1 2 3 Factores DE PAGO Único(interés (i) y número de periodos (n)) PDF

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La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicamente interés (i) y número de periodos (n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado....

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FACTORES DE PAGO UNICO La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicamente interés (i) y número de periodos ( n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un solo pago durante el periodo determinado. Para hallar estas relaciones únicas, sólo se toman los parámetros de valores presentes y valores futuros, cuyos valores se descuentan en el tiempo mediante la tasa de interés. A continuación se presentan los significados de los símbolos a utilizar en las fórmulas financieras de pagos únicos: P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero. F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado. n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre lo que se recibe y lo que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo necesario para realizar una transacción. Es de anotar, que n se puede o no presentar en forma continua según la situación que se evaluando. i : Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la financiación obtenida; el interés que se considera en las relaciones de pago único es compuesto. F/P: Encontrar F cuando P esta dado. Ejemplo: (F/P, 6%, 20) significa obtener el valor que al ser multiplicado por una P dada permite encontrar la cantidad futura de dinero F, que será aculada en 20 periodos, si la tasa de interés es 6% por periodo.



Factor de cantidad compuesta de un pago único: (F/P) F/P = (1 + i)n → (F/P, i%, n)



Factor de Valor Presente de un Pago Único: (P/F) P/F = (F/P) −1 = (1 + i) − n → (P/F, i%, n)

1.2.4 FACTORES DE VALOR PRESENTE Y RECUPERACION DE CAPITAL Hoy en día se sabe que para evaluar alternativas de inversión dentro de la ingeniería económica, debe compararse montos monetarios que se producen en diferentes momentos.

 Factor de valor presente de un pago único El factor de valor presente de pago único es el reciproco del factor de cantidad compuesta de un pago único. Formula P= F x (P/F, i%, n)

(1+i) -n

 Factor de recuperación de capital en una serie uniforme Es una situación que involucra pagos anuales uniformes. Supóngase que se deposita una suma dada P, en una cuenta de ahorros en la que gana interés a una tasa i anual capitalizada cada año. Al final de cada año se retira una cantidad fija . ¿ a cuánto debe ascender A para que la cuenta de banco se agote justo al final de los n años? Formula A= P x (A/P, i, n)

A/P=

i 1- (1+ i)-n

  Factor de valor presente de una serie uniforme El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de recuperación de capital Formula P= A x (P/A, i, n)

P/A= 1-( 1 + i )-n i

FACTOR DE MONTO COMPUESTO CON SERIE DE PAGOS IGUALES A manera de introducción, se definirá el concepto de anualidad, que consiste en una serie de pagos iguales, que se realizan a intervalos regulares de tiempo, ya sea anuales o en períodos distintos. Este esquema surge en situaciones como: acumulación de un capital determinado (recepción de cierta suma global después de un cierto número de pagos periódicos, como ocurre en algunos planes de seguros de vida), o cancelación de una deuda. La Figura B.3 es representativa del primer caso, dado que se busca el valor futuro, a partir de una serie de pagos iguales, producidos al final de sucesivos períodos de interés. Figura B.3 Monto futuro simple con serie de pagos iguales

La suma de los montos compuestos de los diversos pagos puede calcularse por medio del uso del factor de monto compuesto con serie de pagos iguales. El modo de calcular el factor es utilizando el factor de monto compuesto con pago simple para transformar a cada A a su valor futuro: F = A + A × (1 + i) + A × (1 + i)2 + A × (1 + i)3 + ... + A × (1+i)n-1 .......... (B.6) Esta es una serie geométrica de razón (1+i) F = A × [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + ... + (1 + i)n-1] .......... (B.7) La suma de una serie geométrica es igual a:

En este caso:

El factor resultante [(1+i)n - 1]/i se conoce como factor de monto compuesto con serie de pagos iguales y se designa como FAF: F = A × FAF .......... (B.11) Ejemplo B.6 Factor de monto compuesto con serie de pagos iguales Encontrar la cantidad compuesta por una serie de 5 pagos de US$ 500 hecha a fin de cada año al 8% anual. Solución: El cálculo se ilustra en la Tabla B.4. De la Ecuación B.11: F = 500 × [(1,08)5 - 1]/0,08 = 500 × 5,8664 F = US$ 2 933,2 Es decir, el monto de US$ 2 933,2 al final de los cinco períodos es equivalente a cinco pagos anuales de US$ 500, cuando la tasa de interés es del 8% por período. Tabla B.4 Ejemplo del factor de monto compuesto con serie de pagos iguales

Fin de Factor de monto compuesto con Monto compuesto al Monto total año pagos a fin de año fin de 5 años compuesto

1

500 × (1,08)4

680,2

2

500 × (1,08)3

629,8

3

500 × (1,08)2

583,2

4

500 × (1,08)1

540,0

5

500

500,0

2 933,2

B.3.4 FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN CON SERIE DE PAGOS IGUALES Las amortizaciones son utilizadas en el ámbito de las finanzas y el comercio para calcular el pago gradual de una deuda, ya que sabemos que en la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Ahora el punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos. Es aquí cuando la figura del "Fondo de Amortización" se hace necesaria. Despejando A de la expresión de Cantidad compuesta (B10) resulta:

El factor resultante i/[(1+i)n - 1] se conoce como factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales.

