Problemas resueltos de ecuaciones diferenciales, ejercicios PDF

Preview

Summary

Ecuaciones diferenciales, problemas de aplicación y ejercicios y problemas de planteo resueltos. Ejercicios con soluciones para estudiar y preparar evaluaciones....

Description

ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMAS RESUELTOS ´ ANG ELICA MANSILLA - ELENA OLIVOS

Prologo ´

Los cursos de ciencia b´asica, particularmente los cursos de matem´atica, de las carreras de pregrado, persiguen como resultados de aprendizaje, primero la comprensi´on a un nivel adecuado de los conceptos involucrados, y luego, la aplicacion ´ de los mismos a la resoluci´on de problemas. Este libro, cuya primera edicion ´ se imprimio´ el a˜no 2004, ha sido confeccionado con el prop ´osito de ayudar al estudiante a alcanzar el segundo resultado de aprendizaje, es decir, comprender y plantear los ejercicios b´asicos, en este caso de un primer curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. Cada cap´ıtulo se inicia con un resumen de los contenidos que se requieren para enfrentar los problemas que se desarrollan en e´ l, pero es preciso que el estudiante haya primeramente estudiado a conciencia sus apuntes y se haya apoyado en uno de los buenos libros de texto que est´an dados en la bibliograf´ıa b´asica. La mayor´ıa de los problemas han sido tomados de textos cl´asicos de Ecuaciones Diferenciales que constituyen la bibliograf´ıa b´asica del curso que se dicta a los estudiantes de ingenier´ıas civiles en la Universidad de la Frontera.

2

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

´Indice general 1. Ecuaciones de primer orden

5

1.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 34

2. Aplicaciones de primer orden

39

2.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 76

3. Ecuaciones de orden superior

81

3.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

3.2. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 135

4. Sistemas lineales

141

4.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

4.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145 166

5. La transformada de Laplace

169

5.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

5.2. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3

´INDICE GENERAL A. Prueba de alternativas

4

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

203

Cap´ıtulo 1

Ecuaciones de primer orden 1.1.

Resumen

Ecuacio´ n diferencial. Una ecuaci´on diferencial es cualquier relaci´on en la que interviene una o m´as variables dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a una o m´as variables independientes. Una ecuaci´on diferencial ordinaria es aquella en que intervienen solo derivadas de funciones de una variable. Una ecuaci o´ n diferencial en derivadas parciales es aquella en que intervienen funciones de varias variables y sus derivadas parciales. El orden de una ecuacion ´ diferencial est´a dado por la derivada de orden m´as alto que aparezca en ella. Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n se representa mediante la identidad F( x, y, y′ , . . . , y(n) ) = 0 Solucio´ n ( o integral) de una ecuacio´ n diferencial ordinaria. Una funci´ on real y = ϕ ( x ) con al menos n derivadas definida en un intervalo I es una solucion ´ expl´ıcita de la ecuaci´on F( x, y, y′ , . . . , y(n) ) = 0 en I si y solo si se cumple que F( x, ϕ ( x ), . . . , ϕ(n) ( x )) = 0.

5

1.1 Resumen Una relaci´ ´n on G( x, y) = 0 es una soluci ´on impl´ıcita de la ecuaci o F( x, y, y′ , . . . , y(n) ) = 0 en un intervalo I si y solo si existe al menos una funci ´on y = ϕ ( x ) que satisface la relaci´on G y la ecuaci o´ n diferencial en I . Por lo general una soluci o ´ n de una ecuaci ´on diferencial tiene una o m´as constantes arbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuaci ´on, es deetrica de soluciones. Cuando damos un valor a las cir, es una familia n-param´ constantes obtenemos una soluci ´on particular de la ecuacio´ n. Si toda solucion ´ de la ecuaci ´on se obtiene asignando valores a las constantes de la familia n-param´etrica, decimos que ella es la soluci ´on general de la ecuaci ´on. Una solucion ´ singular es una soluci o ´ n de la ecuaci o ´ n diferencial que no puede a ndole valores a las constantes de la familia n-param´etrica de obtenerse asign´ soluciones. Problemas de valor inicial. Un problema de valor inicial es una ecuaci´on diferencial para la cual se especifican los valores de la funci´on y algunas de sus derivadas en cierto punto llamado punto inicial. Un problema de contorno o de frontera es una ecuaci o´ n diferencial en la cual se dan valores por lo menos para dos puntos de la funcio´ n o alguna de sus derivadas. Teorema 1. Teorema de Picard. Existencia y unicidad de las soluciones. Si f ( x, y) y f y ( x, y) son funciones continuas sobre un rect´angulo cerrado R, entonces por cada punto ( x0 , y0 ) del interior de R pasa una y solo una curva integral (o curva soluci´on) de la ecuaci´on y′ = f ( x, y) Variables Separables. Toda ecuaci´on que se puede escribir de la forma G( y) dy = H ( x ) dx se resuelve por integracio´ n directa. Ecuaciones exactas. Sean M y N funciones de dos variables, continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una regi´on abierta R del plano XY. Teorema 2. Una ecuaci´on de la forma M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 es una ecuaci´on 6

