Ejercicios resueltos para problemas de ecuaciones lineales PDF

Preview

Summary

Soluciones sobre ecuaciones lineales...

Description

EJERCICIOS RESUELTOS PARA EXAMEN DE GRADO. PROBLEMAS DE ECUACIONES LINEALES. a) La suma de tres números enteros consecutivos es 48. ¿Cuánto vale cada número?

x+ ( x +1 ) + ( x +2 )=48 x+x +1+ x +2=48 3 x+3=48 3 x=48 −3 3 x=45 x=15 Comprobando: 15+16+17=48 R: Los números son 15, 16, 17. b) Encuentre tres números impares consecutivos cuya suma es igual a 117.

(2 x +1) +( 2 x+3 )+ ( 2 x +5) =117 2 x +1 +2 x+ 3 + 2 x +5=117 6 x+9=117 6 x=117 −9 6 x=108 x=18 Primer número sería: 2x + 1 = 2(18) + 1 = 37 Comprobando: 37+39+41=117 R: Los números son 37, 39, 41 c) De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto y quedan aún 1600 litros. Calcular la capacidad del depósito en centímetros cúbicos. Capacidad del depósito: C

C C C− −1 C− =1600 litros 2 3 2 C C C C− − + =1600 2 3 6 6 C−3 C−2C +C =1600 6 2C =1600 6 1600⋅6 C= 2 C=4800 litros .

(

)

Comprobando:

(

)

4800 1 4800 − 4800− =1600 2 3 2 1 4800 −2400− (4800−2400 )=1600 ⇒2400 −800=1600 ⇒1600 =1600 3 3 Recordar que un litro equivale a 1dm .Por lo tanto: 4800−

3

4800 litors=4800 dm 3 =4800 ( 10 cm ) =4800⋅1000 cm3 =4800000 cm 3 =4,8 × 106 cm 3 d) Pasó un gavilán por un palomar y dijo: “Adiós palomar de 100 palomas”. Una paloma le contesta: “Miente usted gavilán. Con éstas, otras tantas como éstas, la cuarta parte de éstas y usted gavilán, el ciento serán”. ¿Cuántas palomas había? Cantidad de palomas: P

P P+P+ +1=100 4 P 2 P+ =100− 1 4 9P =99 4 99⋅4 P= 9 P=44 Comprobando:

44 +1=100 4 44 +44 +11+1=100 100= 100

44 +44 +

R: Hay 44 palomas. e) ¿Cuál es la longitud de una varilla si su quinta parte es roja, hay dos tercios pintados de blanco y restan aún dos metros por pintar? Longitud de la varilla: L

L

2 + 3 L+2=L 5 L 2 L− − L=2 5 3 15 L−3 L−10 L =2 15 2L =2 15 2⋅15 L= 2 L=15

Comprobando:

15 2 + 15 +2= 15 5 3 3 +10+ 2 =15 15=15 R: La longitud de la varilla es de 15 metros. f) La diagonal de una granja cuadrada tiene 10 km más que uno de sus lados. ¿Cuál es la longitud del lado de la granja? Diagonal: d Lados: l

d=l √ 2 d=10+l 10+l=l √ 2 l−l √ 2=−10 l ( 1− √ 2 )=−10 10 l=− 1− √2 10 (√ 2+1 ) 10 =10√ 2+ 10=10 ( √ 2+1 ) =10⋅2. 41=24 .1 l= = 2−1 2−1 √ Comprobando:

10 +10 ( √ 2+ 1 )=10 ( √ 2+ 1 ) √ 2 10 +10 √2+10 =10 √ 2 √ 2+10 √ 2 20 +10 √2=10⋅2+10 √ 2 20 +10 √2=20 +10 √ 2

R: El lado de la granja mide 24,1 km.

g) Hallar el valor de a de tal manera que la ecuación solución x = 3 /4 .

