Sistemas de ecuaciones no lineales PDF

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Explicación , ejercicios, ejercicios de practica...

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Métodos Numéricos Sistemas de ecuaciones Sistemas de ecuaciones no lineales La mayoría de los métodos para determinar tales soluciones son extensiones de los métodos abiertos para resolver ecuaciones de una sola variable. En esta sección presentaremos dos de ellos: iteración de punto fijo y Newton-Raphson. Iteración de punto fijo El método de iteración de punto fijo puede modificarse para resolver dos o más ecuaciones simultáneas no lineales. Este método se ilustra en el siguiente ejemplo ara una sistema de 2 variables. Ejercicio resuelto Iteración de punto fijo para un sistema no lineal Con el método de iteración de punto fijo determine las raíces del sistema de ecuaciones: 2 x = y + x −0.5 2 y = x −5 xy Use los valores iniciales de

x = y =1 , hasta Ear ≤ 1%. Use 5 cifras significativas

Solución El método consiste en despejar una variable de cada ecuación, en este caso como ya están despejadas la x y la y se usaran esos despejes Se realizaran 3 o 4 iteraciones para ver si convergen las aproximaciones, la sustitución será tipo Gauss-Seidel Iteración 0 1 2 3

x

y 1 1.5 -3.5 -67.875

Earx 1 -5.25 -79.625 -22415.7188

0.33333333 1.42857143 0.94843462

Eary 1.19047619 0.93406593 0.99644781

Se ve que las aproximaciones no convergen Se usara otro despeje De la primera ecuación se despejara la x del término cuadrático, usando la parte positiva De la segunda ecuación se despejara la y del término 5xy, lo que nos da:

x= √ x− y +0.5 2 y− x y= −5 x Iteración 0 1 2 3 4 5

x

y 1 0.70710678 1.16126144 1.18518043 1.22124823 1.22830194

Earx 1 -0.14142136 0.25660879 0.19373318 0.21252257 0.2110561

0.41421356 0.39108735 0.02018173 0.02953356 0.00574265

Eary 8.07106781 1.55111656 0.32454749 0.08841128 0.00694825

En este caso si converge Una de las soluciones es: x ≈ 1.2283 y ≈ 0.21105 con un Ear ≤ 1% Comprobación

2

2

x = y + x −0.5=0.21105 + 1.2283 −0.5=1.2197 ≈ 1.2283 y = x 2−5 xy=1.22832 −5 (1.2283 )( 0.21105 )=0.21255 ≈ 0.21105

Ejercicio de práctica Con el método de iteración de punto fijo determine las raíces del sistema de ecuaciones: 2 x + xy =10 2 y +3 xy =57 Use los valores iniciales de

x =1.5, y =3.5 , hasta Ear ≤ 1%. Use 5 cifras significativas

Newton-Raphson multivariable Dado el sistema

Ejercicio resuelto Con el método de Newton-Raphson multivariable determine las raíces del sistema de ecuaciones: 2 x = y + x −0.5 2 y = x −5 xy Use los valores iniciales de

x = y =1 , hasta Ear ≤ 1%. Use 5 cifras significativas

Solución 2

f 1 = y + x −0.5−x=0 2

f 2=x −5 xy − y =0 F ( x )=

(

2

y + x −0.5−x 2 x −5 xy − y

)

( )(

∂f1 ∂x J ( x )= ∂f 2 ∂x

∂f1 1 ∂ y = 2 x−1 ∂f2 2 x−5 y − 5 x−1 ∂y

)

Valores iniciales 0 x 1 0 X = 0= 1 y

( ) ()

Aplicando la fórmula de Newton-Raphson multivariable (sustituyendo los valores iniciales)

)(

)()(

) (

) (

2 −1 1 ( 1) + ( 1 ) −0.5−( 1 ) 1 2 (1 )−1 1 = − 1 X 1= 1 − 2 −3 −6 1 1 2( 1 ) −5( 1 ) −5 ( 1 )−1 ( 1 ) −5 ( 1 ) (1 ) −( 1) La parte resaltada puede resolverse de la siguiente manera

()(

(−13

) (

−1

= 1 − −0.66666 = 1.6 ) ( 0.5 −5) (1 ) ( 1.1666 ) (−0.1

1 0.5 1 1 0.5 1 1 0.5 1 0 −0.66666 → → → −6 −6 0 −3 −3.5 0 1 1.1666 0 1 1.1666

(

)

( )

X 1= 1.6666 Ear= 0.4 7 −0.16666

Y así sucesivamente

)

1.3397 ( 0.15168 ) Ear =( 0.24401 2.0988 ) 1.2421 0.078601 X =( Ear=( ) 0.20878 0.27352 ) 1.2333 Ear= 0.0070872 X =( ( 0.016218 ) 0.21223) 1.2333 0.000052691 X =( Ear=( ) 0.21225 0.000089082 ) X 2= 3

4

5

Una de las soluciones es: x ≈ 1.2333 y ≈ 0.21225 con un Ear ≤ 1% Comprobación

2

2

x = y + x −0.5=0.21225+ 1.2333 −0.5=1. 2332≈ 1. 2333 y = x 2−5 xy=1.23332 −5 (1.2333 )( 0.21225 )=0.21218 ≈ 0.21225

Ejercicio de práctica Con el método de Newton-Raphson determine las raíces del sistema de ecuaciones: 2 x + xy =10 2 y +3 xy =57 Use los valores iniciales de

x =1.5, y =3.5 , hasta Ear ≤ 1%. Use 5 cifras significativas...