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Prólogo

Cuando un alumno cursa una asignatura, en este caso, Ecuaciones Diferenciales, lo que se espera básicamente de él es, primero, que logre una comprensión adecuada de los conceptos centrales de la asignatura y segundo, que sea capaz de aplicar este conocimiento a la resolución de problemas. Para alcanzar el primer objetivo se espera que un buen estudiante asista y participe regularmente en las clases llamadas de cátedra y consulte los muy buenos textos que tiene a disposición en la biblioteca. Sin embargo, muchas veces las técnicas que se usan en la resolución de los problemas mismos no son claras para el alumno y se le dificulta alcanzar el segundo objetivo, pues los textos generalmente ponen el énfasis en los conceptos y los problemas resueltos que contienen son más bien simples. Este texto está pensado como una herramienta que ayude al alumno que ya ha estudiado y entendido un tema dado, a que logre una destreza adecuada en la resolución de problemas y sus aplicaciones. Por lo mismo, cada tema contiene al principio solo un resumen de las definiciones y teoremas más importantes, y luego, una cantidad de problemas de diversos grados de dificultad, muchos de los cuales se han propuesto en alguna prueba o examen de la asignatura en semestres anteriores. Finalmente, incluimos una selección de preguntas de alternativa.

Indice

IÞ 

Ecuaciones de primer orden ................................................................................... " Problemas resueltos .................................................................................... 6

IIÞ 

Aplicaciones de ecuaciones de primer orden ....................................................... 19 Problemas resueltos .................................................................................. #1

IIIÞ  Ecuaciones de orden superior ............................................................................... 39 Problemas resueltos .................................................................................. 48 IVÞ  Sistemas de ecuaciones .......................................................................................... 83 Problemas resueltos ................................................................................... 87 VÞ 

Transformada de Laplace ..................................................................................... 105 Problemas resueltos .................................................................................. "09

VI.  Prueba de Alternativas ......................................................................................... 130

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Definición. Una ecuación diferencial es cualquier relación en la que interviene una o más variables dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Una ecuación diferencial es una Ecuación Diferencial Ordinaria si en ella intervienen sólo derivadas de funciones de una variable. De lo contrario, decimos que la ecuación diferencial es una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales . El orden de una ecuación diferencial está dado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella. Una ecuación diferencial ordinaria de orden 8 se representa mediante la identidad J ÐBß Cß C w ß á ß C Ð8Ñ Ñ œ !Þ

Solución ( o integral) de una ecuación diferencial ordinaria. Una función real C œ :ÐBÑ con al menos 8 derivadas definida en un intervalo M es una solución explícita de la ecuación J ÐBß Cß C wß á ß C Ð8ÑÑ œ ! en M si y sólo si w Ð8Ñ J ÐBß :ÐBÑß : ÐBÑß á ß : ÐBÑÑ œ ! . Una relación KÐBß CÑ œ ! es una solución implícita de la ecuación J ÐBß Cß Cw ß á ß CÐ8Ñ Ñ œ ! en M si y sólo si existe al menos una función C œ : ÐBÑ que satisface la relación K y la ecuación diferencial en M . Por lo general una solución de una ecuación diferencial tiene una o más constantes arbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuación, es decir, es una familia 8paramétrica de soluciones. Cuando damos un valor a las constantes obtenemos una solución particular de la ecuación. Si toda solución de la ecuación se obtiene asignando valores a las constantes de la familia 8 -paramétrica, decimos que ella es la solución general de la ecuación. Una solución singular es una solución de la ecuación diferencial que no puede obtenerse asignándole valores a las constantes de la familia 8 -paramétrica de soluciones.

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ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

Definición. Un Problema de valor inicial (P.V.I.) es una ecuación diferencial para la cual se especifican los valores e la función y algunas de sus derivadas en cierto punto llamado punto inicial. Un Problema de contorno o de frontera es una ecuación diferencial en la cual se dan valores por lo menos para dos puntos de la función o alguna de sus derivadas.