x ( 1+a ) +1=a−1 a+1

tenga como

x ( 1+a ) +1=a−1 a+1 x+ 1=a−1 3 +1=a−1 4 7 +1=a 4 11 a= 4

Comprobando:

(

)

( )

3 3 15 11 45 1+ 4 4 4 4 11 11 7 3 7 7 7 16 +1= −1⇒ +1= −1 ⇒ +1= ⇒ +1= ⇒ = 4 4 4 4 4 4 4 11 15 15 +1 4 4 4

EJERCICIO 1: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte? A) 250 cm y 50 cm

B) 150 cm y 150 cm

C) 175 cm y 125 cm D) 200 cm y 100 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores. SOLUCIÓN.

Si se corta en dos partes: X: Longitud de una parte

X + 50: Longitud de la otra parte:

Planteamos la ecuación: Igualamos a 300 para convertir los 3m en 300 cm.

x+x +50=300 2 x =300−50 2 x =250 x=125 Si La parte más pequeña mide 125 cm, entonces la otra parte mide 175 cm.

EJERCICIO 2: Los ángulos interiores de un triángulo son tales que α : β = 2 : 3 y β : γ = 3 : 4, entonces

A) 15º B) 20º C) 45º D) 60º

E) Ninguna de las anteriores

SOLUCIÓN.

α 2 β 3 = y = De acuerdo al enunciado: β 3 γ 4 Expresando α y γ en función del mismo ángulo β, obtenemos:

α 2 β 3 = y = β 3 γ 4 Como:

(I)

β 3 4 = ⇒ γ= β γ 4 3 (II)

α , β , γ son los ángulos interiores de un triángulo: α+ β+γ=180° ( III )

Por lo tanto, sustituyendo las expresiones de I y II en III; obtenemos:

4 2 β + β + β=180 ° 3 3

Eliminando el denominador, multiplicando cada término por 3:

2 β +3 β +4 β=540° 9 β=540 ° β=60 ° 2×60 2 α= β= 3 3

α=40 °

γ=

4×60 4 β= 3 3

γ=80 °

Sustituyendo los valores de los ángulos en la expresión que nos piden calcular:

γ α β 80 ° 40 ° 60° =20 °+ 20 °−20 °=20 ° + − = + − 3 4 2 3 4 2

EJERCICIO 3: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y, ¿cuánto mide el ancho del rectángulo? Alternativas

SOLUCIÓN.

A. ancho del rectángulo

P: Perímetro.

L: largo del rectángulo.

L=3 x+2 y

P=10 x +6 y=2 L+2 A ⇒ 10 x +6 y=2(3 x +2 y )+2 A ⇒ 10 x +6 y=6 x +4 y +2 A 4 x +2 y=2 A

A=2 x + y

EJERCICIO 4: La señora Marta compró 3 kilogramos de azúcar y 2 kilogramos de harina y pagó $ s. Si el kilogramo de azúcar vale $ p, ¿cuánto cuesta el kilogramo de harina? Alternativas

SOLUCIÓN.

Definamos: p: Precio del Kilogramo de azúcar . Planteando la ecuación: 3 p+2 H =s

3 p+ 2 H =s ⇒ 2 H =s−3 p H=

s−3 p 2

H: Precio del kilogramo de harina.

EJERCICIO 5: Si al dobl e de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

SOLUCIÓN.

Sea x el número buscado:

x 2 x − =54 ⇒ 4 x−x=108 ⇒3 x=108 2

x=36

EJERCICIO 6: La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿ Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm ? SOLUCIÓN.

P=2(2 x+ x )=4 x+2 x=6 x=30 x 2X

x=5 Si la altura es de 5cm entonces su base será de 10cm.

EJERCICIO 7: En una reunión hay doble númer o de mujer es que de hombr es y tripl e núm ero de niños que de hombres y m ujeres juntos. ¿ Cuántos hom bres, mujeres y niños hay si la reunión l a com ponen 96 personas? SOLUCIÓN.

H: número de hombres.

