Sistema de ecuaciones lineales y no lineales PDF

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PRESENTADO A:
RAMÓN BERTEL PALENCIA
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales...

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UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

PRESENTADO A: RAMÓN BERTEL PALENCIA

MÉTODOS NUMÉRICOS

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIÓN Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no está elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Representación grafica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

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En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan términos independientes. En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

La matriz a=

se llama matriz coeficiente la matriz x=

Se llama matriz de incógnitas y la matriz b= se llama matriz de termino independientes. La matriz formada por Ay B CONJUNTAMENTE, ES DECIR;

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(A B) = Se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B) o bien por A∗

TIPOS DE SISTEMAS En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, ´estos dé pueden clasificar en:

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Un sistema compatible determinado tiene una sola solución.

x = 2, y = 3 Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.

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SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Un sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones.

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.

SISTEMA INCOMPATIBLE Un sistema incompatible no tiene solución.

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Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES Se pretende que al final de la exposición el estudiante pueda reconocer los sistemas de ecuaciones no lineales y pueda resolverlos por medio de adaptaciones a los métodos Newton-Raphson e Iteración de Punto Fijo

f 1 ( x 1 ,x2 ...........,x n )=0 f 2 ( x 1 ,x2 ..........., xn )=0 . . . f n ( x 1 , x2 ..........., xn )=0 ITERACIÓN DE PUNTO FIJO

La solución de este sistema consta de valores xi que simultáneamente hacen que todas las ecuaciones sean iguales a cero

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL Con el método iteración de punto fijo determine las raíces de la ecuación

u( x , y )=x 2 +xy−10 =0 v( x , y)= y+3 xy 2 −57=0 Observe que un par correcto de raíces es x = 2 y y = 3. Inicie el cálculo con el valor inicial x = 1.5 y y = 3.5 Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y=7−x 2. Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x2 + (7 − x)2 = 25 3. Se resuelve la ecuación resultante. x2 + 49 − 14x + x2 = 25 2x2 − 14x + 24 = 0 x2 − 7x + 12 = 0

4. Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. x=3

y=7−3

y=4

UNIVERSIDAD DE LA GUAJIRA FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL x=4

y=7−4

y=3...