P.V.I. de primer orden. Existencia y unicidad de las soluciones. Teorema de Picard. Si 0ÐBß CÑ y 0 CÐBß CÑ son funciones de dos variables continuas sobre un rectángulo cerrado V, entonces por cada punto ÐB! ß C! Ñ del interior de V pasa una y sólo una curva integral (o curva solución) de la ecuación C w œ 0 ÐBß CÑÞ

Variables Separables. Toda ecuación que se puede escribir de la forma 1ÐCÑ .C œ 2ÐBÑ .B se resuelve por integración directa.

Ecuaciones exactas. Sean Q y R funciones de dos variables continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una región abierta V del plano \] . Toda ecuación de la forma Q ÐBß CÑ.B  R ÐBß CÑ.C œ ! es una ecuación exacta si y sólo si existe una función de dos variables J tal que J BÐBß CÑ œ Q ÐBß CÑ y J CÐBß CÑ œ R ÐBß CÑ. Una ecuación es exacta si y sólo si Q CÐBß CÑ œ R BÐBß CÑÞ J ÐBß CÑ œ ' Q ÐBß CÑ.B  1ÐCÑ œ ' R ÐBß CÑ.C  2ÐBÑÞ

La solución de la ecuación diferencial exacta está dada por J ÐBß CÑ œ G , donde

Factor Integrante. Si una ecuación no es exacta, a veces es posible transformarla en exacta multiplicando por un factor adecuado, que llamamos Factor Integrante, .ÐBß CÑ . En tal caso, debe cumplirse: . C Q  . B R œ . ÐRB  QC Ñ

2

Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Caso 1: Si . es una función que sólo depende de B , entonces el Factor Integrante es /' 2ÐBÑ.B , donde 2ÐBÑ œ R" ÐQC  RB Ñ. ' 2ÐCÑ.C

Caso 2:

/

Si . es una función que sólo depende de C , entonces el Factor Integrante es " , donde 2ÐCÑ œ Q ÐR B  QC Ñ.

' Caso 3: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D , R Q

donde 2ÐDÑ œ QB R C Þ

' Caso %: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B  Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D , Q R

donde 2ÐDÑ œ QC RB Þ ' Caso &: Si ?ÐBß CÑ œ 1ÐDÑß con D œ B † Cß entonces el Factor Integrante es / 2ÐDÑ.D , donde R Q

2ÐDÑ œ BQB CRC Þ

Ecuaciones lineales. Una ecuación lineal de primer orden es de la forma C w  T ÐBÑ C œ UÐBÑ, con T y U funciones continuas en un intervalo abierto de ‘. Su solución es: CÐBÑ œ /' T ÐBÑ.B ÐG  ' UÐBÑ /' T ÐBÑ.B.BÑ Ecuaciones de coeficientes homogéneos. Una ecuación diferencial de la forma Q ÐBß CÑ .B  R ÐBß CÑ .C œ ! se dice (de coeficientes) homogénea(os) si existe un número real ! tal que Q Ð! Bß ! CÑ œ ! 8Q ÐBß CÑ y R Ð!Bß !CÑ œ !8 R ÐBß CÑ. En este caso, se hace la sustitución C œ ?B , obteniéndose la ecuación de variables separables: .B B

œ

RÐ"ß?Ñ .? Q Ð"ß?Ñ?RÐ"ß?Ñ

Ecuación de Bernoulli. Una ecuación diferencial de la forma C w  T ÐBÑC œ UÐBÑC 8 ß 8 − ‘ y T y U funciones continuas en un intervalo abierto de ‘ , se conoce como ecuación de Bernoulli. La sustitución D œ C "8 transforma la ecuación en una ecuación lineal y su solución es: C Ð"8Ñ œ /' Ð"8ÑT .B ÐG  ' Ð"  8ÑU /' Ð"8ÑT .B .BÑ

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ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

Ecuaciones de la forma C w œ 0 Ð+B  ,C  -ÑÞ Mediante la sustitución D œ +B  ,C  - la ecuación se transforma en una ecuación de variables separables y su solución es: .D .B œ , 0 ÐDÑ+ " C-" Ecuaciones de la forma Cw œ 0 Š ++" B, ‹Þ # B,# C-#