M: número de mujeres

N: número de niños.

M=2H El número de mujeres es el doble del de hombres. N= 3(H + 2H) = 9H El número de niños es el triple de la suma de hombre y mujeres. Si: M + H + N = 96 entonces: 2H + H + 9H = 96

12H = 96

H=8

Si el número de hombres es 8, el de mujeres será 16 y el de niños 72.

EJERCICIO 8: Se han consumido 7/8 de un bi dón de acei te. R eponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capaci dad del bi dón. SOLUCIÓN.

C. capacidad del bidón.

C−

7

8 C=80

3 7 3 C+38= C ⇒ C− C− 5 C=−38 ⇒40 C−35 C−24 C =−1520 ⇒−19 C =− 1520 8 5

EJERCICIO 9: Una granj a tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿C uántos cerdos y pavos hay? SOLUCIÓN.

C: cantidad de cerdos.

P: cantidad de pavos.

C + P = 35 (I)

Cada cerdo tiene 4 patas y cada pavo tiene 2:

4C + 2P = 116 (II)

C + P =35 / (−2 ) 4 C + 2 P =116 ¿ {¿ ¿¿ ¿

−2C−2 P=−70 4 C +2 P=116 2C = 46

C=23

Sustituyendo en (I) obtenemos P = 12

EJERCICIO 10: Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumi ó 20 l de gasol ina. El tr ayecto lo hizo en dos etapas: en la prim era, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa, l a mitad de la gasolina que le queda. Se pi de: 1.Li tros de gasolina que tenía en el depósito. 2. Litros consumidos en cada etapa. SOLUCIÓN.

G: Gasolina en el depósito.

1ra Etapa. Consumió:

2 G 3

queda:

1 G 3

2da Etapa. Consumió la mitad de los que queda:

1 2 G+ G=20 ⇒ 4 G+G =120⇒ 5G =120 3 6

1 G 6

G=24 En el depósito habían 24 litros de gasolina.

1ra Etapa:

2da Etapa.

2 2×24 G= =16 3 3 1 24 G= =4 6 6

EJERCICIO 11: En una li br ería, Ana compra un libr o con la tercer a parte de su dinero y un cómic con las dos tercer as par tes de lo que l e quedaba. Al salir de l a libr ería tenía 12 €. ¿Cuánto dinero tenía Ana? SOLUCIÓN.

1 D D: cantidad de dinero que tenía Ana. El libro cuesta: 3

Le quedaría después de comprar el libro:

El comic cuesta entonces:

D−

2 D 3

2 2 4 D× = D 3 9 3

D 4 − D=12 ⇒9 D−3 D −4 D=12×9 ⇒ 2 D =12×9 3 9

D=54

EJERCICIO 12: Las dos cifras de un núm ero son consecutivas. La mayor es la de l as decenas y la menor la de las unidades. El número es i gual a seis veces la suma de las cifras. ¿Cuál es el número? SOLUCIÓN.

Cifras consecutivas: x, x+1. Recordar la forma de expresar un número de dos cifras.

10 ( x+1)+x=6 ( x +x +1) ⇒10 x+ 10 +x=12 x +6 x=4 Si 4 corresponde a las unidades, entonces el 5 correspondería a las decenas. El número es 54.

EJERCICIO 13: Hall a el valor de l os tr es ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° m ás que C y que A mide 40° m ás que B.

SOLUCIÓN.

A + B+C =180 °

C=B−40°

A=40 °+B

40 °+ B+ B+40 °−B=180 ° ⇒3 B=180 ° ⇒ B=60 ° B=60 °

C=60 °−40 °= 20 °

A=40 °+60 °= 100°

EJERCICIO 14: Calcula tres números consecuti vos cuya suma sea 51. SOLUCIÓN.

Tres números consecutivos: x, x+1, x+2

x + x +1+ x +2=51 ⇒3 x =48 x=16 Los números son: 16, 17, 18.

