Gráficas De Ecuaciones Lineales y No Lineales PDF

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Graficar y linealizar las ecuaciones. Mediante logaritmos, cambio y cambio de variable....

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA CARRERA DE INGENIERÍA QUÍMICA

GRÁFICAS DE ECUACIONES INFORME # 3 Asignatura: Laboratorio Física I Docente: Ing. Flores Flores Fredddy Estudiantes: Benavides Guzman Esteban Mauricio Camacho Guardia Huascar Condori Macias Cesar García Guzmán Daphne Nuñez Andrea Grupo: B4-R3 Día: Miércoles Horario: 14:15-15:45

GRÁFICAS DE ECUACIONES 1. OBJETIVOS Realizar gráficos y ecuaciones para obtener sus resultados.

2. MARCO TEÓRICO En física experimental generalmente se trabaja con dos variables; independientemente(que se puede controlar o variar libremente) y dependiente (que cambia a consecuencia del cambio de la variable independiente). En el sistema cartesiano, la variable independiente se localiza en el eje de la abscisa o eje “x”, y la variable dependiente se localiza en el eje de la ordenada o eje “y”. Una gráfica puede describirse a través de una ecuación y es conocida como relación funcional entre las variables, esta relación puede representar una ley física o una relación que permite obtener medidas indirectas. Los gráficos tienen tres aplicaciones principales: ● Sirven de ayuda visual. Una representación de los datos en un gráfico muestra más claramente las variaciones que se presentan de forma tabular. ● Se usan para determinar el valor de alguna magnitud, por lo general la pendiente, o la intersección de una línea recta con eje de las ordenadas. ● Facilita la obtención de la ecuación empírica o relación entre las variables y, la interpolación y extrapolación de datos. ESCALAS LINEALES Y NO LINEALES Las escalas lineales son aquellas en las que distancias iguales representan cantidades iguales. Las escalas no lineales son aquellas que se construyen en base a un patrón de comportamiento que hace que distancias iguales no representan cantidades iguales, por ejemplo las escalas logarítmicas. SUGERENCIAS PARA REALIZAR GRÁFICOS Con el propósito de dar una mejor interpretación visual de los datos experimentales, se debe construir una gráfica de la forma más clara posible, algunas sugerencias para graficar en papel milimetrado son: A. Los puntos experimentales no deben estar muy juntos. Se debe seleccionar una escala para que los puntos ocupen razonablemente el espacio que dispone para el gráfico. B. La escala debe ser sencilla de utilizar, de modo que un centímetro del papel representa una unidad (0,1; 10; 100; etc.) de la magnitud medida. C. Los ejes deben estar claramente identificados con las magnitudes y sus respectivas unidades. Las ecuaciones matemáticas que representan las relaciones entre las variables en general se denominan relaciones funcionales, y se pueden determinar a través de métodos gráficos o métodos analiticos.

RELACIÓN LINEAL En una tendencia lineal, la recta de ajuste debe ser trazada de manera que pase por la mayoría de los puntos. La curva de ajuste se traza a simple vista. El modelo matemático para un comportamiento lineal es la ecuación de la recta y la forma general es: 𝑦=𝐴+𝐵𝑥 2.1 Donde el parámetro A es la ordenada al origen y representa el valor del eje y cuando x = 0, su valor se lee en el punto de intersección de la recta con el eje de ordenadas, como se aprecia en la siguiente figura.

𝐵=

Δ𝑦𝑦 Δ𝑥𝑥

2.2

Donde, Δ𝑦 = 𝑦𝑓 − 𝑦𝑖 y Δ𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 es decir para calcular B se debe conocer dos puntos cualquiera que está sobre la tierra.

GRÁFICO 2.3

La tabla 2.4 es un registro de datos experimentales de la velocidad y del tiempo de un cuerpo en caída libre, v= f(t). Representando los datos en un papel milimetrado como en la figura 2.5 se observa una tendencia lineal y la recta se ha trazado según el criterio de ajuste a simple vista. Determinar los parámetros A y B.

