1 ESO- Matematicas- Santillana-TEMA-9-Rectas-y-angulos PDF

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Solucionario...

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9

Rectas y ángulos CLAVES PARA EMPEZAR

a) M

b) U

c) D

Se pasa todo a milésimas: 22,33 D  223 300 m

0,345 M  345 000 m

1 234 444  345 000  223 300  4 587,33 → 1 234 444 m  0,345 M  22,33 D  4 587,33 m

a) 120o

b) 60o

c) 120o

d) 60o

VIDA COTIDIANA

En el dibujo, los tensores son paralelos entre sí y perpendiculares al tablero. En el puente Alamillo de Sevilla, los tensores son paralelos entre sí, pero no son perpendiculares al tablero, forman un ángulo de 45o aproximadamente con él.

261

Rectas y ángulos

RESUELVE EL RETO

Tenemos tres que suman 180o, que son uno de 40o, otro de 60o y otro de 80o (los tres siguientes serán iguales a estos). Además, ángulos formados por la suma de estos, como el ángulo de 100o o el que se formaría al unir el consecutivo de 80o y 40o, que es de 120o. O los de la parte izquierda, que es la suma de 80o y 60o; es decir, un ángulo de 140o. O el ángulo de 180o que se forma al unir los tres.

ACTIVIDADES

s t A B

r

Las rectas r y s son perpendiculares.

s

r

Sí, cualquier recta paralela a s será secante con r y no será secante con s.

Se pueden trazar infinitas rectas perpendiculares a una recta dada, ya que por una recta pasan infinitos puntos y en cada uno de ellos se puede trazar una recta perpendicular. Las rectas paralelas a una recta son, a su vez, rectas perpendiculares a las rectas perpendiculares de esa recta, y como hay infinitas perpendiculares, existirán infinitas perpendiculares de las perpendiculares.

262

9

s

s

A

A r

r

C

r

A

A

B

A

B

D

C

B P s

Q

C

D

A

B

C

Se forman seis semirrectas (2 por cada punto) y tres segmentos (AB, AC, BC).

263

Rectas y ángulos

A

M

B

3 cm

La distancia de A a M es la mitad de la medida del segmento, es decir, 3 cm.

A

C B

Se forman 2 segmentos: CA y CB. Se forman 8 semirrectas: 4 por cada recta (dos las forma el punto A, dos las forma el punto B y cuatro las forma el C).

A C B

3 segmentos: AB, BC, CA. 12 semirrectas: 4 por cada punto (dos en cada recta por punto).

a) Las mediatrices de los segmentos de una misma recta son paralelas entre sí. mediatriz de AC mediatriz de BC A

mediatriz de AB

264

B

C

9

b) Los puntos medios son los puntos de corte del segmento con su mediatriz. mediatriz de AC punto medio de AB mediatriz de BC A

C

B

punto medio de BC mediatriz de AB punto medio de AC

c) Del punto medio de AB a B hay 6 : 2  3 cm y del punto B al punto medio de BC hay 3,6 : 2  1,8 cm, con lo que del punto medio de AB al punto medio de BC hay 3  1,8  4,8 cm.

r s

A

B

C D

Las mediatrices de dos segmentos de rectas paralelas son también paralelas entre sí.

A

D

B

r

C s

Las mediatrices de segmentos de dos rectas perpendiculares también son perpendiculares entre sí.

Las mediatrices de los lados paralelos coinciden.

265

A

M

2 cm 2 cm

Rectas y ángulos

B

El segmento CD está en la mediatriz y los extremos distan de M dos centímetros.

s

r t

Las rectas r y t son paralelas entre sí.

B A

D

C

centro de la circunferencia

Las mediatrices de los lados de los triángulos inscritos en una circunferencia se cortan en el centro de la circunferencia.

Los ángulos que se forman son agudos, puesto que son menores que un ángulo recto.

266

9

Respuesta abierta. Por ejemplo: Ángulo que se forma al ir separando un brazo del cuerpo, tomando como vértice al hombro: dependiendo de la abertura del brazo podemos tener: Ángulo nulo: si el brazo está pegado al cuerpo. Ángulo agudo: si la mano está por debajo del hombro. Ángulo recto: si el brazo está a la altura del hombro. Ángulo obtuso: si levanto el brazo por encima del hombro. Ángulo llano: si la mano está justo encima del hombro. Ángulo que forman las dos piernas estiradas, tomando como vértice la cadera. Ángulo que forma el brazo, tomando como vértice el codo, o la pierna tomando como vértice la rodilla. Ángulo que forma el torso con las piernas, tomando como vértice el ombligo.

a) Cada lado forma con la bisectriz un ángulo recto. b) El ángulo

debe ser menor que un ángulo llano.

