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Ecuaciones practicas ejercicios básicos para desarrollar...

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Ecuaciones Lineales y Racionales MATEMÁTICAS AUTOR: Nidia Jaimes

ÍNDICE

ÍNDICE' Ecuaciones'lineales'y'racionales'! •

Índice!

!

•

Introducción!

•

Recomendaciones!académicas! !

•

Desarrollo!de!cada!una!de!las!unidades!temáticas!

1. Ecuaciones!

!

!

1.1. Ecuaciones!lineales!con!una!incógnita! 1.2. Ecuaciones!racionales! 2. Ejercicio!12! 3. Taller!6!

!

4. Síntesis!

!

•

Referencias! o Textos!

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Acceso rápido

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o Lista!de!figuras!

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o Lista!de!tablas!

11!

GENERALIDADES

DESARROLLO

! ! ! ! ! ! ! ! !

Este material pertenece al Politécnico Grancolombiano y a la Red Ilumno. Por ende, son de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total o parcial.

01 -02 -INTRODUCCIÓN'

DESARROLLO'DE'CADA'UNA'DE'LAS'UNIDADES'TEMÁTICAS'

Antes! de! lanzarnos! a! plantear! un! problema! para! encontrar! su! solución,! es! fundamental! la! habilidad! para! convertir! palabras! en! expresiones! algebraicas.! ! La! representación! simbólica! o! gráfica! que! relaciona! la! información! no! necesariamente! es! única,! pero! sí! debe! ser! tan! precisa! que!cualquiera!de!ellas!conlleve!a!la!solución.!

1. Ecuaciones!

RECOMENDACIONES'ACADÉMICAS' Para!entender!de!manera!correcta!los!contenidos!y!desarrollar!las!competencias!de!esta!unidad,! le!sugiero!siga!las!siguientes!recomendaciones:!

Definición:una!ecuación!es!una!igualdad!de!expresiones!algebraicas,!la!cual!tiene!al!menos!una! incógnita.) ¿Qué)significa)resolver)una)ecuación?) Resolver! una! ecuación! es! encontrar! el! conjunto! de! todos! los! números! reales,! llamado! el! conjunto!solución,!que!hacen!la!igualdad!verdadera.! Definición:'dos!ecuaciones!son!equivalentes!si!tienen!la!misma!solución.'

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Lea!el!contenido!de!esta!cartilla!de!manera!pausada,!si!llega!a!un!ejemplo!que!no!entiende,! no!lo!pase!derecho,!tome!el!tiempo!de!escribirlo!y!revisar!el!proceso!planteado.!

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Visualice! los! videos! tantas! veces! como! crea! necesaria.! Pause! y! resuelva! las! situaciones! o! ejercicios! planteados! primero! por! cuenta! propia,! luego! compare! su! respuesta! con! el! desarrollo!trabajado!en!el!video.!

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Mantenga!una!comunicación!continua!con!el!tutor,!entre!a!los!espacios!que!se!brindan!para! asesorías! por! elluminate.! Recuerde! que! virtualmente! se! puede! comunicar! con! tu! tutor! en! cualquier! momento! mediante! el! correo,! foro! y! en! horarios! específicos! en! las! asesorías! de! elluminate!y!el!chat.! Realice! los! ejercicios! propuestos,! no! es! obligatorio! realizarlos! todos,! pero! debe! practicar! hasta!que!sienta!que!está!preparado!y!tenga!un!dominio!de!la!situación!y!el!contexto.!Puede! contrastar!sus!respuestas!con!los!solucionarios! No! interrumpa! una! actividad! o! reflexión! iniciada,! dedique! el! tiempo! necesario! para! terminarla.! Si! lo! desea! puedes! parar! el! desarrollo! de! la! unidad! al! finalizar! una! actividad! y! retomarla!después.!

Tome!apuntes!de!las!observaciones!importantes,!le!ayudarán!más!adelante!

Hay! diferentes! tipos! de! ! ecuaciones! ya! que! estas! se! clasifican! de! acuerdo! con! el! tipo! de! expresión! algebraica! que! interviene! en! ! la! igualdad.! A! través! de! este! curso! se! estudiarán! ecuaciones!de!tipo!lineal,!racional!y!cuadrático.! 5 x − 4 = 2!es!una!ecuación!de!tipo!lineal! 3 6 = 7 !es!una!ecuación!de!tipo!racional,!y! x

5 x2 + 2 x − 1 = 0 !es!una!ecuación!cuadrática.!