FIGURA 2.5 VELOCIDAD EN LA FUNCIÓN DEL TIEMPO

n

t[s]

v[m/s]

1

,00

15,0

2

1,0

27,0

3

2,0

33,0

4

3,0

44,4

5

4,0

55,0

6

5,0

66,0

TABLA 2.4: MEDICIONES DEL TIEMPO Y VELOCIDAD En la figura 2.5 se puede observar que el gráfico no presenta una relación lineal perfecta, porque los puntos están dispersos alrededor de la recta, esto significa que no toda la variación de la velocidad puede ser explicada por la variación del tiempo. Si entre estas variables existiera una relación lineal perfecta, entonces todos los puntos caerían a lo largo de la recta de regresión que ha sido trazada. En la práctica se observa que la mayoría de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino que están dispersos en torno a ella. La ecuación de ajuste para la recta de la figura 2.5 es: 𝑣 = 𝐴 + 𝐵𝑡 Y a partir del gráfico de la Figura 2.5 se determinan los parámetros de la recta: A = 15,0 la pendiente es

B=

Δ𝑣𝑣 Δ𝑣 𝑡

=

?𝑣₂−𝑣₁? 55,0−15,0 = 4,0−0,0 = 𝑡₂−𝑡₁

de este modo la ecuación de la recta es: V = 15,0 + 10,0t

10,0

RELACIÓN NO LINEAL Las relaciones no lineales más frecuentes y sus modelos matemáticos son: RELACIÓN NO LINEAL

MODELO MATEMÁTICO

Relación potencial simple

y= axb

Relación exponencial directa

y= aebx

Entre las relaciones potenciales simples, las más conocidas son: CURVA

VALOR DE B

MODELO MATEMÁTICO

Parábola

b=2

y = ax²

Hipérbola

b = -1

y = ax⁻¹

Cúbica

b=3

y = ax³

Recta

b=1

y = ax¹

Si en la representación de los datos experimentales en coordenadas rectangulares no se obtienen tendencias lineales, entonces no es posible encontrar directamente del gráfico la ecuación de la relación no lineal. MÉTODO DE LINEALIZACIÓN Algunos métodos de linealización para las relaciones no lineales son: ● Cambio de variable. ● Linealización por logaritmos. ● Cambio de escala, papel semi-logarítmico o papel log-log. CAMBIO DE VARIABLE Este método consiste en asumir un modelo para el comportamiento de los datos, es decir estimar o predeterminar el valor del parámetro b de la relación no lineal, seguidamente realizar el cambio de variable. Si el valor de b es el adecuado, la nueva gráfica será lineal, caso contrario la gráfica no será lineal. La experiencia y el buen sentido son las únicas armas para identificar a las curvas originales, que podrían ser; potenciales(parábolas, hipérbolas, etc) o exponenciales u otras relaciones. EJEMPLO 1: CASO PARABOLA La tabla 2.6 tiene datos de posición y tiempo de un objeto de caída libre. La figura 2.7 muestra su representación gráfica en un papel milimetrado, la experiencia permite estimar que el comportamiento de los datos sigue la ecuación de una parábola, entonces asumimos el modelo de x= at²

TABLA 2.6: POSICIÓN Y TIEMPO FIGURA 2.7 POSICIÓN PARA EL MRUV PARA EL MRUV Para determinar la relación funcional entre el tiempo y la posición, es necesario encontrar el valor del parámetro a que no es posible directamente, para ello recurrimos a la linealización aplicando el cambio de variable de z = t². Con esta nueva variable se construye una nueva tabla 2.8, luego si se representa gráficamente las variables z y x, se obtiene una recta (figura 2.9), esto significa que el modelo asumido ha sido adecuado.