EJERCICIO 15: Calcula el núm ero que sumado con su anterior y con su siguiente dé 114. SOLUCIÓN.

Un número: x. Su antecesor: x-1. Su sucesor: x+1.

x+ x −1+ x+1=114 ⇒ 3 x=114 x=38

EJERCICIO 16: Calcula el núm ero que se triplica al sumarle 26. SOLUCIÓN.

Un número cualquiera: n

n+26=3 n ⇒26 =2 n n=13

EJERCICIO 17: La tercer a parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número? SOLUCIÓN.

Un número: x.

x =2 x−45 ⇒ x =6 x−135 ⇒ 135=5 x 3 x=27

EJERCICIO 18: En un rectángulo la base mide 18 cm más que l a altura y el perímetro m ide 76 cm. ¿Cuáles son las dim ensiones del rectángulo?

X

P = 76

X+18 SOLUCIÓN.

P = 2(x) + 2(x+18) = 2x + 2x +36 = 4x + 36 = 76 4x = 40

x=10

Altura igual a 10cm y la base 28 cm.

EJERCICIO 19: En un exam en había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fal lo r estan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Felipe sabiendo que ha obtenido 30 puntos y contestó todas? SOLUCIÓN.

C: preguntas contestadas correctamente. I: incorrectas. C + I = 20

3C - 2I = 30

I = 20 - C

3C – 2(20 – C) = 30 3C – 40 + 2C = 30 5C = 70 C = 14

EJERCICIO 20: Si el triple de un número se resta de ocho veces el número el resultado es 45. Hallar el número. X: sea el número a calcular.

8 x−3 x=45 5 x=45 x=9

EJERCICIO 21: La Suma de dos números es 27 y su diferencia es 7. Hallar los números. X: uno de los números. Y: el otro número.

x + y =27 x − y =7

17 + y= 27 y=10

2 x =34 x=17

EJERCICIO 22: Se han comprado dos piezas de una máquina de la misma medida y el mismo fabricante. Una de ellas se compró al precio de lista y la otra con rebaja del 25 porciento. Si por las dos se pagaron $52,50. ¿Cuánto se pagó por cada una? X: Precio de las piezas sin descuento.

x+0.75 x=52.50 1.75 x=52.50 x=30 R/ La pieza sin descuento cuesta $30.00 y la segunda pieza con el descuento del 25% cuesta $22.50. EJERCICIO 23: La edad de un padre es el triple de la de su hijo y dentro de 10 años será el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Actual Dentro de 10 años Hijo X X+10 Padre 3x 3x+10

3 x+10 =2 ( x+10 ) 3 x+10 =2 x+ 20

x=10

R/ Actualmente el hijo tiene 10 años y el padre 30 años.

EJERCICIO 24: La edad de un padre es el cuádruplo de la de su hijo. Hace tres años era el quíntuplo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Actual Hace 3 años Hijo X X-3 Padre 4x 4x-3

4 x −3=5 ( x−3 ) 4 x −3=5 x−15 x=12

R/ El hijo tiene actualmente 12 años, el padre 48 años.

EJERCICIO 25: La edad de un padre es ahora el duplo de la de su hijo, pero hace 20 años era el cuádruplo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Actual Hace 20 años

Hijo Padre

2x −20= 4 ( x−20 ) 2x −20=4 x−80 60=2 x

X 2x

X-20 2x-20

R/ El hijo tiene actualmente 30 años y el padre 60.

x=30 EJERCICIO 26: Hace cinco años la edad de un padre era el triple de la de su hijo y dentro de cinco años será el doble. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Hace 5 años Actual Dentro de 5 años Hijo X X+5 X+10 Padre 3x 3x+5 3x+10

3 x+10 =2 ( x+10 ) 3 x+10 =2 x+ 20 x=10

R/ La edad actual del hijo es 15 años y el padre 35 años.