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

1.1 Resumen exacta si y solo si existe una funci´on de dos variables F tal que Fx ( x, y) = M( x, y)

y

Fy ( x, y) = N ( x, y)

Teorema 3. Una ecuaci´on es exacta si y solo si My ( x, y) = Nx ( x, y). La solucion ´ de la ecuaci o ´ n diferencial exacta est´a dada por F( x, y) = C, donde F( x, y) =

Z

M( x, y) dx + g( y) =

Z

N ( x, y) dy + h( x )

Factor Integrante. A veces es posible transformar una ecuaci o´ n no exacta en exacta multiplicando por un factor adecuado, que llamamos Factor Integrante, µ( x, y). En tal caso, debe cumplirse: µ y M − µ x N = µ ( Nx − M y ) Caso 1: Si Rµ es una funcion ´ que solo depende de x, entonces el Factor Inteh( x )dx grante es e , donde My − Nx h( x ) = N Caso 2 : SiR µ es una funcion ´ que solo depende de y, entonces el Factor Integrante es e h(y)dy , donde Nx − M y h( y ) = M Caso 3: Si u( x, y) = g( z), con z = x + y, entonces el Factor Integrante es R h(z)dz e , donde Nx − M y h( z ) = M−N Caso 4: Si u( x, y) = g( z), con z = x − y, entonces el Factor Integrante es R e h(z)dz , donde M y − Nx h( z ) = M+N Caso 5: Si u( x, y) = g( z), con z = x · y, entonces el Factor Integrante es R h(z)dz e , donde Nx − M y h( z ) = xM − yN Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

7

1.1 Resumen Ecuaciones lineales. Una ecuaci´on lineal de primer orden es de la forma y′ + P( x ) y = Q( x ), con P y Q funciones continuas en un intervalo abierto de R. Su soluci ´on es:   Z R R y( x ) = e − P( x)dx C + Q( x ) e P( x)dx dx Ecuaciones de coeficientes homog´eneos. Una ecuaci´on diferencial de la forma M( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 se dice homog´enea o de coeficientes homog´eneos si existe un n ´umero real α tal que M( αx, αy) = αn M( x, y) y N ( α x, αy) = αn N ( x, y). En este caso, se hace la sustituci ´on y = ux, obteni´endose la ecuaci o ´ n de variables separables: − N (1, u) du dx = M(1, u) + uN (1, u) x Ecuacio´ n de Bernoulli. Una ecuaci´on diferencial de la forma y′ + P( x ) y = Q( x ) yr , donde r es cualquier numero ´ real y P y Q funciones continuas en un intervalo abierto de R, se conoce como ecuaci ´on de Bernoulli. La sustituci o´ n z = y1−r transforma la ecuaci o´ n en una ecuaci o´ n lineal y su soluci o ´ n es:   Z R R y(1−r) = e −(1−r) P( x)dx C + (1 − r ) Q( x ) e (1−r) P( x)dx dx Ecuaciones de la forma y′ = f ( ax + by + c). Mediante la sustituci o´ n z = ax + by + c la ecuaci o ´ n se transforma en una ecuaci o´ n de variables separables y su soluci ´on es: dx = ′

Ecuaciones de la forma y = f



dz b f ( z) + a

 a 1 x + b1 y + c1 , con a1 b2 6= a2 b1 a 2 x + b2 y + c2

Se utiliza la sustituci ´on u = x − h, v = y − k, donde h y k se obtienen resolviendo el sistema: a 1 h + b1 k + c1 = 0 a 2 h + b2 k + c2 = 0 8