A = F × FFA Ejemplo B.7 Factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales. Si se desea acumular US$ 2 933,2 efectuando una serie de 5 pagos anuales, al 8% de interés anual, cuál es el monto requerido de cada pago? Solución: De la Ecuación B.12 será:

La derivación de este factor y el ejemplo muestran que el factor de monto compuesto con serie de pagos iguales y el factor de fondo de amortización con serie de pagos iguales son recíprocos.

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

Las tasas de interés nominales y efectivas tienen la misma relación que entre sí guardan el interés simple y el compuesto. La diferencia es que las tasas de interés efectivas se utilizan cuando el periodo de capitalización (o periodo de interés) es menor de un año. Por tanto, cuando una tasa de interés se expresa en periodos de tiempo menores a un año, por ejemplo el 1% mensual, deben considerarse los términos de las tasas de interés nominales y efectivas. Se define la palabra nominal como “pretendida”, esto implica que una TASA DE INTERÉS NOMINAL no es una tasa correcta, real o efectiva. Las tasas de interés nominales deben convertirse en tasas efectivas con el fin de reflejar, en forma precisa, consideraciones del valor del tiempo. Antes de analizar las tasas efectivas, es preciso definir la tasa de interés nominal, r, como la tasa de interés del periodo por el número de periodos. En forma de ecuación,

r = tasa de interés del periodo x número de periodos. Puede encontrarse una tasa de interés nominal para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo originalmente establecido. Por ejemplo, una tasa de interés de un periodo que aparece como 1.5% mensual también puede expresarse como un 4.5% nominal por trimestre (es decir, 1.5% mensual x 3 meses); 9.0% por periodo semestral, 18% anual o 36% por 2 años, etc. La tasa de interés nominal obviamente ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el interés. Cuando se considera el valor del dinero en el tiempo al calcular las tasas de interés a partir de las tasas de interés del periodo, la tasa se denomina TASA DE INTERÉS EFECTIVA. Las tasas de interés efectivas pueden calcularse para cualquier periodo de tiempo mayor que el periodo de capitalización real, a través del uso de la siguiente

( )

m

ecuación:

i= 1+ r −1 m

Una tasa de interés efectiva del 1% mensual, por ejemplo, puede convertirse en tasas efectivas trimestrales, semestrales, por periodos de 1 año, 2 años, o por cualquier periodo más largo que 1 mes (el periodo de capitalización). Es importante recordar que en la ecuación anterior las unidades de tiempo i y r siempre deben ser las mismas. Por tanto, si se desea una tasa de interés efectiva, i, por periodo semestral, entonces r debe ser la tasa nominal por periodo semestral. La m en la ecuación siempre es igual al número de veces que el interés estaría compuesto durante el periodo de tiempo sobre el cual se busca i .

UNIDAD III FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS Es el número de veces en un año que el interés se suma al capital. En un sistema de capitalización, se define la frecuencia como el número de veces que los intereses producidos se acumulan al capital para producir nuevos intereses, durante un período de tiempo. Es decir, si consideramos un período de tiempo anual (n = 12 meses), la frecuencia será 2 si los intereses se capitalizan semestralmente, 3 si se capitalizan cuatrimestralmente, 4 si se capitalizan trimestralmente, 12 si se capitalizan mensualmente. Generalizando la frecuencia de capitalización m, se dará cuando los intereses se capitalicen n/m.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

1.3.2 CUANDO LOS PERIODOS DE INTERES COINCIDEN CON LOS PERIODOS DE PAGO

EJEMPLO II.- Un ingeniero desea comprar una casa de $80,000 dando un enganche de $20,000 y pidiendo un préstamo por los $60,000 restantes, que pagara mensualmente a lo largo de 30 años. ¿A cuánto ascenderán los pagos mensuales si el banco cobra un interés del 9.5% capitalizado mensualmente?

A= P x (A/P, r%/m, mn)

12 12 0.095 /¿ ¿ = $60,000 ¿ ( 12 ) ( 30) 0.095/¿¿ ¿ ¿

= $504.51

Es interesante observar que la cantidad total de dinero que el ingeniero pagara al banco es $504.51 x 360 =$ 181,623.60 Es decir, tres veces la cantidad original.

TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTINUA

A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor de m, número de periodos de capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca a infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva en su ecuación puede escribirse de una nueva forma. Primero se debe recordar la definición de la base del logaritmo natural.

( )

h

1+

1 =e=2.71828+¿ h lim ¿ n→∞

A medida que m se acerca a infinito, el límite de la ecuación de la tasa de interés efectiva se encuentra utilizando r/m = 1/h, lo que hace m = hr. i=e r−1

Esta ecuación se utiliza para calcular la tasa de interés efectiva continua. Al igual que en la ecuación de la tasa de interés efectiva, los periodos de tiempo en i y en r deben ser los mismos. Como ejemplo, para una tasa nominal anual del 15% anual (r = 15% anual), la tasa efectiva continua anual es: i=e 0.15−1=0.16183(16.183 %)...