TABLA 2.8 POSICIÓN Y TIEMPO FIGURA 2.9 POSICIÓN EN FUNCIÓN Z AL CUADRADO El modelo matemático para figurar 4.3 es la ecuación de una recta: 𝑥 = 𝐴 + 𝐵𝑧; A partir de la figura 2.9 se observa que A = 0, y para calcular la pendiente se consideran dos puntos que están sobre la recta:

B=

Δ𝑥𝑥 Δ𝑥𝑧

=

𝑥₂−𝑥₁ 𝑧₂−𝑧₁

78,4−30,6

= 16,0−6,25 = 4,9

la pendiente B es igual al parámetro a del modelo asumido, la ecuación de la línea recta será: 𝑥 = 0 + 4,9Z entonces, retornando a los parámetros originales, la ecuación de la curva original será: 𝑥 = 4,9 𝑡²

LINEALIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS La ecuación de una potencial simple: 𝑦 = 𝑎𝑥𝑏 2.10 El método para linealizar esta función consiste en aplicar logaritmos a ambos miembros de la ecuación, y aplicando las propiedades de logaritmos, la ecuación 2.10 tiene la forma de: log(𝑦) = log(𝑎) + 𝑏 𝑙𝑜𝑔(𝑥) 2.11 La ecuación 2.11 representa la ecuación de una recta con las nuevas variables de log(x) y log(y), escribiendo de otra forma, se tiene: 𝑦′ = 𝐴 + 𝐵𝑥′ Donde 𝑦′ = log(𝑦), 𝑥′ = log (𝑥), 𝐴 = log(𝑎) , 𝐵 = 𝑏 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS Para explicar la forma de encontrar los parámetros de una potencial simple, considerando la tabla 2.12 que corresponde a una relación no lineal. En la figura 2.13 se representa gráficamente log(x)en función de log(t), si la gráfica es lineal, entonces los parámetros A y B representan la intersección con el eje de la ordenada y la pendiente respectivamente, y se pueden encontrar a partir de la figura 2.13.

TABLA 2.12 LOGARITMOS PARA LA FIGURA 2.13 CURVA PARA MRUV POSICIÓN Y TIEMPO Para escribir la ecuación de la curva original de la curva original, determinamos los valores de a y b mediante las siguientes relaciones: 𝑎 = 10𝐴 𝑏 = 𝐵, En la figura 2.13 se puede estimar el valor de A= 0,69 y el valor de la pendiente: B=

Δ𝑙𝑜𝑔 (𝑥𝑥) Δ𝑙𝑜𝑔 (𝑥𝑡)

=

𝑙𝑜𝑔(𝑥𝑥₂) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥𝑥₁) 1,89 − 1.49 = 0,60 − (0.40) 𝑙𝑜𝑔(𝑡𝑡₂) − 𝑙𝑜𝑔(𝑡𝑡₁)

= 2,0

Entonces la ecuación de la recta es: log(𝑥) = 0,69 + 2,01 log (𝑡) A partir de los parámetros de la recta A y B, calculamos los parámetros a y b de la curva origina: Finalmente la relación funcional entre la posición y el tiempo es:

x= 4.9t² LINEALIZACIÓN POR CAMBIO DE ESCALA En este método se utiliza un papel doble logarítmico, es decir eje de abscisas y el eje de ordenadas con escalas logarítmicas, en este papel se considera la ecuación: log(𝑦) = log(𝑎) + 𝐵 log(𝑥) Para x=1, la ecuación se reduce a: log(𝑦) = log(𝑎) El valor de b se obtiene formando un triángulo con dos puntos que están sobre la recta (puntos separados) y con la siguiente operación: 𝑙𝑦/𝐿𝑦 b= 𝑙𝑥/𝐿𝑥 donde ly y lx son las longitudes de los catetos del triángulo formado por los dos puntos escogidos, y Ly y Lx son las longitudes de los ciclos vertical y horizontal, donde para el papel logarítmico son iguales, entonces se reduce a: 𝑙𝑦 b = 𝑙𝑥