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

1.1 Resumen Se obtiene la ecuacio´ n de coeficientes homog´eneos de la forma   dv a1 u + b1 v = f a 2 u + b2 v du Ecuacio´ n de Riccati. Una ecuaci´on de la forma y′ + P( x ) y + Q( x ) y2 + R( x ) = 0 con P, Q y R funciones continuas en un intervalo abierto de R, se conoce como ecuaci ´on de Riccati. Si se conoce una soluci o ´ n particular y1 ( x ) de esta ecuaci o ´ n, la susti1 on y = y1 + , transforma la ecuaci o´ n original en la ecuaci ´on lineal: tuci´ z z′ − ( P( x ) + 2y1 ( x ) Q( x ))z = Q( x ) La sustitucio´ n y′ = p. Esta sustitucio´ n permite hacer un cambio de variables usando regla de la cadena. La solucion ´ en este caso, aparece expresada en forma param´etrica. Ecuacio´ n de Clairaut. Una ecuaci´on de Clairaut es una ecuaci o ´ n diferencial de la forma y = xy′ + f ( y′ ) Su solucion ´ general es y = Cx + f (C ). Haciendo la sustituci ´on y′ = p, se obtiene la solucion ´ singular de la ecuaci ´on de Clairaut: ( y = − p f ′ ( p) + f ( p) x = − f ′ ( p)

Sustituciones usando diferenciales. A veces es posible usar f o´ rmulas diferenciales conocidas para encontrar una sustitucion ´ adecuada para resolver una ecuaci´on diferencial. Algunas de estas formulas ´ diferenciales son: 1. d( x + y) = dx + dy 2. d( xy) = y dx + x dy 3. d

  y dx − x dy x = y y2

4. d( x2 + y2 ) = 2x dx + 2y dy    y dx − x dy x = 5. d arctan y x 2 + y2    y dx − x dy x = 6. d ln y xy

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

9

1.2 Problemas resueltos

1.2.

Problemas resueltos

1. Resolver la ecuaci ´on de primer orden: y ecos x sen x dx +

1 dy = 0 y

Se trata de una ecuaci o´ n de variables separables, luego reordenamos e integramos (y 6= 0 por hipo´ tesis): 1 dy y2 Z 1 dy sen x dx = − y2 1 +C −e cos x = y

e cos x sen x dx = − Z

e cos x

Luego, la soluci ´on de la ecuaci o ´ n es: y=

1 C − e cos x

2. Resolver la ecuaci ´on de primer orden: y′ =

x−y x + 2y

Reescribiendo, ( x − y) dx − ( x + 2y) dy = 0. My = −1 = Nx , luego la ecuaci´on es exacta. f ( x, y) =

=

Z

( x − y) dx

x2 − xy + g( y) 2

Derivando respecto a y e igualando a N : f y ( x, y) = − x + g′ ( y) = − x − 2y ⇒ g′ ( y) = −2y ⇒ g( y) = −y2 Luego f ( x, y) =

1 2 ´ n es x − xy − y2 y la soluci´on de la ecuaci o 2 x2 − 2xy − 2y2 = C

10

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

1.2 Problemas resueltos 3. Resolver la ecuacion ´ ( y − x ) y′ = 1. Camino 1. Ecuaci o´ n lineal. Notemos que x ′ + x = y, luego la ecuaci´on es lineal en x y su soluci´on es:   Z R R x = e − dy C + y e dy

= e − y [ C + e y ( y − 1) ]

o bien

( x − y + 1) e y = C

Camino 2. Factor integrante. Nuevamente reescribimos la ecuaci´on: dx + ( x − y) dy = 0. Como My = 0 y Nx = 1, la ecuaci´on no es exacta y buscamos un factor integrante: Nx − M − y =1 M Luego, un factor integrante de la ecuaci ´on es e

R

dy

= e y . Ahora la ecuaci´on

e y dx + e y ( x − y) dy = 0 es exacta y f ( x, y) = Derivando e igualando:

Z

e y dx = x ey + g( y)

f y ( x, y) = e y + g′ ( y) = e y ( x − y) Luego, g′ ( y) = −y e y , de donde g( y) = ( 1 − y) e y . As´ı, f ( x, y) = ( x − y + 1) e y y la soluci´on de la ecuaci ´on es:

