Ecuaciones lineales y números complejos PDF

Preview

Summary

Índice 1. Resumen. ............................................................................................................................. 2. Introducción. ....................................................................................................................... 2. Historia del si...

Description

Índice 1.

Resumen..............................................................................................................................3

2.

Introducción........................................................................................................................4 2.1. Historia del sistema de ecuaciones lineales....................................................................4 2.2. Historia de los números complejos.................................................................................4 2.3. OBJETIVOS....................................................................................................................5 2.3.1. Objetivo general:......................................................................................................5 2.3.2. Objetivos específicos:...............................................................................................5

3. Desarrollo................................................................................................................................6 3.1 Ejercicio 1.........................................................................................................................6 3.2 Ejercicio 2.........................................................................................................................7 3.3 Ejercicio 3.........................................................................................................................9 3.4 Ejercicio 4.......................................................................................................................10 3.5 Ejercicio 5.......................................................................................................................11 3.6 Ejercicio 6.......................................................................................................................12 3.7 Ejercicio 7.......................................................................................................................14 3.8 Ejercicio 8.......................................................................................................................16 4.

Conclusiones.....................................................................................................................17

5.

Referencias........................................................................................................................18 6.

Anexos...........................................................................................................................18

1.

Resumen.

El siguiente trabajo consiste en la presentación de un informe donde vamos a dar a conocer lo que hemos aprendido hasta el momento con la resolución de los casos planteados donde sustentamos con propiedades y métodos sobre el tema ‘’sistema de ecuaciones lineales y números complejos’’ el cual hemos visto las últimas semanas, hemos realizado el trabajo con la ayuda del profesor y también de diferentes fuentes las cuales nos han sido de mucha ayuda para culminar este informe. También damos a conocer nuestras conclusiones donde describe nuestras apreciaciones finales sobre el trabajo realizado y algunas sugerencias para fortalecer la temática.

2.

Introducción.

2.1. Historia del sistema de ecuaciones lineales. Los primeros sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. ("Historia de los sistemas de ecuaciones lineales", 2021) 2.2. Historia de los números complejos. La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo la encontramos en la obra Estereometría de Herón de Alejandría (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I. Es este trabajo comparece la operación √81 − 144 aunque es tomada como √144 − 81, no sabiéndose si este error es debido al propio Herón o al personal encargado de transcribirlo. La siguiente referencia sobre esta cuestión se data en el año 275 en la obra de Diophantus (aprox. 200-284) Aritmética. En su intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 12 y ´área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336x2 + 24 = 172x, ecuación de raíces complejas como puede ser comprobado fácilmente. Son los matemáticos hindúes los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor del año 850, comenta en su tratado de los numerosa negativos que” como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto, no puede tener raíz cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma: “El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un número positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no es un cuadrado” (Breve historia de los números complejos , 2021)

2.3. OBJETIVOS

2.3.1. Objetivo general:  Resolución de los ocho ejercicios con los temas propuestos.

2.3.2. Objetivos específicos:  Identificar qué sistema de ecuaciones lineales es apropiada para la resolución del ejercicio.  Identificar las propiedades de los números complejos.  Desarrollar de manera clara y precisa los ejercicios propuestos por el docente.

3. Desarrollo. 3.1 Ejercicio 1.

Una persona invierte un total de 20 000 dólares en tres diferentes inversiones que producen 5, 6 y 8%, respectivamente. El ingreso de la inversión al 8% es equivalente a dos veces el ingreso de la inversión al 5% y el ingreso total por año de las tres inversiones es 1296 dólares. Encuentre la cantidad depositada en cada inversión

0,05 ×0,8 I 3+ 0,06 I 2 +0,08 I 3=1296 0,08 I 3 + I 2+ I 3 =20000

0,06 I 2 +0,12 I 3=1296

X100

I 2 +1,8 I 3=20000

X10

6 I 2 +12 I 3 =129600

X3

10 I 2 +18 I 3 =200000

X(-2)

18 I 2 +36 I 3=388800

+¿ ↓¿

20 I 2−36 I 3=−400000

−2 I 2=−11200 I 2 =5600

Sustituyendo I 2 : 18 ( 5600) +36 I 3=388800 36 I 3 =288000

I 3 =8000

Se sabe de la ecuación anterior :

I 1 =0,8 I 3 I 1 =0,8 ( 8000 ) I 1 =6400

RPTA : ( I 1 , I 2 , I 3) = ( 6400, 5600, 8000)

3.2 Ejercicio 2.

Obtenga los valores de � ∈ ℝ tales que el siguiente sistema. x 1+ax2 +x 3=1

2 x 1 + x 2−x 3=1

3 x1 + x 2 +ax 3=2

Tenga: i. Tenga infinitas soluciones ii. Tenga solución única iii. No tenga solución Desarrollo:

[ |]

[

|]

[

| ]