EJERCICIO 27: Hace cuatro años un padre tenía ocho veces la de su hijo. Actualmente la edad del padre es cuatro veces la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Hace 4 años Actual Hijo X X+4 Padre 8x 8x+4

8 x+4=4 (x+4 ) 8 x+4=4 x+16 4 x=12

R/ Si la de edad del hijo hace 4 años era de 3 años, actualmente tiene

7y

x=3

el padre tendrá 28 años.

EJERCICIO 28: La suma de las edades de dos hermanos es 25 años. La edad del menor es dos tercios de la edad del mayor. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? X: edad del menor. x + y = 25 x = 2/3y

2 25∗3 5 y + y=25 ⇒ y=25 ⇒ y = 3 5 3

y=15

x=10

R/ el mayor tiene 15 y el menor 10

años.

EJERCICIO 29: Una madre lleva a su hija 24 años. Dentro de seis años la edad de la madre será el triple de la de la hija. ¿Cuál es la edad actual de cada una? Actual Dentro de 6 años Hija X X+6

Madre

X+24

x+30

x+30=3 ( x+6 ) x +30=3 x +18 2 x =12 x=6

R/ La hija tiene actualmente 6 años, la madre 30.

EJERCICIO 30: Juan tiene 11 años y Pedro 28. ¿Dentro de cuántos años la edad de Pedro será el doble de la de Juan? Actual A futuro Pedro 28 28+X Juan 11 11+x

x+28=2 ( x+11 ) x +28=2 x +22 x=6 R/ Dentro de 6 años. EJERCICIO 31: La edad actual de Manuel es el triple de la edad que tenía hace 20 años. ¿Cuál es su edad actual? Actual Hace 20 años Manuel x X-20

x=3 ( x−20 ) x=3 x−60 2 x=60 x=30

R/ La edad actual de Manuel es de 30 años.

EJERCICIO 32: Ángel tiene 20 años y Betty tiene 12. ¿Cuándo la edad de Ángel será el doble de la de Betty? Actual A futuro Angel 20 20+X Betty 12 12+x

x+20=2 ( x+12 ) x +20=2 x +24 x=−4 R/ Hace 4 años la edad de Angel era el doble de la Betty.

EJERCICIO 33: El denominador de un quebrado excede en tres unidades al numerador. El triple del denominador excede al cuádruplo del numerador en cuatro unidades ¿Cuál es el quebrado?

3 ( x+3 )=4 +4 x 3 x+9=4+4 x

x ⇒ Quebrado x +3

x=5

5 R/ El quebrado sería 8 EJERCICIO 34: El denominador de un quebrado excede en dos unidades al numerador. Si se suma 1 al numerador y al denominador el nuevo quebrado equivale a 2/3. Hallar el quebrado primitivo.

x +1 2 = x +3 3

x ⇒ Quebrado x +2 3 ( x+1) =2( x +3 ) 3 x+3=2 x+6

R/ El quebrado primitivo es:

x=3/5

EJERCICIO 35: Un rectángulo y un cuadrado tiene la misma área. El largo del rectángulo es 6 m mayor que el lado del cuadrado y su ancho es 4 m menor que el lado del cuadrado. Hallar las dimensiones y el área del cuadrado y del rectángulo. X X A = x²

x 2=( x +6 )( x−4 ) x 2=x 2 +2 x −24 0=2 x−24 2 x =24 x=12

x-4 x+6 A = ( x + 6 )( x – 4 )

Cuadrado: Lado = 12 m.

Rectángulo: ancho = 8 m, largo = 18 m. Área = 144 m²

EJERCICIO 36: La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 61. Hallar los números.

( x+1 )2−x 2 =61 x 2 +2 x+1−x2 =61 2 x +1= 61 2 x =60 x=30

R/ Los números son 30 y 31, pero también -30 y -31.

EJERCICIO 37: La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 80. Hallar los números.