( x − y + 1) e y = C Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

11

1.2 Problemas resueltos 4. Resolver el problema de valor inicial: y − xy′ = a (1 + x2 y′ ),

y (1) = 2 a

dy dx y usando fracciones = x + ax2 y−a   a 1 dy − dx = ax + 1 y−a x

Ordenando la ecuaci´on tenemos parciales:

Esta es una ecuaci ´on de variables separables, por lo que integrando obtenemos: ln( y − a ) = ln x − ln( ax + 1) + ln C Usando las propiedades de logaritmo y − a = C

las condiciones iniciales, C = a ( a + 1).

x y reemplazando ax + 1

As´ı, la solucion ´ del problema de valor inicial es y( x ) =

x (2a2 + a ) + a ax + 1

5. Resolver el problema de valor inicial: y(ln y − ln x + 1) dy = , dx x

y (1) = e

Se trata de una ecuaci ´on homog´enea, por lo que hacemos la sustituci´on y = u x. Entonces, y′ = u′ x + u. Reemplazando, u′ x + u = u(ln u + 1), es decir, u′ x = u ln u, una ecuaci ´on de variables separables, por lo que escribimos: dx du = u ln u x Integrando, ln(ln u) = ln x + ln C ⇒ ln u = C x ⇒ ln y = C x + ln x. Ahora, reemplazando la condici´on inicial, y(1) = e, tenemos que C = 1. As´ı, la solucion ´ del problema de valor inicial es y = x ex

12

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

1.2 Problemas resueltos 6. Resolver la ecuacion: ´ ( x − 2y + 4) + (2x − y + 2) y′ = 0. Reoordenando la ecuaci´on tenemos y′ =

2y − x − 4 . 2x − y + 2

Intersectamos las dos rectas involucradas resolviendo el sistema x − 2y + 4 = 0 2x − y + 2 = 0 cuya soluci o´ n es x = 0 e y = 2. Hacemos entonces la sustituci´on u = x , v = y − 2, y obtenemos la ecuaci o´ n homog´enea 2v − u dv = du 2u − v Mediante una segunda sustituci o ´ n, v = zu, resulta la ecuaci ´on   2−z 1 du 1 3 = 2 dz = − u 2 z−1 z+1 z −1 e integrando obtenemos:   3  1  ln z − 1 − ln  z + 1 = ln u + ln C 2 2

Utilizando las propiedades de logaritmo, z−1

( z + 1)

3

= Cu2

y as´ı, la solucion ´ en las variables iniciales es x2 y − 2x2 − x3 = Cx 2 ( y − 2 + x )3 Otra forma de resolver esta ecuaci´on es probando que admite un factor integrante que es funci o ´ n de la resta x − y: µ( x, y) = e

R

−4 3z +6 dz

4

= ( x − y + 2) − 3

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

13

1.2 Problemas resueltos 7. Resolver el problema de valor inicial: q xy′ = −y + xy + 1,

y (0) = 0

Hacemos la sustituci ´on u = xy + 1. Entonces u′ = y + xy′ . √ Reemplazando en la ecuaci ´on, u′ − y = −y + u , o equivalentemente, du √ = dx u p √ Luego, 2 u = x + C, es decir, 2 xy + 1 = x + C.

Reemplazando la condicion ´ inicial, obtenemos C = 2 y por lo tanto la solucion ´ del problema de valor inicial es: p 2 xy + 1 = x + 2 8. Usar la sustituci ´on v =

√

y + sen x, para resolver la ecuaci´on p y′ = y + sen x − cos x

Analicemos primero el caso v 6= 0. p dv y′ + cos x dv − cos x. = v = y + sen x ⇒ ⇒ y′ = 2v dx dx 2v Reemplazando en la ecuaci ´on original, obtenemos la ecuaci ´on de variadv = v. bles separables 2v dx Como v 6= 0, obtenemos 2 dv = dx, de donde 2v = x + C, es decir p 2 y + sen x = x + C

o bien

1 y = ( x + C )2 − sen x 4

´ pues Ahora, si v = 0, y = − sen x tambi´en es soluci ´on de la ecuacion y′ = − cos x. Por lo tanto, y = − sen x corresponde a una soluci´on singular de la ecuaci o´ n. Note que por el Teorema de Picard hay una ´unica solucion ´ que pasa por cualquier punto de R2 a excepci ´on de los puntos ( x, y) para los cuales y = − sen x. 14