267

Rectas y ángulos

s

r

s

r

Sí, se obtiene siempre la misma recta, pues cada ángulo solo tiene una bisectriz.

C

B bisectriz

A

O A’

B’ C’

a) La bisectriz del ángulo y las mediatrices de los segmentos coinciden. b) La mediatriz de un segmento pasa por su punto medio. En este caso, la bisectriz coincide con las mediatrices obtenidas y, por tanto, la bisectriz pasa por los puntos medios de los segmentos. 268

9

Ángulos suplementarios son los que forman un ángulo llano, por lo que el suplementario de un ángulo recto es otro ángulo recto. E ntonces, los ángulos consecutivos que nos piden deben ser complementarios (forman un ángulo recto).

Un ángulo tiene dos ángulos adyacentes a él, uno por cada lado. Un ángulo tiene un único ángulo complementario y suplementario, respectivamente.

B A D

C E

F G H

AC

AE

AG

BD

BF

BH

CE

CG

DF

DH

EG FH

269

Rectas y ángulos

AyB

AyD AyF AyH

ByC

ByE

ByG

CyD

CyF

CyH

DyE

DyG

EyF

EyH

FyG GyH

150o 30o 150o

30o 150 o 30o 30o

150o

90o 45o

120o 60

o

40o 50o

Cualquier par de ángulos consecutivos cuya suma sea 90o cumple esta condición (ejemplo: 35o y 55o, 12o y 78o…).

270

9

a) 10 · 60  600’

c) 90 · 60  5 400’

e) 105 : 60  1,75’

b) 52 · 60  3 120’

d) 75 : 60  1,25’

f) 164 · 60  9 840’

a) 24 · 60 · 60  86 400”

c) 56 · 60  3 360”

e) 65 · 60  3 900”

b) 34 · 60  2 040”

d) 82 · 60 · 60  295 200”

f) 186 · 60 · 60  669 600”

a) 1 440 : 60  24o

c) 3 240 : 60 : 60  0,9o

e) 5 040 : 60  84o

b) 14 400 : 60 : 60  4o

d) 4 500 : 60  75o

f) 82 800 : 60 : 60  23o

El ángulo mide 40o  2 400’  144 000”

a) 4 · 60  240 min

c) 48 : 60  0,8 min

e) 5,5 · 60  330 min

b) 23 · 60  1 380 min

d) 78,25 · 60  4 695 min

f) 120 : 60  2 min

a) 45 · 60  2 700 s

c) 12 · 60 · 60  43 200 s

e) 4,5 · 60  270 s

b) 6 · 60 · 60  21 600 s

d) 40 · 60  2 400 s

f) 3,25 · 60 · 60  11 700 s

271

Rectas y ángulos

1 h  60 min → El paseo ha durado 60  22  82 minutos.

2 min  2 · 60  120 s → Para superar el récord hay que hacer menos de 120  36  156 segundos.

a) 41o 45’ 73”  41o 46’ 13”

d) 140o 73’ 71”  141o 14’ 11”

b) 50o 80’ 17”  51o 20’ 17”

e) 130o 59’ 90”  131o 30”

c) 51o 9’ 100”  51o 10’ 40”

f) 145o 65’ 57” 146o 5’ 57”

a) 35o 28’ 83”  35o 29’ 23” b) 88o 12’ 32” c) 9o 72’ 36”  10o 12’ 36” d) 64o 52’ 41”

28o 22’ 26”

54o 32’ 74”  54o 33’ 14”

272

9

1 h 145 min  3 h 25 min

18 h 5 min  22 min  18 h 27 min → Ha salido a las 18:27 h.

a) 23o 75’ 91”

c) 72o 34’ 92”

e) 38o 53’ 63”

g) 66o 84’ 79”

 17o 29’ 42”

 58o 24’ 58”

 12o 26’ 14”

 26o 40’ 38”

6o 46’ 49”

14o 10’ 34”

26o 27’ 49”

40o 44’ 41”

b) 43o 5’ 52”  8o 4’ 48” 35o 1’ 4”

a) 34o 60’ 44” 

28’ 39”

d) 6o 84’ 89”

f) 124o 85’ 78”

h) 25o 44’ 81”

50’ 38”

 15o 47’ 53”

 3o 24’ 56”

6o 34’ 51”

109o 38’ 25”

22o 20’ 25”



c) 20o 57’ 36”  9o 15’

34o 32’ 5” b) 74o 11’ 60”  14o

32”

60o 11’ 28”

11o 42’ 36” d) 117o 59’ 64” 

6o 52’ 37” 111o 7’ 27”

273

Rectas y ángulos

a) A  B  28o 22’ 26”

40o 3’ 12”

39o 62’ 72”

 28o 22’ 26”

 28o 22’ 26”

C  (A  B)→



11o 40’ 46’’ o

o

b) (A  B) → 28 3’  19’ 26”

27 62’ 60” →

 19’ 26” 27o 43’ 34”

C  (A  B) → 40o 3’ 12”  27o 43’ 34”

39o 62’ 72” →

 27o 43’ 34” 12o 19’ 38”

2h

1 h 59 min 60 s

 1 h 35 min 50 s

 1 h 35 min 50 s 24 min 10 s

Le han sobrado 24 minutos y 10 segundos.

