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Sistemas de ecuaciones lineales

Matemática

¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales? Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables Hay muchas situaciones –por ejemplo, en los negocios– que apuntan a los denominados sistemas de ecuaciones lineales. En este módulo se desarrollará el concepto a través de un caso de la vida cotidiana. Por ejemplo: En un local que vende escritorios de vanguardia para salas de reuniones, el propietario quiere comprar dos modelos nuevos para la venta. El modelo 1 cuesta U$S300 y ocupa 4 m2 , mientras que el modelo 2 le cuesta U$S400 y ocupa 5 m2 . El comerciante tiene dos limitaciones: solo gastar U$S2000 en la compra de estos modelos, y tiene su depósito reducido en espacio a alrededor de 26 m2 . Supongamos que el dueño compra x escritorios del modelo 1 e y del modelo 2; entonces, tenemos que: 1- 300𝑥 + 400𝑦 = 2000 En cuanto al espacio que ocupan los escritorios, este viene dado por la ecuación: 2- 4𝑥 + 5𝑦 = 26 Para saber cuántos puede adquirir de cada modelo, hay que resolver las dos ecuaciones. Debemos encontrar cuáles son los valores de x e y que satisfacen las ecuaciones. Para este cálculo podemos utilizar el método llamado método de sustitución. Este método consiste en:  El método de sustitución, consiste en despejar de una de las ecuaciones unas de las variables y luego reemplazarla en la otra ecuación. Veamos: Despejemos x de la ecuación 2:

𝑥=

26−5𝑦 4

2

Ahora la reemplazamos en la ecuación 1: 300 (

26 − 5𝑦 ) + 400𝑦 = 2000 4

75(26 − 5𝑦) + 400𝑦 = 2000 1950 − 375𝑦 + 400𝑦 = 2000 1950 + 25𝑦 = 2000 𝑦=

2000 − 1950 25 𝑦=2

Ahora, reemplazando 𝑦 = 2 en

𝑥=

26−5𝑦 4

, obtenemos el valor 𝑥 = 4.

Concluimos en que la solución para dicho sistema de ecuación es 𝑥 = 4 e 𝑦 = 2. Por lo que el propietario deberá comprar 4 escritorios del modelo 1 y 2 escritorios del modelo 2 utilizando todo su capital y el espacio de su depósito.  El método de eliminación, se trata de eliminar una de las dos variables sumando las dos ecuaciones. Para ello, primero debemos observar cómo podemos adecuar las dos ecuaciones para que se elimine alguna variable. Si multiplicamos cada término por -80 en la ecuación 2, 4𝑥 + 5𝑦 = 26, obtenemos: −320𝑥 − 400𝑦 = −2080 Ahora, sumemos las dos ecuaciones: −320𝑥 − 400𝑦 + 300𝑥 − 400𝑦 = −2080 + 2000 −20𝑥 = −80 𝑥=4 Aquí hay que darse cuenta y estar atentos de que podemos aplicar este método si es que al sumar las dos ecuaciones podemos eliminar una variable. En este caso, al multiplicar -80 a la segunda ecuación, vemos que del término con la variable y su coeficiente pasa a valer -400, que en este caso coincide con el coeficiente de la variable y en la primera ecuación.

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Ahora, si reemplazamos el valor de x en la ecuación 4𝑥 + 5𝑦 = 26, obtenemos que 𝑦 = 2. Vemos que hemos resuelto el sistema de ecuaciones por medio de distintos métodos y el resultado que obtuvimos es el mismo. Gráficamente, podemos ver qué sucede cuando queremos resolver un sistema de dos ecuaciones. Veremos cómo son las posibles interpretaciones de las soluciones de los sistemas. En el caso de que tengamos 2 ecuaciones lineales y que en su gráfica estas se crucen en algún punto, se dice que el sistema lineal tiene una sola solución. Podemos verlo en la Figura 1: Figura 1: Gráfico de 2 rectas que se cruzan

Fuente: elaboración propia a base de GeoGebra (International GeoGebra Institute, 2017, https://goo.gl/7tggse).

En el caso de que tengamos un sistema de 2 ecuaciones y que las gráficas de sus rectas sean paralelas entre sí, es decir, que nunca se crucen, estamos en presencia de un sistema de ecuación sin solución. Veamos la Figura 2:

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Figura 2: Gráfico de 2 rectas que son paralelas, no se cruzan

Fuente: elaboración propia a base de GeoGebra (International GeoGebra Institute, 2017, https://goo.gl/7tggse).

Por último, tenemos el caso de que un sistema de 2 ecuaciones se represente por la misma recta. Aquí coinciden ambas rectas en toda su trayectoria, es decir, que el sistema de ecuación tiene un número infinito de puntos coincidentes. El sistema lineal tiene infinitas soluciones. Veamos, pues, la Figura 3:

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Figura 3: Gráfico de 2 rectas que coinciden en su trayectoria

Fuente: elaboración propia a base de GeoGebra (International GeoGebra Institute, 2017, https://goo.gl/7tggse).

Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables Podemos también utilizar los dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones de dos variables para resolver también sistemas de ecuaciones de tres variables. En este caso contaremos con tres ecuaciones con tres variables cada una, que son 𝑥 , 𝑦, 𝑧. Por ejemplo, tenemos las siguientes ecuaciones: 𝑥−𝑦−𝑧=1 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 6 −4𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 6 Ponemos a la primera ecuación en función x: 𝑥 = 1+𝑦+𝑧 Reemplazamos en las dos ecuaciones restantes: 2(1 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦 + 3𝑧 = 6 6

−4(1 + 𝑦 + 𝑧) − 2𝑦 + 3𝑧 = 6 Simplificando y reduciendo, nos queda: 1)

3𝑦 + 5𝑧 = 4

2)

−6𝑦 − 𝑧 = 10

En este momento tenemos 2 ecuaciones con 2 variables, y podemos optar por el método de sustitución o por el de eliminación. Utilizando el método de sustitución y despejando z de la segunda ecuación 2, tenemos que: 3)

𝑧 = −6𝑦 − 10

Si reemplazamos en la ecuación 1, vemos que: 3𝑦 − 5(−6𝑦 − 10) = 4 −27𝑦 = 54 𝑦 = −2 Si reemplazamos y en la ecuación 3, tenemos: 𝑧 = 12 − 10 = 2 Reemplazando z e y, y despejando x de la 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1, obtenemos la solución: 𝑥 = 1 , 𝑦 = −2 , 𝑧 = 2.

ecuación

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Referencias Haeussler, E. F. JR., Paul, R. S., y Wood, R. J. (2012). Matemáticas para Administración y Economía (12.va ed.). México: Pearson. International GeoGebra Institute. https://www.geogebra.org/?lang=es

(2017).

GeoGebra.

Recuperado

de

Jagdish, C., y Robin, W. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (5.ta ed.). México: Pearson Educación.

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