1 a 1 1 1 a 1 1 2 f −f → f 1 a 1 1 ( 3 a−1 ) f →f 2 1 2 2 0 6 a2 −5 a+1 9 a−3 2 1 −1 1 0 2 a−1 3 1 2 3 a−1 3 f 1−f 3 → f 3 0 3 a−1 3−a f 3 ( 2 a−1 ) → f 3 3 1 a 2 1 0 6 a2 −5 a+1 −2 a 2+7 a−3 3 a−1

[

| ]

1 a 1 1 f 1 −f 3 → f 3 0 6 a2−5 a+ 1 9 a−3 3 a−1 0 0 2 a2 +2 a a La matriz final sería:

[  Infinitas soluciones.

| ]

1 a 1 1 2 0 6 a −5 a+1 9 a−3 3 a−1 0 0 2 a2+2a a

2 a2 + 2 a=0

a ( 2 a+2)=0

a=0

a=0 v a=−1

Tomamos a=0 para que tenga soluciones infinitas.  Solución única. 2 a2 + 2 a ≠0

→ a≠ 0 v a≠−1 Para que tenga solución única.

 No tenga solución. 2 a2 + 2 a= 0 a≠ 0

a=0 v a=−1

Para que el sistema no tenga solución se utiliza 

a=−1

3.3 Ejercicio 3.

Dado el siguiente sistema: x+ 2 y −3 z =4

3 x− y +5 z=2

4 x + y + (m −14 ) z=m +2 2

Determine los valores de � de modo que el sistema i. Tenga infinitas soluciones ii. Tenga solución única iii. No tenga solución

[

| ] | ]

[

| ] | ]

1 2 −3 1 2 −3 4 4 f 2−3 f 1 → f 2 3 −1 5 0 −7 14 −10 2 f −4 f 1 → f 3 4 1 m 2−14 m+2 3 0 −7 m2−2 m−14

[

[

1 2 −3 1 2 −3 4 4 0 −7 14 −10 f 3−f 2 → f 3 0 −7 14 −10 0 −7 m 2−2 m−14 0 0 m 2−16 m−4

La matriz final sería:

[

.

| ]

1 2 −3 4 0 −7 14 −10 0 0 m 2−16 m−4

 Infinitas soluciones. 2

m −16=0

;

m− 4= 0

m=4 Tomamos m=4 para que tenga soluciones infinitas.  No tenga solución 2

m −16=0

;

m−4 ≠ 0

m=−4

Para que el sistema no tenga solución se utiliza

m=−4

 Solución única. m 2−16 ≠ 0

→ a≠ 4 v a ≠−4 Para que tenga solución única.

.

3.4 Ejercicio 4.

Hallar � sabiendo que es múltiplo de 4 2

3

4

n

i+ 2i +3 i + 4 i +…+ ni =64(1−i) i+ 2i 2 +3 i3 +4 i4 +5 i5+ 6 i6 +7 i 7 +8 i8 +…+n in=64 (1−i) n i−2−3 i+4 +5 i −6 −7 i + 8+…+n i =64 ( 1−i ) Agrupamos de 4 en 4.

( 2−2 i )+ ( 2−2 i ) + …+n in=64 (1−i ) 1 n ( 1−i ) =64( 1−i) 2

1 n=64 2

1 ( n ) ( 2−2 i ) =64( 1−i ) 4

n=128

2 2 n− ∋¿ 64 ( 1−i) 4 4

3.5 Ejercicio 5.

Si: 1 ( 1+ i1)(1+ i+11 )(1+ i+21 )(1+ i+13 ) … (1+ 1000+i )=a+bi Hallar: � = � – � i+3 i+4 i+5 i+6 i+1001 =a+bi … ( i+1i )(i+2 i+1 )( i+2)( i+3 )( i+4 )( i+5 ) ( i+1000 ) =a+bi ( 1i )( i+1001 1 )

i+1001 =a+bi i

i+ 1001=ai+b i 2

i2=−1 1001+ i=ai− b

i−( −1001)=ai−b

 Entonces: E=a− b=1− (−1001 ) =1002

a=1

b=−1001

3.6 Ejercicio 6.

Hallar el menor número � de 2 cifras que verifica:



( 2 2)

√ 3 + 1 i n= 1 + √ 3 i 2

2



Convertimos ala expresióntrigonométrica .

(

√3 +1i n

( 2 2)

30 cos 30+sin ¿ ¿ ¿ n √ 3 + 1 i =¿ 2 2

)

 Convertimos ala expresión trigonométrica .