ACTIVIDADES FINALES

a) r1

r3 r2

r4 r5

r7

r8

r6

Semirrectas: dos por cada punto (en total 8); por ejemplo: r1 es la recta con origen en A que va hacia la izquierda; r2 es la recta con origen en A que va hacia la derecha… Segmentos (6 en total): 274

.

9

b) r6 r5

r7 r8 r10

r2

r1

r9

r3

r4

r11 r12

Semirrectas: cuatro por cada punto (en total, 12). Por ejemplo: r1 es la semirrecta que tiene origen en A y va hacia la izquierda, r4 es la semirrecta que tiene origen en A y va debajo de r1, r2 es la semirrecta con origen en A que pasa por B, r3 es la semirrecta con origen en A que pasa por C… Segmentos (3 total):

.

c) r1

r10 r2

r5 r8

r3

r4

r6 r7

r9 r 12 r 11

Semirrectas: dos semirrectas por los puntos A, B, D y E y cuatro por el punto C (12 en total). Segmentos (8 en total):

.

d) r2 r3

r1

r6 r5

r4

r13

r 14 r9

r15

r7 r8 r 10

r11

r12

r16

Semirrectas: cuatro por cada punto (16 en total).

v

Segmentos (6 en total):

.

w t

P

s

r

275

Rectas y ángulos

a) La calle Amarillo y la calle Azul. b) La calle Roja. c) La calle Blanco, la calle Añil, la calle Roja y la calle Verde. d) Son paralelas. e) Son secantes.

a) No, cualquier recta perpendicular a una de ellas será secante con la otra. b) Tampoco.

s r’

r

s’

a) Perpendiculares.

276

b) Perpendiculares.

c) Perpendiculares.

9

a)

b)

c) s s

t

r

r

t r

s

t

a) y b) m

m’

m’’ t

A’ A

B

B’

s

r

c) m’ y m” son rectas paralelas.

R S

T

Distancia de P a r  medida RP  1,9 cm  19 mm Distancia de P a s  medida SP  0,7 cm  7 mm Distancia de P a t  medida TP  0,7 cm  7 mm

277

Rectas y ángulos

C’

D’ A’ B’

Distancia de A a r  medida AA’  0,5 cm  5 mm Distancia de B a r  medida BB’  1,2 cm  12 mm Distancia de C a r  medida CC’  1,1 cm  11 mm Distancia de D a r  medida DD’  0,6 cm  6 mm

B r

A C

s

t

A’ C’

B’

Distancia de r a s  medida AA’  0,7 cm  7 mm Distancia de r a t  medida BB’  1,6 cm  16 mm Distancia de s a t  medida CC’  0,9 cm  9 mm

a) Falso.

a) Recto.

278

b) Verdadero.

c) Verdadero.

b) Obtuso.

d) Falso.

c) Agudo.

e) Falso.

d) 135o.

f) Verdadero.

g) Falso.

9

a)

c)

e)

20o 26o

40o

70o

64o

50o

b)

d)

70o

f)

45o

52o

38o

20o

a)

45o

d)

100o

150o

80o

b)

30o

e)

120o

60o

c)

120o

60o

f)

150 o 30o

135o

45o

279

Rectas y ángulos

280

a)

c)

b)

d)

a)

c)

b)

d)

9

v

s 60o

120o

60o r t

a) b)

a) b)

,

, ,

, ,

a)

c)

b)

d)

, ,

,

e) ,

, ,

,

,

,

,

,

,

g)

f)

281

Rectas y ángulos

a)

d)

b)

e)

c)

f)

De izquierda a derecha y de arriba abajo: 136o, 44o, 44o y 136o.

t

s

90o  A 90 o A 90o  A 90o

A

A

r B

282

9

a) 38 · 60  2 280’

b) 5 100 : 60  85’

c) 127 · 60  7 620’

a) 92 · 60 · 60  331 200”

b) 135 · 60 · 60  486 000”

a) 54 000 : 60 : 60  15o

b) 420 : 60  7o

c) 4 · 60  240’’

c) 30 : 60 : 60 

a) 3 · 60  180 min

c) 85 · 60  5 100 min

b) 32 400 : 60  540 min

d) 72 000 : 60  1 200 min

a) 94 · 60  5 640 s b) 3,5 · 60 · 60  12 600 s c) 21 · 60  14  1 274 min  1 274 · 60  76 440 s

a) 2 · 60 · 60  3 · 60  40  7 420 s

c) 3 · 60 · 60  15 · 60  25  11 725 s

b) 20 · 60 · 60  25 · 60  30  73 530 s

d) 9 · 60 · 60  17 · 60  43  33 463 s

8 000 60 200 133 200 20

133 60 13 2

8 000”  2o 13’ 20”