3. MATERIALES Solo se requiere de gráficas y papel log-log para realizar las mismas.

4. PROCEDIMIENTO ● ● ●

Representamos gráficamente las tablas 1.1 ; 1.2 y 1.3 Determinamos los parámetros de la curva de ajuste de las tablas 1.1 ; 1.2 y 1.3 donde aplicamos los métodos de linealización que correspondan escribimos la ecuación de ajuste para cada gráfica

N

H(cm)

m(g)

1

1,00

8,65

2

2,00

17,30

3

3,00

25,95

4

4,00

34,63

5

5,00

43,31

6

6,00

51,95

Tabla (1.1)

N 1

D(cm) 1,00

m(g) 1,22

2

2,00

4,90

3

3,00

10,40

4

4,00

19,52

5

5,00

30,71

6

6,00

43,75

Tabla(1.2)

N

D(cm)

m(g)

1

0,713

1,47

2

0,998

4,50

3

1,501

13,75

4

1,746

21,70

5

1,905

28.20

6

2,222

44,75

Tabla(1.3)

5. CÁLCULOS Y RESULTADOS

Representación gráfica de la tabla (1.1)

𝑦=𝐴+𝐵𝑥 𝐵=

Δ𝑦𝑦 Δ𝑥𝑥

B= 4.33/0,62

B= 7 A=9

Y=7x+9

Tabla 1.2 N

D(cm)

m(g)

1

1,00

1,22

2

2,00

4,90

3

3,00

10,40

4

4,00

19,52

5

5,00

30,71

6

6,00

43,75

Representación del gráfico

Proceso de linealización 𝑏

Utilizamos la ecuación para relación no lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 y aplicamos logaritmos 𝑏 𝑏 𝑚 = 𝑎𝐷 ⇒ 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎𝐷 ) ⇒ 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑏𝑙𝑜𝑔(𝐷) 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑏𝑙𝑜𝑔(𝐷) ⇒ 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 N

log D

log m

1

0,00

0,09

2

0,30

0,69

3

0,48

1,02

4

0,60

1,29

5

0,70

1,49

6

0,78

1,64

𝐴

𝐴 = 0, 09 ⇒ 𝐴 = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) ⇒ 10 = 𝑎 ⇒ 10 1,64−0,09 ∆𝑦 𝐵 = ∆𝑥 ⇒ 0,78−0,.00 = 1, 99 ⇒ 𝐵 = 𝑏

0,09

= 1, 23

𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑏𝑙𝑜𝑔(𝐷) ⇒ 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 0, 09 + 1, 99𝑙𝑜𝑔(𝐷) 𝑏

1,99

𝑚 = 𝑎𝐷 ⇒ 𝑚 = 1, 23 * 𝐷 Ecuación de ajuste 𝑔 𝑔 = [ ] * 𝑐𝑚 ⇒ 𝑐𝑚 = [ ] 𝑔

1,99

𝑚 = 1, 23[ 𝑐𝑚 ] * 𝐷 Parámetros 𝑔 𝑎 = 1, 23[ 𝑐𝑚 ] ⇒densidad del sistema

Tabla 1.3. n

D[cm]

m[g]

1

0,713

1,47

2

0,998

4,50

3

1,501

13,75

4

1,746

21,70

5

1,905

28,20

6

2,222

44,75

Proceso de linealización 𝑏

Utilizamos la ecuación para relación no lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 y aplicamos logaritmos 𝑏 𝑏 𝑚 = 𝑎𝐷 ⇒ 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎𝐷 ) ⇒ 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑏𝑙𝑜𝑔(𝐷) 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑏𝑙𝑜𝑔(𝐷) ⇒ 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 N

log(D)

log(m)

1

-0,147

0,167

2

-0,001

0,653

3

0,176

1,138

4

0,242

1,336

5

0,280

1,450

6

0,347

1,651

0,653

𝐴 = 0, 653 ⇒ 𝐴 = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) ⇒ 10 = 𝑎 = 4, 497 1,651−0,167 ∆𝑦 𝐵 = ∆𝑥 = 0,347−(−0,147) = 3, 00 ⇒ 𝐵 = 𝑏 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑏𝑙𝑜𝑔(𝐷) ⇒ 𝑙𝑜𝑔(𝑚) = 0, 653 + 3 * 𝑙𝑜𝑔(𝐷) 𝑏