1.1. Ecuaciones!lineales!con!una!incógnita! Una!ecuación!lineal!con!una!incógnita!se!puede!expresar!de!la!forma!general! ax + b = c !con!a,!b! reales!y!x!la!incógnita.!En!particular!si! a ≠ 0 !se!le!llama!ecuación!de!primer!grado.! Tipos) de) solución:) la! solución!de! una! ecuación! de! tipo!lineal! se! puede! clasificar! en!una! de! las! tres!siguientes!alternativas:)

!

A. Solución)única:!cuando!existe!un!único!valor!real!que!hace!la!igualdad!verdadera.!

!

B. Infinitas)soluciones:!cuando!hay!infinitos!valores!reales!que!satisfacen!la!igualdad.!

!

C. Sin) solución:! no! existe! valor! real! que! haga! la! igualdad! verdadera! (en! este! caso! se! dice! que!la!ecuación!es!inconsistente)!

!

!

3

!

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MATEMÁTICAS

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¿Cómo)encontrar)el)conjunto)solución)de)una)ecuación)lineal?)

La!solución!de!la!ecuación!es!entonces! x =

Tenga!en!cuenta!que:! 1)!Si!una!ecuación!se!multiplica!por!una!misma!cantidad!diferente!de!cero!a!los!dos!lados!de!la! igualdad,!la!ecuación!que!resulta!es!equivalente!con!la!inicial.!

2. Solucionar!la!ecuación:! 6 x − 7 = 2 x + 14 .! Solución:)

2)!Si! a!una! ecuación!se! les!suma! la!misma! cantidad!a! los!dos! lados!de!la! igualdad,!la! ecuación! que!resulta!es!equivalente!con!la!inicial.!

6 x − 7 = 2 x + 14 ! 6 x − 2 x = 14 + 7 !!!

Utilizando!las!reglas!mencionadas!podrá!encontrar!el!conjunto!solución!de!una!ecuación!lineal.! Observe!los!siguientes!ejemplos:!

x=

3 1. Resolver!la!ecuación! x + 2 = 7 ! 5

se!ha!sumado!el!opuesto!aditivo!de!2!a!ambos!lados!de!la!ecuación.!

es!la!solución!buscada.!

3 Observe!que!al!reemplazar!en!la!ecuación! x + 2 = 7 !el!valor!obtenido!para!la!variable! x !es! 5 25 decir,! x = !,!se!obtiene!una!igualdad:! 3

Es!la!solución!buscada.!

3 x + 5 6 x + 10 = 2 4 !

3 x + 5 6 x + 10 = 2 4 !!

!

( 3 x + 5) 4 − 2( 6 x + 10) !!

!

Propiedad!distributiva:!

12 x + 20 = 12 x + 10 !

!

!

Propiedad!de!equivalencia!de!racionales:!

Sumando! −12x !(Propiedad!de!ecuaciones):!

−12 x +12 x + 20 = −12 x +12 x + 20!!

Operando:!

0 x + 20 = 20 !!

Sumando! −20 ,!quedaría!la!ecuación!lineal:!

!

!

!

0 x − 0 !! Esta! implica! que! x! puede! asumir! cualquier! valor! real,! pues! el! producto! de! cualquier!real!con!cero!es!siempre!cero.! Luego,!Solución!=!R!(Infinitas!soluciones)!

3 ! 25 " + 2 = 7 !! 5 #% 3 $& 5 + 2 = 7! !

!

Como!la!ecuación!dada!no!tiene!la!forma!general!aún,!por!medio!de!algunas!propiedades!ya! vistas,!se!logrará!obtener!ésta.!!

5 x = 5 !# "$ se!ha!multiplicado!por!el!inverso!multiplicativo!de!a!ambos!lados!de!la!ecuación.! % 3 &!

! !

se!ha!simplificado!el!producto!!!

7 = 7!

!

5

!

Solución:)

3 x = 5! 5

25 x= 3!

21 4!

3. Solucionar!

3 x+ 2= 7 5 ! 3 x = 7− 2 5 !

¿Por!qué?!

4 x = 21 !

Ejemplos:'

Solución:)

25 .! 3

!

