Segunda lista de ejercicios de ecuaciones diferenciales PDF

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ejercicios de ecuaciones diferenciales sin resolver, debido a que los ejercicios resueltos se encuentras realizados hechos a mano...

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Segunda lista de ejercicios de Ecuaciones diferenciales. I.- Determine la solución a las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas.

 y)dx + xdy = 0 xdx + (y  2x)dy = 0 ydx = 2(x + y )dy (y 2 + yx)dx  x2 dy (x

(x + y )dx + xdy = 0

(y 2 yx)dx + x2 dy = 0 dy = yx dx

y +x dy = x+3y dx 3x+y ydx + (x + xy )dy = 0 dy x dx y = x2 + y 2 dy xy 2 dx = y 3 x3 dx (x2 + 2y 2 ) dy = xy y y xe x dy = 0 (x + ye x )dx ydx + x(ln x ln y 1)dy = 0





p

p



 

y (1) = 2 y ( 1) = 1



y (1) = 0 y (1) = e



II.- Encuentre las soluciones a las siguientes ecuaciones lineales.

dy = 2y + x2 + 5 dx (x + 4y 2 )dy + 2ydx = 0 dx dy = x + y



xdy = (xsenx y )dx dy x dx = y + e y 0 + 3x 2 y = x 2 y 0 + 2xy = x3 x2 y 0 + xy = 1 (1 + x2 )dy + (xy + x3 + x)dx = 0 dy (1 + ex )dx + yex = 0 dy (1 x3 )dx = 3x2 y dy + ysenx = 1 cos x dx dy dx + y cot x = 2 cos x dy x dx + 4y = x3 x (1 + x)y 0 xy = x + x2 2 0 x y + x(x + 2)y = ex xy 0 + (1 + x)y = ex sen2x cos2 xsenxdy + (y cos3 x 1)dx = 0 (1 cosx)dy + (2ysenx tan x)dx = 0 ydx + (xy + 2x yey )dy = 0 (x2 + x)dy = (x5 + 3xy + 3y )dx dy x dx + (3x + 1)y = e3x dy (x + 1) dx + (x + 2)y = 2xex











 

1

ydx

 4( + 6 ) = 0 x

y

dy

+ 2 = x + ln dy + = 1x e2xx e +e dx dy  = dx + ( +y 2 2  2 ) = 0 =( 2 ) dr + sec = cos d dP + 2 = + 4  2 dt ( + 2)2dxdy = 5  8  4 ( 2  1)dxdy + 2 = ( + 1)2 dy = (10  ) cosh dx = (3 y  2 )

xy

0

y

e

x



y

y

senhx

ydx

x

ydx

ye

r

xy

y dy

x dy



tP



P

t

y

x

x

y

y

dx

e

xy

x

x

x dy

Resuelva los siguientes problemas de aplicaciones.

=1

1.- Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t , 7 la cantidad medida de bacterias es de 2 N0 : Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos. 2.- Un reactor de cria convierte al plutonio 238, relativamente estable, en uranio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el

0 043% de la cantidad inicial :

0

A ;

de una muestra de uranio. Calcule el periodo

medio de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente. (Periodo medio del uranio). 3.

Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima

parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. 4.- Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 3 minutos,

70 ?

400

F:

550

F.

Después de

En que tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de

F

500 galones de una solución de salmuera. gal 5min mezclando la solución original y sale del tanque al mismo ‡ujo. La concentración lb de la solución entrante es 2min ; por consiguiente la entrada de sal es 1 = gal gal lb lb C C lb Si hay (2 min )(5 min ) = 10 min y sale con una razón 1 = (5 min )( 500 ) = 50 de sal disueltas en los 500 galones iniciales. Cuanta sal habrá100enminel tanque 5.- Un tanque contiene inicialmente

Al tanque entra y sale sal la cual bombea una solución a un ‡ujo de

;

R

R

:

lb

pasado mucho tiempo?

6.- Un acumulador de inductancia de

1 2

24 volts, se conecta a un circuito en serie LR, con una 10 ohm. Determine la corriente ,

henry y una resistencia de

si la corriente inicial es cero.

2

i

7.- Se aplica una fuerza electromotriz



E (t)

=

240;

0

0;

40

< t < t >



40

a una carga en serie LR, en que la inductancia es de 20 h y la resistencia es de 2: Determine la corriente i(t); si i(0) = 0: 8.- Un tanque contiene 200l de agua en el que se han disuelto 30g de sal y

litros le entran 4 min de solución con 1g de sal por litro; está bien mezclado, y de él litros sale líquido con el mismo ‡ujo 4 min : Calcula la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier momento

t:

9.- Resuelva el problema anterior suponiendo que entra agua pura al tanque. 10.- Una ecuación diferencial que describe la velocidad

v

de una masa

m

en

caída sujeta a una resistencia de aire proporcional a la velocidad instantánea es m

en que

k

dv dt

=

mg



kv

es constante de proporcionalidad positiva.

a).- Resuelva la ecuación, sujeta a la condición inicial

v (0)

= v0 :

b).- Calcule la velocidad límite (o terminal) de la masa. c).- Si la distancia

s

se relaciona con la velocidad por medio de

deduzca una ecuación explícita para

s,

si también se sabe que

11.- En un modelo demográ…co de la población

P (t)

s(0)

ds dt

=

v,

= s0 :

de una comunidad, se

supone que:

dP dt en donde

dB dt

y

a).- Determine

dD dt

=

dB  dD ; dt dt

son las tasas de natalidad y mortalidad, respectivamente.

P (t)

si,

dB dt b).- Analice los casos

=

dD dt

k1 P

k1 > k2 ; k1

=

=

k2 P

k2 ; k1 < k2 :

12.- Cuando se tiene en cuenta lo olvidadizo de un individuo, la rapidez con que memoriza está defenida por

dA dt en que tiempo

=

k1 ( M

A)



k2 A;

0; k2 > 0; A(t) es la cantidad de material memorizado en el es la cantidad total por memorizar y M A es la cantidad que

k1 >

t; M





3

resta de memorizar. Halle ( ) y gra…que la solución. Suponga que (0) = 0. Determine el valor límite de cuando ! 1 e interprete el resultado. 13.- Los censos poblacionales en Estados Unidos de 1790 a 1950 aparecen en millones en una tabla de datos. a).- Con esos datos formuledPun modlo tipo (0) = 0 dt = b).- Formule una tabla de la población en un periodo de 10 años desde 1790 a 1950 del censo de población. Calcule el error y el porcentaje de error para cada par de datos. 14.- El Pb-209, isótopo radioactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3.3 hrs. Si al principio había 1 de plomo. Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%? 15.- Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente, la razón con que decrece su intensidad es proporcional a ( ) donde representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 bajo la super…cie, es el 25% de la intensidad inicial 0 del rayo incidente. Cuál es la intensidad del rayo a 15 bajo la super…cie? A t

A

t

;

kP;

P

P :

g

I

I t ;

t

ft

I

ft

4...