3

𝑚 = 𝑎𝐷 ⇒ 𝑚 = 4, 497 * 𝐷 Ecuación de ajuste 𝑔 𝑔 = [ ] * 𝑐𝑚 ⇒ 𝑐𝑚 = [ ] 𝑔

𝑚 = 4, 497[ 𝑐𝑚 ] * 𝐷

3

Parámetros 𝑔 𝑎 = 4, 497[ 𝑐𝑚 ] ⇒ densidad del sistema

6. CONCLUSIONES La graficación de cada tabla nos mostró si esta era lineales o no, con eso en mente las gráficas no lineales, las linealizamos con el fin de sacar la ecuación de ajuste y ver los parámetros que estos muestran. Además de enseñar como sacar la constante y las condiciones para deducir esta.

7. CUESTIONARIO 1.- Cuando en una gráfica no lineal el cambio de variable para linealizar es adecuado ¿qué tipo es la gráfica que se obtiene? R Si el cambio de variable es el adecuado se obtiene una gráfica lineal o una línea recta. 2.- ¿Qué tipos de modelos podrá usted señalar, para las distintas gráficas?

R Se puede señalar Y = ax 2 para el caso de una parábola Y = a/x para el caso de una hipérbola rectangular 3.- Indique brevemente cómo se determina los parámetros 𝐴 y 𝐵 en el método por logaritmización cuando se usa papel milimetrado, y cómo se determinan los parámetros 𝑎 y 𝑏. R Primero se debe graficar en papel milimetrado log y en función de logx si la gráfica es lineal los parámetros A y B se determinan de la siguiente manera: A se lee en la gráfica B se calcula por la relación B = /\ log Y//\ logx Para escribir la ecuación de la función potencial que es la que nos interesa determinamos los valores de a y b mediante las siguientes relaciones a = antilog (A) ; b = B 4.- Indique brevemente cómo se determina los parámetros 𝐴 y 𝐵 en el método por logaritmización cuando se usa papel log-log, y cómo se determinan los parámetros 𝑎 y 𝑏. R Para este método se utiliza un papel doble logarítmico, en este papel representamos la variable independiente y la variable dependiente. Considerando la ecuación: Log y = Log a + b Log x Para x= 1 la ecuación se reduce a Log y = Log a Donde a= y como los valores de la variable dependiente se ha representado en el eje vertical, el valor de a se lo obtiene tomando de la gráfica y-x (papel Log - Log) dos puntos que estén sobre la recta y realizando la siguiente operación. b = (Iy /LY )/ (Ix /Lx ) Donde Iy y Lx son las diferencias ordenadas y de abscisas de los dos puntos escogidos pero medidas en milímetros Ly y Lx son las longitudes de los ciclos vertical y horizontal del papel logarítmico medidas también en milímetros. Si las longitudes de los lados son iguales la expresión se reduce a: b = Iy / Ix Los parámetros A y B ya no se calculan en este método

5.- Los resultados que se obtienen por los diferentes métodos gráficos que se muestran en las Tablas presenta diferencias ¿podrá indicar a que se deben esas diferencias? R Se debe a las mediciones realizadas con una regla ya que el error de su precisión es inexacto. 6.- Indicar brevemente cómo se construye una escala logarítmica. R ● Para la escala del eje horizontal primero se debe observar el valor mínimo que se tiene en la tabla y convertirlo a notación científica y observar exponente, el número que se obtiene en la parte exponencial representa el valor por el cual empezará nuestra escala en dicho eje. Es decir si el mínimo valor de la tabla es 0.2 convertido en notación científica se tiene 2*10-1 . ● Para la escala vertical se utiliza el mismo criterio que para la escala

horizontal. 9.- ¿Cuál es el significado físico del coeficiente 𝑎 en los modelos no lineales de los discos y esferas? R : Estos significan la densidad de cada objeto...