( 2 x +3)2 −( 2 x+1) 2=80 4 x 2 +12x +9−( 4 x 2 + 4 x +1 )=80 4 x 2 +12x +9−4 x 2 −4 x −1=80 8 x=72 x=9

R/ Los números son 21 y 19, pero también -21 y -19.

EJERCICIO 38: En un número de dos cifras la cifra de las decenas excede en 5 a la cifras de las unidades. Sí se invierte el orden de las cifras resulta un nuevo número que sumado con el anterior da 121. Halla el número. Un número de dos cifras: 10x + y. x=y+5

10 x+ y+10 y+x=121 10( y+5 )+ y+10 y+ y+5=121 10 y+50+ y+10 y+ y+5=121 22 y=66 y=3 R/ El número es 83.

EJERCICIO 39: Dividir un ángulo de 90° en dos partes cuyas medidas estén entre sí como 7:8.

x + y =90° x =7 y 8 7 x= y 8

7 y + y=90° 8 15 y=90 ° 8 y=48°

y=48°

x + y =90° x+48 °=90 ° x=42° x=42 °

EJERCICIO 40: Un ganadero tiene 528 reses que quiere poner a pastar en dos terrenos. Uno de 15 ha y otro de 33 ha, de modo que haya en cada parcela el mismo número de cabezas de ganado por hectáreas. ¿Cuántas reses debe poner en cada una?

Podemos seguir dos vías para resolver el ejercicio: Si tenemos 528 reses en total, podemos hallar la relación de ese total por las hectáreas totales. Sería:

528 =11 48

Por lo tanto para el área de 15 ha, tendríamos que repartir 15x11=165 reses y para el área de 33 ha. serían 33x11=363 reses. Otra vía: x + y = 528 reses. y = 528 - x

x y = 15 33 x 528−x = 15 33 33 x=15( 528−x ) 11 x=5 (528−x) 11 x=2640−5 x 16 x=2640

y=363

x=165

EJERCICIO 41: Alberto tiene $3.30 en monedas de 10 centavos y de 20 centavos. Sí tiene en total 24 monedas. ¿Cuántas son de cada clase? x. Monedas de 10 cent. y. Monedas de 20 cent. x+ y = 24 y = 24 – x

0.10 x+0 .20 y=3 .30 0.10 x+0 .20 ( 24−x )=3.30 0.1 x+4. 8−0 .2 x=3 .30 0.1 x=1 .5 y=9 x=15

R/ Son 15 monedas de 10 cent. y 9 de 20 cent.

EJERCICIO 42: Un hombre tiene $45 en billetes de 5 y de 1. Sí el número de billetes de 1 es el cuádruplo del número de billetes de 5. ¿Cuántos billetes tiene de cada denominación? x. Billetes de $5.00 y. Billetes de $1.00 5x + y = 45 y = 4x

5 x+ 4 x=45 9 x=45 x=5

R/ Tiene 5 billetes de $5.00 y 20 de $1.00.

EJERCICIO 43: La entrada en un cine cuesta $10 los mayores y $6 los menores. Una noche entraron 320 personas y pagaron $2720.00. ¿Cuántos mayores y cuántos menores entraron? M. Mayores.

N. Menores.

M + N = 320

10M + 6N = 2720

10 (320−N ) +6 N =2720 3200−10 N +6 N =2720 4 N =480 N=120

M=200

R/ Entraron 120 menores y 200 personas mayores.

EJERCICIO 44: La diferencia entre las cifras de las decenas y la cifra de las unidades de un número de dos cifras es 6.Sí al número se le agrega el duplo de la suma de los valores absolutos de sus cifras se obtiene 87. Halla el número. Un número de dos cifras: 10x + y x – y = 6 x = 6 + y

10 x+ y + 2 ( x+ y) =87 10 x+ y +2 x+ 2 y =87 10 ( y+6 ) + y +2 ( y+6 )+2 y=87 10 y+60 + y +2 y+ 12 +2 y= 87 15 y=15 y=1 x=7

R/ El número es 71....