283

Rectas y ángulos

a) 8 213 60 2 21 136 413 53

136 60 16 2

8 213”  2o 16’ 53” b) 7 365 60 1 36 122 165 45

122 60 02 2

7 365” 2o 2’ 45” c) 465 60 45 7 465”  7’ 45” d) 15 784 60 3 75 263 184 04

263 60 23 4

15 784 s  4 h 23 min 4 s e) 12 000 60 0 00 200 00 0

200 60 20 3

12 000 s  3 h 20 min f) 5 678 60 278 94 38

94 34

60 1

5 678 s  1 h 34 min 38 s

a) 20 953 s  5 h 49 min 13 s b) 9,57 días  229 h 40 min 48 s c) 402,25 min  6 h 42 min 15 s d) 10,5 semanas  1 764 h

284

9

310

a) 34o 15’ 23” o

 46 5’ 12”

43”

 68o 35’ 38”

45

48

0

19

42

72’ 28” o

 6 47’ 2” 6o 119’ 30” → 7o 59’ 30” e) 123o 32’ 45”  45o

117o 35’ 81” → 117o 36’ 21” c) 84o 54’

8”

168o 32’ 53” f) 54o 7’

 46o

14”

130o 54’ 14”

a) 35o 17’ 22”



36’ 4” 54o 43’ 4”

d) 94o 61’ 60”

 26o 5’ 12”

 47o 52’ 43”

9o 12’ 10”

47o 9’ 17”

b) 89o 15’ 63”

e) 63o 32’ 45”

 8o

36

56

d)

80o 20’ 35” b) 49o

21

38”

 46o

8”

81o 15’ 25”

17o 32’ 37”

c) 60o 60’ 34”

f) 55o 71’ 88”

 7o 14’ 53o 46’ 34”

 6o 47’ 52” 49o 24’ 36”

285

Rectas y ángulos

a) Complementario: 33o 55’ 34”

e) Complementario: 89o 20’ 53”

89o 59’ 60”

89o 59’ 60”

 56o 4’ 26”

39’ 7”



o

o

33 55’ 34”

89 20’ 53” o

Suplementario: 123 55’ 34”

Suplementario: 179o 20’ 53”

179o 59’ 60”

179o 59’ 60”

 56o 4’ 26” o

123 55’ 34” b) Complementario: 75o 16’ 52” 89o 59’ 60”

39’ 7”

 o

179 20’ 53” f) Complementario: 90o  75o  15o Suplementario: 180o  75o  105o

 14o 43’ 8” 75o 16’ 52” Suplementario: 165o 16’ 52” 179o 59’ 60”  14o 43’ 8” 165o 16’ 52” c) Complementario: 50o 59’ 36”

g) Complementario: 36o 18’ 58”

89o 59’ 60”  39o

24”

89o 59’ 60”  53o 41’ 2”

50o 59’ 36”

36o 18’ 58”

Suplementario: 140o 59’ 36”

Suplementario: 126o 18’ 58”

179o 59’ 60”

179o 59’ 60”

 39o

24”

 53o 41’ 2”

140o 59’ 36”

126o 18’ 58”

d) Complementario: 1o 15’

h) Complementario: 89o 5’ 57”

89o 60’  88o 45’ o

1 15’

54’ 3”

 o

89

5’ 57”

Suplementario: 91o 15’

Suplementario: 179o 5’ 57”

179o 60’

179o 59’ 60”

 88o 45’ 91o 15’

286

89o 59’ 60”



54’ 3”

179o 5’ 57”

9

a) 360  90  270o b) 360  110  250o c) 360  30  330o d) 360  45  315o

 40o 49’ 54”

a)

26o 38’ 19”  14o 11’ 35” 40o 49’ 54”  12o 26’ 44”

b)

26o 37’ 79”  14o 11’ 35” 12o 26’ 44” c) 2

 2 · (26o 37’ 79”)  52o 74’ 158” 52o 76’ 38” 53o 16’ 38”

53o 16’ 38”  14o 11’ 35” 67o 27’ 73” 2

 67o 27’ 73”  67o 28’ 13”

d) 2

 2 · (14o 11’ 35”)  28o 22’ 70”  28o 23’ 10”

3

...