en aeropuertos, de corriente en un circuito eléctrico, de distribución de mercaderías entre mayoristas y vendedores, de caudales en una red de tuberías [o de flujo de información en una red de comunicaciones], etc.

Por ejemplo, supongamos que en una cierta ciudad se va a realizar un arreglo en las calles y se quiere conocer el flujo de tránsito en alguna de ellas para tomar decisiones en cuanto a su redireccionamiento [por otras calles]. (Rossignoli, 2018, p. 11).



Las variables que considerar serán el tráfico por cada calle, que se cruzarán en una esquina determinada (nodo) y el tiempo que demora la circulación por una calle determinada, teniendo en cuenta su ancho, los autos estacionados, el estado del pavimento, los semáforos, etcétera.

LECCIÓN 2 de 5

Algunos casos típicos

Queremos recuperar nuestro problema inicial de la Lectura 1. Este es un problema típico de mezcla de ingredientes para obtener un resultado deseado. En nuestro caso, mezclábamos alimentos (carnes verduras, y cereales) para lograr una cantidad apropiada en proteínas, vitaminas y carbohidratos. En general, en estos tipos de problemas se representa al sistema como la suma de los componentes de la mezcla.

Otra situación típica es la de los problemas de producción. En este caso, se desea producir diferentes artículos que requieren diferentes insumos para los cuales hay una disponibilidad prefijada. Aquí se busca encontrar la cantidad de artículos que producir, de tal manera que se agoten todos los recursos. Lo podemos ver en el siguiente ejemplo:

Una compañía elabora tres productos y cada uno debe ser procesado en tres departamentos. La siguiente tabla resume el requerimiento de las horas de mano de obra y las unidades de materia prima para cada unidad de producto. Se dispone mensualmente de 1500 horas de mano de obra y de 3800 unidades de materia prima. Si se desea una combinación de los tres productos que totalice 500 unidades, determina si existe esta combinación de manera que agote la disponibilidad de los insumos.

Tabla 1: Cantidad de insumos utilizados por cada producto

Insumos

Producto A

Producto B

Producto C

Horas de mano de obra

3

2

4

Cantidad de materia prima

10

8

6

Fuente: elaboración propia.

Las incógnitas hacen referencia a aquello que queremos averiguar y, si las

En este problema, ¿cuáles serían las incógnitas?

combinamos, podemos obtener el resultado esperado. En este caso: x = cantidad de producto A; y = cantidad de producto B; z = cantidad de producto C.

La ecuación sale de leer la fila 1 de la Tabla 1; por ¿Cuál es la ecuación correspondiente para los insumos de mano de obra?

lo tanto, será: 3x + 2y + 4z = 1500, que es el total de mano de obra disponible.

La tercera ecuación sale del enunciado “se desea ¿Cuál es la tercera ecuación que no se deduce de la tabla?

una combinación de los tres productos que totalice 500 unidades”. Por lo tanto, será: x + y + z = 500.

ACTIVIDADES DE REPASO Y REFUERZO

En el mercado de manzanas, los productores ofrecen manzana por kilogramos al mercado. La función que modela la cantidad de manzanas que se ofrecen se representa por la función Q = 100 + 2P, donde P es el precio del kilogramo de manzanas y Q es la cantidad. La cantidad que desean comprar los consumidores viene dada por la función demanda Q = 600 − 3P. Con estas ecuaciones, ¿se puede inferir a qué precio los compradores dejarán de demandar manzanas?

$200.

$120.

$600.

$3.

SUBMIT

En el mercado de manzanas, los productores ofrecen manzana por kilogramos al mercado. La función que modela la cantidad de manzanas que se ofrecen se representa por la función Q = 100 + 2P, donde P es el precio del kilogramo de manzanas y Q es la cantidad. La cantidad que desean comprar los consumidores viene dada por la función demanda Q = 600 − 3P. ¿Cuál es la cantidad y el precio para que el mercado se encuentre en equilibro?

300 kilos de manzanas.

$100 el kilo.

100 kilos de manzanas.

$300 el kilo.

SUBMIT

LECCIÓN 3 de 5

Video conceptual

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Reuse



LECCIÓN 4 de 5

Referencias

Estudiante Unad (Nombre de usuario). (2019). Álgebra Lineal [PPT en línea]. Recuperado de https://prezi.com/splp7zlqim6b/algebra-lineal

Liern Carrión, V. (2018). Algunos usos del Álgebra Lineal en las decisiones de Economía y Empresa.Recuperado de https://www.uv.es/liern/ALGEBRA.pdf

Rossignoli, R. (Coord.). (2018). Álgebra Lineal con Aplicaciones. Parte I. Recuperado de https://libros.unlp.edu.ar/index.php/unlp/catalog/download/875/866/2882-1

Tenorio Villalón, Á. F., Martín Caraballo, A. M. y Paralera Morales, C. (2011). Introducción del Álgebra Lineal en la Economía: Una Aproximación Histórica. Recuperado de https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/6017762.pdf

Thompson, I.(2005). Definición de Mercado. Recuperado de https://www.promonegocios.net/mercadotecnia/mercado-definicion-concepto.html

Thompson, I.(2006). Definición de Oferta. Recuperado de https://www.promonegocios.net/oferta/definicion-oferta.html

LECCIÓN 5 de 5

Revisión del módulo

Hasta acá aprendimos

Ecuaciones

–

Se presentan en la lectura los conceptos básicos sobre las expresiones algebraicas más sencillas que son las ecuaciones lineales. También se analiza los tipos de soluciones que admiten dichas ecuaciones y sus formas de resolución.

Sistema de ecuaciones lineales con dos Incógnitas

–

La lectura introduce al alumno, a través de un problema, a los sistemas de ecuaciones más sencillos: dos ecuaciones con dos incógnitas. Se formaliza algebraicamente y se proponen alternativas de solución junto con la clasificación del sistema de acuerdo al tipo de solución hallada.

Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

–

En ésta lectura desarrollamos, a través de un problema, sistemas más complejos donde se incorporan una condición más a tener en cuenta dentro del contexto. Algebraicamente se lo formaliza como un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. También se muestra la forma de resolución por métodos tradicionales y de acuerdo al tipo de solución, se lo clasifica en compatibles e incompatibles.

Créditos

–

La lectura explica la relación de los temas trabajados con situaciones concretas de la índole profesional. Se muestra cómo podemos utilizar los sistemas de ecuaciones como modelos que nos permite tener un conocimiento más acabado sobre una situación y a su vez, nos brinda herramientas para la toma de decisiones....