1 2 2 = 1 tan α= = 2 3 √ √3 √ 3 2

1 √3 + i 2 2

√3

tan α=30 ° → α ∈ IC →∅=30 ° tan α= r 2=

( 2 ) ( 2) 2 √3 + 1

2

3 1 2 r = + =1 4 4

2 2√3 =√ 3 = 2 1 2

tan α =60 ° → α ∈ IC →∅=60°

r=1

()( )

1 2 √3 r= + 2 2 2

2

1 3 r 2= + =1 4 4

r=1 

1 √3 + i=cos 60+ sin60 Igualamos los datos. 2 2 30 cos 30+sin ¿ ¿ ¿ ¿

cos 30 n+sin 30 n=cos 60+sin 60

30 n=60

n=2

Proporcionamos los ángulos para hallar el menor valor de dos cifras que verifique la ecuación. Casos básicos para entender la relación del problema. n = 10 cos 300+sin 300=cos 60+sin 60 // No cumple n = 11 cos 330+sin 330=cos 60+sin 60 // No cumple

n = 12 cos 360+sin 360=cos 60+sin 60 // No cumple

Podemos entender que una vuelta representa 360º por lo tanto, para que sea igual a 60º tiene que medir 420º Para este caso n Tiene que ser igual a 14 cos 420+sin 420=cos 60+sin 60 // SI cumple n=14

3.7 Ejercicio 7.

La suma de dos números complejos es −2 − 6 � la parte real de uno de ellos es −4 y el cociente un imaginario puro, halle la diferencia de las partes imaginarias de los complejos.  Números complejos. z 1=a+bi 

z 2=c +di

La suma de dos números complejos es:

 La parte real de uno de ellos es -

−2 − 6�

4.

z 1+z 2= ( a+c) + (b+ d ) i=−2−6 i

a=−4

−4 +c=−2

b + d =−6

a+ c=−2

c=2

 El cociente un imaginario puro. z 1 ( a+bi) ( c−di ) ( a+bi) ( c−di) = = =0+mi 2 z 2 ( c +di) ( c−di ) c 2− ( di ) −8− (−4 di )+ 2 bi + db 4 +d



2

=0+mi

ac −adi + bic −db i 2 =0+mi 4 +d 2

2 ( 2 d +b ) i+db−8 =0+mi 4+ d2

Para que el cociente sea un imaginario puro el denominador tiene que dividir únicamente a la parte imaginaria por lo que la parte natural será igual a 0.



db−8 =0 o

bd=8

2 2 ( b+d ) =(−6)

o

2 2 2 ( b−d ) =b −2 bd+d 2

b2 +2 bd +d 2=36

( b−d ) =20 −2 ( 8)

b2 +d 2 =36 −2( 8 )

2 ( b−d ) =4

b2 +d 2=20

b −d =2

 Hallamos b y d b + d =−6

b−d=2

 Números complejos.

→ b=−2

→ d=−4

z 1=a+bi=−4−2 i

z 2=c +di=2−4 i

 halle la diferencia de las partes imaginarias de los complejos Parteimaginaria de z 1− Parte imaginaria de z 2=−2 i− (−4 i )=2i

3.8 Ejercicio 8.

Hallar las raíces cúbicas de

z=

z=

√3+i y representar gráficamente las raíces. − √3+i

√ 3+i − √3+i

2 2 r= √a + b

−1 2 ¿ ¿ −√ 3 2 ¿ ¿ ¿ r= √¿

i= √−1 9

√−1+ √ 3 ∗( √ −1+ √ 3) −1−√ 3 z= √ ( √−1+ √ 3) z=

2+ 2 √ 3 i −4

r=1

−1 √ 3 i − 2 2 ⏟ ⏟ a

b

y

−1

θ=240°

-------------2

∝

x

γ --------------

tan α=1/ √3 α=tg−1 (1/ √ 3)

√

3

α =30 °

4.

Conclusiones.

Después de haber realizado los ejercicios planteados por él docente con total satisfacción, se llega a la conclusión de que dominar ecuaciones lineales y números complejos va a ser un factor fundamental en el transcurso de nuestra carrera y es que estos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas.

Facilita también el cálculo de integrales en

aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia, temas los cuales llevaremos en los ciclos posteriores al que nos encontramos actualmente. Razón principal por la que nos conviene dominar estos temas. Dentro de las sugerencias que propondría es que haya una mayor participación por parte de los estudiantes en las clases dictadas, asimismo que estos tengan un mayor compromiso con el área pues depende de cada uno él si queremos mejorar nuestros conocimientos o no, también propondría que luego de cada clase se practique con algunos ejercicios, ya que como bien sabemos, no hay mejor forma de dominar un tema que con la práctica. Finalmente, estaría de más decir que el dominio de ecuaciones lineales y números complejos son un factor importante en nuestras carreras pues como bien sabemos en nuestra facultad va a ser muy común encontrarnos con este tipo de temas y es que, los números complejos son de gran importancia en nuestra especialidad pues son usados en los modelamientos matemáticos de procesos físicos; entre los cuales está el análisis de corriente eléctrica y de señales electrónicas. Asimismo, por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas, lo cual es de gran ayuda tanto para los arquitectos como ingenieros civiles.

5.

Referencias.  Historia de los sistemas de ecuaciones lineales . StuDocu. (2021). Consultado el 17 de noviembre de 2021 en https://www.studocu.com/co/document/universidad-dela-salle-colombia/algebra-lineal/historia-de-los-sistemas-de-ecuacioneslineales/5492368.  Breve historia de los números complejos . (2021). [Libro electrónico] (pág. 1). Consultado el 17 de noviembre de 2021 en https://rotrujil.webs.ull.es/WebAMVI/HISTORIA.pdf.

6.

Anexos....