!

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MATEMÁTICAS

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4. Solucionar! 2 x − 1 = 2 x + 4 !!

x=

5 !! 12

Solución:' Prueba:)

2 x −1 = 2 x + 4 ! !

!

Expresando!en!!la!forma!general:!

1 2 12 2 12 8 20 + = + = + = = 4! 5 5 5 5 5 5 5 3 12 12 4

0 x − 5 = 0! −5 = 0 !

Lo!cual!es!una!inconsistencia,!por!tanto!la!ecuación!no'tiene!solución.!

Es!decir,!solución=!φ !(conjunto!solución!vacío)!

3x +9 =0 2. Solucionar! x + 3 ! Solución:'

1.2. Ecuaciones!racionales!

3x +9 = 0 Como! x + 3 ≠ 0 ,!o,! x ≠ −3 ,!necesariamente:! x+3

Una!ecuación!racional!se!caracteriza!porque!la!incógnita!o!variable!aparece!en!el!denominador! de!la!expresión!racional!que!interviene!en!la!igualdad.!Los!tipos!de!solución!son!similares!a!los! de!una!ecuación!lineal!como!se!muestra!a!continuación:!

3 x + 9 = 0 ,! x ≠ −3 !!

Ejemplos:' 3. Para!la!ecuación!

1 2 + =4 ! 1. Solucionar! x 3x

1 1 1 − = a b c ,!

1 2 Para!llevar!a!la!forma!general,!se!suman!las!fracciones!del!lado!izquierdo,! + =4 x 3x ! usando!el!común!denominador.!

5 = 12 x, x ≠ 0 !

5 = x, x ≠ 0! 12 la!solución!es!

7

!

c(b − a) = ab !

c=

ab ,!! b −a

con!$ ≠ ! !

4. El!siguiente!ejemplo!ilustra!el!hecho!de!que!no!es!suficiente!con!despejar,!en!una!ecuación,! la! variable! que! se! indique,! sino! que! además! se! deben! atender! las! restricciones! que! sean! necesarias!para!de!esta!manera!analizar!el!resultado!que!se!obtenga:! −1 x −3 = x− 2 x− 2!

Como!!no!hay!contradicción!entre!la!condición!y!el!valor!hallado,!entonces!

!

!", $", % ≠ "0! !

b −a 1 = ab c!

5 = 4 !! Por!equivalencia!de!racionales:! 3x

1 Multiplicando!por! ! 12

1 1 1 = + ,!despejar! c !:! a b c

Solución:'

Solución:)

5 = 4 ( 3 x) , x ≠ 0 ! Operando:!

Aplicando!las!propiedades!de!una!ecuación:!

x = −3 ,!y! x ≠ −3 !Contradicción.!Por!tanto,!la!ecuación!dada!no!tiene!solución!

( x − 3)( x − 2) = −1 x− 2 !

!

!

debe!tenerse!que! x ≠ 2

!

!

POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO

MATEMÁTICAS

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2. Plantear!cada!una!de!las!siguientes!situaciones.!

x − 3 = −1!

A. El!doble!de!(.!

x = −1 + 3!

B. La!mitad!de!)!cantidad.!

x = 2 ,! podemos! afirmar! que! la! ecuación! dada! no! tiene! solución,! ya! que! el! valor! obtenido,! x ≠ 2 ,!es!rechazado!por!la!condición!(recuerde! que!el!denominador!no!debe!ser! igual!a!cero).!

C. Tres!unidades!menos!que!el!cuadrado!de!* .! D. La!suma!entre!el!cubo!de!(!y!el!opuesto!de!+.! E. El!promedio!entre!)!y!,.! F. 8!más!que!-.!

2. Ejercicio!1!

3 G. La!diferencia!entre!el!recíproco!de! !!y!el!triplo!de!. .! 4

1. Encontrar!el!conjunto!solución!de!cada!una!de!las!siguientes!ecuaciones.' 2

2

A. 9 x − 16 = (3x − 4) !

B.

C.

D.

2 x + 2 2x − 3 x − = 4 7 3! 4X − 8−

1 1 = X 1000 3 !

3 5 = 2+ x x!

0.05( x + 10) − 0.02 x = 3.2 !

J.

5x 35 = x − 7 x −7 !