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

1.2 Problemas resueltos 9. Resolver el problema de valor inicial: dx − (3e y − 2x ) dy = 0,

y(−1) = 0

Camino 1. Como la ecuaci ´on no es lineal en la variable y, pero s´ı en la variable x, escribimos dx + 2x = 3e y dy De aqu´ı, P( y) = 2, Q( y) = 3e y , y la solucion ´ es x = e −2y (

Z

3e y e 2y dy + C ) = e −2y ( e 3y + C )

Reemplazando la condici o ´ n inicial obtenemos C = −2, por lo que la soluci o ´ n del problema de valor inicial es x = e y − 2e −2y Camino 2. Un segundo m´etodo es buscando un factor integrante: Como

Nx − M y 2 = , tenemos que 1 M µ( x, y) = h( y) = e 2

R

dy

= e 2y

es un factor integrante y la ecuaci ´on e 2y dx − e 2y (3e y − 2x ) dy = 0 es exacta. Luego, F( x, y) =

Z

e 2y dx = xe2y + g( y).

Como Fy = N, tenemos que Fy ( x, y) = 2xe2y + g′ ( y) = 2xe2y − 3e 3y de donde g′ ( y) = −3e 3y . Luego g( y) = −e 3y + C. Por lo tanto, la soluci o ´ n general es xe2y − e 3y = C, que es equivalente a la anterior. Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

15

1.2 Problemas resueltos 10. Resolver la ecuaci ´on: (2y2 + 3 x ) dx + 2 xy dy = 0. M( x, y) = 2y2 + 3x ⇒ My ( x, y) = 4y N ( x, y) = 2xy ⇒ Nx ( x, y) = 2y



M y 6 = Nx .

La ecuacion ´ no es exacta, pero como la expresi´on M y − Nx 1 2y = = x 2xy N solo depende de x, tenemos el factor integrante µ( x, y) = h( x ) = e

R

dx x

=x

Ahora, la ecuaci o ´ n (2xy2 + 3x2 ) dx + 2x2 y dy = 0 es exacta, por tanto F( x, y) =

Z

2 x2 y dy = x2 y2 + h( x )

y como Fx = M, igualando tenemos que Fx ( x, y) = 2xy2 + h′ ( x ) = 2xy2 + 3x2 Luego, h( x ) = x3 + C y as´ı, la solucion ´ general de la ecuaci o ´ n es x 2 y2 + x 3 = C 11. Resolver la ecuaci ´on y(6y2 − x − 1) dx + 2x dy = 0. La ecuacion ´ se puede escribir como y′ − de Bernoulli cuya soluci o´ n es: y es decir:

−2

=e

−

R

x +1 x dx

"

C+6

x+1 3 ´ y = − y3 , una ecuacion x 2x Z

e

R

x +1 dx x

x

dx

#

1 1 = x (C + 6e x ). 2 xe y

Por lo tanto, la soluci o´ n impl´ıcita de la ecuaci o ´ n es y2 =

16

xe x C + 6e x

Departamento de Matematica ´ y Estad´ıstica, Universidad de La Frontera.

1.2 Problemas resueltos 12. Resolver la ecuacion: ´ ( y + y cos xy) dx + ( x + x cos xy) dy = 0. Camino 1. Debemos considerar dos casos: Si 1 + cos xy 6= 0, dividiendo por 1 + cos xy, obtenemos la ecuaci ´on ydx + xdy = 0 cuya soluci´on es xy = C. Si 1 + cos xy = 0, entonces xy = (2k − 1) π, que est´a incluida en la solucion ´ anterior, por lo que la soluci´on de la ecuaci o ´ n es xy = C. Camino 2. Mostrar que la ecuaci o ´ n es exacta. My ( x, y) = Nx ( x, y) = 1 + cos xy − xy sen xy Entonces, F( x, y) =

Z

( y + y cos xy) dx = xy + sen xy + g( y)

Como Fy = N, x + x cos xy + g′ ( y) = x + x cos xy. Esto significa que g′ ( y) = 0, es decir g es constante y la soluci ´on general de l...