Caso 1: Si - " œ - # œ ! la ecuación es de coeficientes homogéneos. Caso 2: Si + ", # œ + #, ", se obtiene + #B  , #C œ 5Ð+ "B  , "CÑ por lo que la ecuación se transforma en una ecuación de la forma Cw œ 1Ð+" B  ," CÑÞ Caso 3: Si + ", # Á + #, " se utiliza la sustitución ? œ B  2ß @ œ C  5 , donde 2 y 5 se obtienen resolviendo el sistema: +" 2  ," 5  -" œ ! +# 2  ,# 5  -# œ ! .@ + ?, @ Mediante la sustitución dada se obtiene una ecuación de la forma .? œ 0 Š +"#?,"#@ ‹ que es una ecuación de coeficientes homogéneos.

Ecuación de Riccati. Una ecuación de la forma C w  T ÐBÑC  UÐBÑC #  VÐBÑ œ ! con T ß U y V funciones continuas en un intervalo abierto de ‘ , se conoce como ecuación de Riccati. Si se conoce una solución particular C "ÐBÑ de esta ecuación, la sustitución C œ C "  "D, transforma la ecuación original en la ecuación lineal: D w  ÐT ÐBÑ  #C" UÐBÑÑD œ UÐBÑ La sustitución C w œ :Þ Hay varias maneras en que esta sustitución puede ser útil. A veces, permite transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica a la cual es posible encontrar sus raíces. Esto generalmente lleva a resolver varias ecuaciones diferenciales más sencillas, todas ellas solución de la ecuación diferencial original. En otros casos, la sustitución C w œ : permite cambiar las variables involucradas derivando con respecto a Bß C o : según convenga. Ver, por ejemplo, el problema 18.

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Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Ecuación de Clairaut. Una ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de la forma C œ BC w  0 ÐC wÑ. Su solución general es C œ -B  0Ð-Ñ . Haciendo la sustitución C w œ : , se obtiene la solución singular de la ecuación de Clairaut: C œ  :0 wÐ:Ñ  0Ð:Ñ œ B œ  0 wÐ:Ñ Sustituciones usando diferenciales. A veces es posible usar fórmulas diferenciales conocidas para encontrar una sustitución adecuada para resolver una ecuación diferencial. Algunas de estas fórmulas diferenciales son: .ÐB  CÑ œ .B  .C .Ð BC Ñ œ

C .BB .C C#

.C .Ð++8Ð BC ÑÑ œ C .BB B #C #

.ÐBCÑ œ C .B  B .C .ÐB#  C # Ñ œ #B .B  #C .C .C .Ð68Ð CB ÑÑ œ C .BB BC

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ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

Ejercicios resueltos "Þ 

Resolver el P. V. I. C  BCw œ +Ð"  B# C w Ñß CÐ"Ñ œ #+Þ .C

.B

Ordenando la ecuación tenemos C+ œ B+B # y usando fracciones parciales: .C + œ Ð 1B  +B" Ñ.BÞ C+ Esta es una ecuación de variables separables, por lo que integrando obtenemos: 68ÐC  +Ñ œ 68 B  68Ð+B  "Ñ  68 G B Þ C  + œ G +B"

Usando las propiedades del logaritmo:

Reemplazando las condiciones iniciales, G œ +Ð+  "Ñ . Así, la solución del P.V.I. es CÐBÑ œ

#Þ 

BÐ#+ # +Ñ+ +B"

.

Resolver la ecuación ÐB  #C  %Ñ  Ð#B  C  #ÑC w œ !. #CB%

Reoordenando la ecuación tenemos: C w œ #BC# . Intersectando las dos rectas involucradas

B  #C  % œ ! › , obtenemos B œ !ß #B  C  # œ !

C œ #, por lo que hacemos la sustitución ? œ B ß @ œ C  #, y obtenemos la .@ #@? ecuación homogénea: , .? œ #?@ Mediante la sustitución @ œ D?ß fracciones parciales obtenemos: " ¸ # 68 D

tenemos

.? ?