2

(1 − 2 x ) − 1 =

A. En! una! clase! de! inglés! hay! 52! estudiantes.! Si! el! número! de! hombres! es! 7! más! que! el! doble!de!mujeres,!determine!el!número!de!mujeres!que!hay!en!la!clase.! B. Un!hombre!hace!2!inversiones,!al!48!%!y!al!50%!anual!respectivamente.!Si!lo!que!invierte! al! 50%! es! el! doble! de! lo! que! invierte! al! 48%! y! su! ingreso! total! anual! por! las! dos! inversiones!es!de!US$458.800!¿Cuánto!invirtió!a!cada!tasa?!

− 3 + 4( 2 x + 2 ) − 7 = 8 x − 2 !

C. Los!miembros!de!una!fundación!desean!invertir!$2´100.000!en!dos!tipos!de!seguros!que! pagan! dividendos! anuales! del! 9%! y! 6%! respectivamente.! ¿Cuánto! deberán! invertir! en! cada!tasa!si!el!ingreso!debe!ser!equivalente!al!que!produciría!al!8%!la!inversión!total?!

3' x $ 3 % − 1" = x M. 2& 2 # 4 !

D. En!una!entrevista!para!un!empleo,!una!persona!puede!elegir!entre!dos!planes!salariales.! El!plan!A!le! proporciona!un! salario!semanal! de!US$200! más!una!comisión!del!3%! sobre! sus!ventas;! el!plan! B!le!ofrece! un!salario! semanal!de! US$100!más! una!comisión!del! 8%! sobre!sus!ventas,!¿Para!qué!valor!de!ventas!se!recibirá!el!mismo!salario!semanal?!

1 −2 x = '% 1 $" 3 & 2# 5

3−

3x − 7 x −2= 4 8!

G. 7

3. Plantear!las!ecuaciones!que!relacionan!los!datos!y!solucionar!

3' 1 $ −5 1+ % − 2" = 4 & 3x # 2 ! K. L.

x+4 x = +5 4 2 ! E.

F.

I.

4 (2 x − 1) 7 !

N.

4. En!cada!una!de!las!siguientes!ecuaciones!despejar!w.! A. wa + wb = c !!

6x + 1 3 x + 1 = H. 4 x − 1 2 x − 3 !

B.

!

C.

!

p = 2b + 2 w!!

r =d − bw aw ! E.

!

!

b ( w − a) = c3

G.

xw w = a b!

!!

!

w − br =d H. w + a !

D. wa + wb = c !!

!

9

n ( bw − nw) = w + a

F.

!

!

POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO

MATEMÁTICAS

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5. En%cada%una%de%las%ecuaciones%anteriores%despejar%b.%

2 %en%el%estudio%de% 5 sus%hijos,%el%25%%en%alimentación%y%ahorró%US$55.%¿Cuál%fue%el%sueldo%del%señor%Pérez?%

6. El%Señor%Pérez%recibió%su%sueldo%y%lo%invirtió%así:%el%30%%en%arriendo,%los%

6. Definir%las%variables,%plantear%y%solucionar%cada%uno%de%los%siguientes%problemas.% A. Una%persona%compra%tres%artículos%A,%B%y%C%por%un%total%de%$105.%Si%el%precio%del%artículo% A%equivale%a%las%dos%terceras%partes%del%precio%del%artículo%B%y,%el%precio%del%artículo%B%es% el%10%%del%precio%del%artículo%C%¿Cuál%es%el%precio%de%cada%artículo?% B. El%presupuesto%destinado%para%el%funcionamiento%de%una%compañía%en%el%mes%de%marzo,% está%distribuido%de%la%siguiente%manera:%el%50%%para%el%pago%de%nómina%de%empleados%y% servicio% de% energía;% 1/12% de% dicho% presupuesto% para% el% pago% de% servicio% de% publicidad,% US$80% para% el% pago% de% impuestos% y% nueve% veces% lo% correspondiente% al% pago% de% impuestos%lo%invierte%en%la%compra%de%un%nuevo%equipo%de%oficina.%El%resto,%lo%invierte%en% un% bono% ¿Cuál% es% el% presupuesto% de% la% compañía% en% el% mes% de% marzo,% si% el% bono% corresponde%a%las%17/5%partes%de%lo%destinado%al%pago%de%publicidad?%