œ D#D #".Dß e integrando por

 " ¸  $# 68¸D  " ¸ œ 68 ?  68 G .

Utilizando las propiedades de logaritmo, Ê D" $ œ G?Þ aD"b Así, la solución en las variables iniciales es : Ê ÐC#BÑ$ œ GBÞ B #C#B #B $

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Ecuaciones Diferenciales de primer orden

$Þ 

C Ð68 C  68B  "Ñ Resolver el P.V.I. .C œ .B B

ß CÐ"Ñ œ /Þ

Sea C œ ? B . Entonces, C w œ ? wB  ?Þ Reemplazando, ? wB  ? œ ?Ð68 ?  "Ñ , es decir ? wB œ ? 68 ?Þ Se trata de una ecuación de variables separables, por lo que escribimos: .? ? 68 ?

œ

.B . B

Integrando, 68Ð68 ?Ñ œ 68 B  68G Ê 68 ? œ G B Ê 68 C œ G B  68 BÞ Como CÐ"Ñ œ /ß tenemos que G œ " . Así, la solución del P.V.I. es: C œ B / BÞ Otra forma de resolver este problema es escribir la ecuación como: C

C Ð68 Ð B Ñ  "Ñ.B  B.C œ ! y mostrar que se trata de una ecuación homogénea (pues Q y R son funciones homogéneas de grado 1). Entonces Q Ð"ß ?Ñ œ ?Ð68 ?  "Ñ y RÐ"ß ?Ñ œ  "Þ .B .? De aquí obtenemos B œ ? 68 ? como antes.

%Þ 

Resolver el P.V.I.: BC w œ  C  ÈBC  "

ß CÐ!Ñ œ !.

Hacemos la sustitución ? œ BC  " . Entonces ? w œ C  BC w.

Reemplazando en la ecuación, ? w  C œ  C  È? , o equivalentemente, .? È?

œ .B.

Luego, #È ? œ B  G , es decir, #ÈBC  " œ B  G . Reemplazando la condición inicial, G œ # ecuación es:

y tenemos que la solución de la

#ÈBC  " œ B  # .

7

ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

&Þ 

Usar la sustitución @ œ È C  =/8 B para resolver la ecuación: Cw œ È C  =/8 B  -9= B

Analicemos primero el caso @ Á !. @ œ ÈC  =/8 B Ê .B œ .@

Cw -9=B #@

.@

Ê Cw œ #@ .B  -9= B Þ

Reemplazando en la ecuación, #@ .@ œ @ . Como @ Á !ß obtenemos # .@ œ .B, de .B donde #@ œ B  G , es decir: # ÈC  =/8 B œ B  G ,

"

C œ % ÐB  G Ñ #  =/8 B

o bien

Ahora, si @ œ !ß C œ  =/8 B también es solución de la ecuación pues C w œ  -9= B . Por lo tanto, C œ  =/8 B corresponde a una solución singular de la ecuación. Note que por el Teorema de Picard hay una única solución que pasa por cualquier punto de ‘# a excepción de los puntos ÐBß CÑ para los cuales C œ  =/8B. 'Þ 

Resolver el P.V.I.: .B  Ð$/ C  #BÑ.C œ ! ß

CÐ  "Ñ œ !Þ

Como la ecuación no es lineal en la variable C , pero sí en la variable B, escribimos: .B C .C  #B œ $/ De aquí, T ÐCÑ œ #ß UÐCÑ œ $/ C, y la solución es:

B œ / #C Ð ' $/ C/ #C.C  GÑ œ / #CÐ/ $C  GÑ

Reemplazando la condición inicial obtenemos G œ  # , por lo que la solución del P.V.I. es : B œ /C  #/ #C Un segundo método es buscando un factor integrante: Como

RBQ C Q

' œ #" , tenemos que /# .C œ / #C es un F.I.

La ecuación / #C.B  / #CÐ$/ C  #BÑ.C œ ! es exacta. J ÐBß CÑ œ ' /#C .B œ B/ #C  1ÐCÑÞ

Como JC œ R , JC ÐBß CÑ œ #B/ #C  1 wÐCÑ œ #B/ #C  $/ $C , 8

Ecuaciones Diferenciales de primer orden

de donde 1w ÐCÑ œ  $/$C . Luego 1ÐCÑ œ  /$C  G Þ Por lo tanto, la solución general es B/ #C  / $C œ G , que es equivalente a la anterior.

(Þ 

$C #

&B

Resolver la ecuación: BÐB$Ñ .B  #C Ð68 B$  $=/8 CÑ .C œ ! 'C QC ÐBß CÑ œ BÐB$Ñ

y

† R BÐBß CÑ œ #CÐ B$ &B

&ÐB$Ñ&B Ñ ÐB$Ñ#

#C 'C "& œ ÐB$Ñ † &B œ BÐB$Ñ Þ

Luego la ecuación es exacta y:

$C# " B Ñ .B œ C# 68 B$ J ÐBß CÑ œ ' BÐB$Ñ .B œ $C #' $" Ð B"  B$  1ÐCÑ

Como JC œ R , B  1w ÐCÑ œ #CÐ68 &B  $=/8 CÑÞ JC ÐBß CÑ œ #C 68 B$ B$

Luego, 1w ÐCÑ œ #C 68 &  'C =/8 C , de donde 1ÐCÑ

œ C# 68 &  '' C=/8 C .C Ê 1ÐCÑ œ C# 68 &  'Ð  C -9= C  =/8 CÑ  G

Así, la solución general de la ecuación es: &B C# 68 B$  'C -9= C  '=/8 C œ G

)Þ 

Resolver la ecuación: Ð#C #  $BÑ.B  #BC .C œ !. Q ÐBß CÑ œ #C #  $B Ê Q CÐBß CÑ œ %C  QC Á RB . RÐBß CÑ œ #BC Ê RB ÐBß CÑ œ #C La ecuación no es exacta, por lo que buscamos un factor integrante: Q CR B R

#C

œ #BC œ B" , sólo depende de B. Luego, /

'

.B B

œ B es factor integrante.

Ahora, la ecuación Ð#BC #  $B #Ñ.B  #B #C .C œ ! es exacta.

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ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

J ÐBß CÑ œ ' #B# C .C œ B# C#  2ÐBÑ y como JB œ Q À JB ÐBß CÑ œ #BC#  2w ÐBÑ œ #BC#  $B# Þ Luego, 2ÐBÑ œ B$  G Þ Así, la solución de la ecuación es B #C #  B $ œ GÞ

*Þ 

Resolver ÐC  C -9= BCÑ.B  ÐB  B -9= BCÑ.C œ ! Caso 1: "  -9= BC Á !Þ Dividiendo por "  -9= BC , obtenemos la ecuación C.B  B.C œ ! cuya solución es BC œ G Þ Caso 2: "  -9= BC œ !ß BC œ Ð#5  "Ñ1 , que está incluida en la solución anterior, por lo que la solución de la ecuación es BC œ G . Un segundo método es mostrar que la ecuación es exacta: Q C ÐBß CÑ œ R BÐBß CÑ œ "  -9= BC  BC =/8 BC

Entonces, J ÐBß CÑ œ ' ÐC  C-9= BCÑ.B œ BC  =/8 BC  1ÐCÑÞ Como JC œ R , B  B -9= BC  1 wÐCÑ œ B  B -9= BC .

Esto significa que 1 wÐCÑ œ ! , es decir 1 es constante y la solución general de la ecuación es BC  =/8 BC œ G . Aparentemente, esta solución es distinta de la que obtuvimos con el primer método. Sin embargo, notemos que si BC œ G , entonces BC  =/8 BC œ G  =/8 G , es decir, constante. Por otro lado, la función 0 ÐDÑ œ D  =/8 D es estrictamente creciente, pues 0 wÐDÑ œ "  -9= D  ! y es igual a ! sólo en puntos aislados. Eso significa que 0 es inyectiva, por lo que 0ÐDÑ œ G implica que D es constante. Por lo tanto, BC  =/8 BC œ G implica BC œ G! , por lo que ambas soluciones son equivalentes. Otro método de solución es usar el hecho que la diferencial de un producto es .ÐBCÑ œ C .B  B .C , por lo que haciendo la sustitución ? œ BC, obtenemos Ð"  -9= ?Ñ .? œ !, es decir, ?  =/8 ? œ G , que corresponde a la solución anterior.