7. Un%comerciante%tomó%un%préstamo%por%US$600,%pero%debe%pagar%esa%cantidad%aumentada% en%25%.%El%pago%debe%hacerlo%en%tres%cuotas%quincenales%teniendo%en%cuenta%que:%el%50%%de% la%tercera%cuota%es%inferior%en%US$60%a%la%segunda%cuota,%el%200%%de%la%primera%cuota%excede% en%US$20%al%saldo%de%la%tercera%cuota.% ¿Cuánto%debe%pagar%el%comerciante%en%cada%cuota?%

3 8. Si%las% %partes%del%precio%de%un%artículo%se%cancelan%de%contado,%de%la%parte%restante%se%paga% 5 el%40%%con%cheque%a%30%días%y%aún%se%adeuda%US$240% A. ¿Cuál%es%el%precio%del%artículo?% B. Si%se% hace%un% descuento%de%US$50,% ¿a%qué% porcentaje%corresponde%este% descuento%con% respecto%del%precio%del%artículo?%

2. Taller%6% Definir%las%variables,%plantear%el%problema%y%resolverlo% 1. Un%estudiante%hizo%un%préstamo%por%US$1.800%para%su%matrícula.%Si%pagó%un%interés%del%15%.% El%pago%total%debe%hacerlo%en%tres%cuotas%mensuales%de%diferente%valor,%así:%la%primera%cuota% excede%en%US$230%al%40%%de%la%segunda%cuota;%el%doble%de%la%segunda%cuota%excede%al%total% en%US$230.%¿Cuánto%hay%que%pagar%en%cada%cuota?%

9. Una%persona%destina%US$1.000%para%realizar%dos%inversiones.%Si%se%sabe%que%el%doble%de%una% de% las% inversiones% sobrepasa% en% US$200% a% la% otra% inversión,% ¿Qué% porcentaje% respecto% del% total%corresponde%a%cada%inversión?%

3. %Síntesis%

2. Una%compañía%invierte%una%cantidad%de%dinero%al%35%%y%el%doble%de%esta%cantidad%al%38%.%Si% la%ganancia%que%obtiene%en%total%por%las%dos%inversiones%es%de%US$249.750.%¿Cuánto%invierte% en%cada%porcentaje?%

Una% ecuación% se% caracteriza% porque% es% una% igualdad% de% expresiones% algebraicas% con% por% lo% menos% una% incógnita.% Estas% reciben% nombres% de% acuerdo% con% la% forma% de% la% expresión% que% interviene%en%la%ecuación:%

3. Tres% cuentas% de% ahorros% están% en% la% siguiente% situación:% la% primera% tiene% saldo% inferior% en% US$50%a%la%tercera.%El%doble%del%saldo%de%la%segunda%cuenta%es%superior%en%US$20%al%saldo%de% la%primera%cuenta.%Si%los%tres%saldos%suman%US$240%¿Cuánto%dinero%hay%en%cada%cuenta?%

ax + b = 0 %es% la% forma% de% una% ecuación% de% primer% grado% (Variable% x);% a, b∈ caracteriza%porque%tiene%una%única%solución.%

4. Una% persona% invierte% US$3.000.% Una% parte% la% invierte% al% 50%% y% la% otra% al% 68%% de% interés% anual.% Si% desea% obtener% un% rendimiento% anual% equivalente% al% 65%% de% lo% que% invierte% inicialmente,%¿cuál%es%la%cantidad%de%dinero%que%debe%invertir%a%la%tasa%del%68%?%

a = b %es%la%forma%de%una%ecuación%racional.%Como%la%variable%se%encuentra%en%el%denominador,% x se%debe%tener%el%cuidado%de%identificar%los%valores%que%hacen%cero%el%denominador,%los%cuales%de% ninguna%manera%podrán%ser%solución%de%la%ecuación.%

5. La%quinta%parte%del%costo%de%un%artículo%se%canceló%de%contado,%de%la%parte%restante%se%pagó% 2 el%25%%con%tarjeta%de%crédito%y%de%este%nuevo%saldo%los% %con%un%cheque%a%30%días,%si%aún%se% 3 adeudan%US$200.%%¿Cuál%es%el%porcentaje%del%cheque%con%respecto%al%costo%total%del%artículo?%

,% a ≠ 0 .% Se%

% % %

%

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