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Ecuaciones Diferenciales de primer orden

"!Þ  Resolver la ecuación: CÐ'C#  B  "Ñ.B  #B.C œ ! $ $ La ecuación se puede escribir como C w  B" #B C œ  B C , la que corresponde a una ecuación de Bernoulli cuya solución es:

C# œ /

'

B" B .B

ÒG  ''

/'

B" .B B

B

.BÓ, es decir,

" C#

" B œ B/ B ÒG  '/ Ó

B/ Por lo tanto, la solución de la ecuación es C œ „ É G'/ B Þ B

""Þ  Dada la ecuación diferencial CÐ"  #B $/ #BC #Ñ.B  B.C œ ! ß B  !ß C  !. +Ñ Encontrar una función 2ÐBÑ y una constante , tal que .ÐBß CÑ œ 2ÐBÑC , sea un factor integranteÞ Multiplicando la ecuación por el factor integrante tenemos que: Q ÐBß CÑ œ Ð"  #B$ /#B C # Ñ2ÐBÑC ," QC ÐBß CÑ œ Ð,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B$ /#BC # ÑC ,  %B$ / #B2ÐBÑC ,# RÐBß CÑ œ B2ÐBÑC , R BÐBß CÑ œ 2ÐBÑC,  B2 wÐBÑC , Calculamos la diferencia Q C  R B y la igualamos a ! para que la ecuación sea exacta: QC  RB œ C , ÒÐ,  "Ñ2ÐBÑÐ"  #B$ /#B C # Ñ  %B$ /#B2ÐBÑC #  2ÐBÑ  B2 w ÐBÑÓ œ C, Ò2ÐBÑÐÐ,  "ÑÐ"  #B$ /#B C# Ñ  %B$ /#B C#  "Ñ  B2w ÐBÑÓ œ C, Ò2ÐBÑÐ,  #Ð,  $ÑB$ /#B C# Ñ  B2w ÐBÑÓ Podemos elegir , œ  $ y entonces  $2ÐBÑ  B2 wÐBÑ œ !Þ Para encontrar 2ÐBÑ debemos resolver la ecuación diferencial: 2 wÐBÑ 2ÐBÑ

$

œ  B.

Luego 2ÐBÑ œ B$ , de donde .ÐBß CÑ œ B$C $ es el factor integrante buscadoÞ

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ECUACIONES DIFERENCIALES 100 Problemas Resueltos

,Ñ Encontrar la solución general de la ecuación. Multiplicando por el factor integrante que encontramos en la parte +Ñ obtenemos la ecuación: (B $C 2  #/ #BÑ.B  B 2C $.C œ !Þ Entonces J ÐBß CÑ œ ' B2C $ .C œ  "# B2 C#  1ÐBÑÞ

Ahora, JB œ Q , luego JB ÐBß CÑ œ B $C 2  #/ #B , es decir, B3 C #  1w ÐBÑ œ B$ C 2  #/#B De aquí, 1 wÐBÑ œ #/ #B y por lo tanto 1ÐBÑ œ / #B de donde la solución de la ecuación es:  "# B2C #  /#B œ G Þ $ / # y el intervalo -Ñ Determinar la solución particular que verifica CÐ#Ñ œ È # # máximo donde ella está definida.

Utilizando la condición inicial, tenemos que G œ )*/ %. Luego la solución particular es  "# B 2C #  / #B œ )*/ %, lo que es equivalente a CÐBÑ œ

" Þ % BÉ #/#B  "' * /

Para encontrar el intervalo máximo donde está definid...