1 Trabajo Monografico Serie DE Fourier Compleja Y Discreta Y Aplicaciones (Recuperado) PDF

Preview

Summary

Download 1 Trabajo Monografico Serie DE Fourier Compleja Y Discreta Y Aplicaciones (Recuperado) PDF

Description

SERIES DE FOURIER DE FUNCIONES COMPLEJAS DISCRETAS Y APLICACIONES DIVERSAS INTRODUCCIÓN: Una alternativa a la forma trigonométrica de la serie de Fourier considerada hasta aquí, es la forma compleja o exponencial. Como resultado de las propiedades de la función exponencial, esta forma es matemáticamente fácil de manipular. En la práctica es ampliamente usada por los ingenieros, de manera particular en trabajos relacionados con el análisis de señales, y provee una transición más suave de la consideración de la transformada de Fourier para el tratamiento con señales periódicas a la consideración de la transformada de Fourier para el tratamiento con señales no periódicas que se analizaran posteriormente. REPRESENTACIÓN COMPLEJA DE UNA SERIE DE FOURIER: Para desarrollar la forma compleja de la serie de Fourier ∞

an cosnωt +¿ ∑ bn sennωt (1) n=1

∞

1 f ( t ) = a0 + ∑ ¿ 2 n=1 Que representa una función periódica f (t) de periodo T , procedemos como sigue: Sustituyendo los resultados por la fórmula de Euler: sennωt = cosnωt=

( e jnωt −e− jnωt ) 2j

( e jnωt +e− jnωt ) 2

Donde: j= √−1 En (1) se obtiene: an

( e jnωt +e− jnωt ) 2

∞

+¿ ∑ bn

( e jnωt−e− jnωt )

n =1

∞

1 f (t ) = a0 +∑ ¿ 2 n=1

2j

∞

1 jnωt − jnωt ) +¿ ∑ −1 j b n ( e jnωt −e− jnωt ) an ( e +e 2 n=1 2 ∞ 1 f ( t )= a0 + ∑ ¿ 2 n=1 ∞

[

]

1 1 1 jnωt f ( t )= a 0+ ∑ ( an − jbn ) e + ( a n+ j bn ) e− jnωt (2) 2 2 2 n=1 Escribiendo:

1 1 1 ¿ c 0= a 0 , c n= ( an − jb n ) , c−n=cn = ( a n + jb n ) (3) 2 2 2 (2) se convierte en −∞

c n e jnωt +¿ ∑ c n e jnωt n=−1

∞

c n e jnωt +¿ ∑ c−n e

− jnωt

∞

=c 0 +∑ ¿ n=1

n=1

∞

f ( t )=c 0 + ∑ ¿ n=1

∞

∑ cn e jnωt , ya que c0 e 0=c 0

f ( t )=

n=−∞

Así la serie de Fourier (1) se convierte simplemente en ∞

f ( t )=

∑ c n e jnωt

n=−∞

Que se conoce como la forma compleja o exponencial de la expresión en serie de Fourier de la función f ( t ) . Para poder aplicar este resultado directamente, es necesario obtener una fórmula para calcular los coeficientes complejos c n . Para hacer esto, incorporamos la fórmula de Euler i y ii en las definiciones dadas en (3)

2 an = T 2 bn = T

d +T

∫ f (t ) cosnωtdt , ( n=0,1,2 , … ) (i) d

d +T

∫ f (t ) sennωtdt , ( n=0,1,2, … ) (ii) d

Llegando a:

1 1 c 0= a 0= T 2

d+T

∫ f (t ) dt(4) d

1 1 c n= ( an− jb n )= T 2

[∫

d +T

d +T

f ( t ) cosnωtdt− j ∫ f ( t ) sennωtdt

d

d

]

f ( t )(¿ cosnωt − jsennωt)dt d +T 1 ¿ ∫¿ T d 1 ¿ T

d +T

∫ f (t ) e− jnωt dt (5) d

f ( t )(¿ cosnω + jsennωt)dt 1 1 c−n= ( a n + jbn ) = 2 T

¿

1 T

d+T

∫¿ d

d +T

∫ f (t ) e jnωt dt (6) d

De (4)-(6), se puede ver fácilmente que para todos los valores de n 1 c n= T

d +T

∫ f (t ) e− jnωt dt d

En resumen, la forma compleja de la expansión en serie de Fourier de una función periódica f ( t ) , de periodo T , es:

∞

∑ c n e jnωt

f ( t )=

n=−∞

Donde c n=

1 T

d +T

∫ f (t ) e− jnωt dt , ( n=0 ,± 1 ,± 2 , … ) d

c n ( n=0 , ± 1 , ± 2 ,… ) son complejos y pueden expresarse

En general los coeficientes en la forma c n=|c n |c

i ∅n

|c n|

Donde

|c n|=

, la magnitud de

√( ) ( )

2

1 2 1 a + bn 2 n 2

2

=

c n , se obtiene de la definición (3) por

12 2 2 ( an ) + (b n ) 2

√

Así que 2|c n| es la amplitud de la n-ésima armónica. El argumento esta relacionado con fase de la n-ésima armónica.

∅n de

cn

SEÑALES DISCRETAS PERIÓDICAS .SERIE DE FOURIER DISCRETA Sea una señal periódica, f ( t ) , de periodo T . Tomamos N valores discretos de en cada periodo, separados ∆ t .se cumple entonces que:

f (t )

T =N ∆ t

No conocemos la función de partida, solo los puntos discretos. Podemos construir una suma de senos y cosenos que pase por los puntos discretos.

Las ecuaciones en el caso continuo eran: ∞

∞

f (t )=

∑

n=−∞

c n=

1 T

c n e jnωt = ∑ cn e n=−∞

d +T

∫

j 2 πnt T

− jnωt

f (t ) e

dt =

d

1 T

d +T

∫

f (t )e

− j 2 πnt T

El valor de la señal en cada t k =k ∆ t ∞

f ( t k ) =f ( k ∆ t ) =

∑

dt

d

cn e

será:

j 2 πn(k ∆ t ) N ∆t

∞

=

n=−∞

∑ cn e

j 2 πnk N

n=−∞

c n Para los valores discretos se calcula teniendo en cuenta:

f (t ) e

− j 2 πnt T

T

− j 2 πnt

1 dt= ∫ f ( t ) e T T 0 ¿ d+ T 1 c n=¿ ∫ ¿ T d

dt

Como en un periodo solo hay datos en N instantes t k , se pueden calcular N valores de cn .

c n=

1 N ∆t

N −1

∑ f (k ∆ t ) e

n=0

j 2 πn(k ∆ t ) N∆t

=

1 N

N −1

∑ f (k ∆ t ) e

n=0

j 2 πnk N

TEOREMA: Cualquier función periódica discreta de periodo T =N ∆ t se puede descomponer como:

N−1

f ( N ∆ t )= ∑ c n e

j 2 πnk N

n=0

c n=

1 N

N−1

∑ f (k ∆ t ) e

j 2 πnk N

n=0

2 πn 2 πn = N ∆t T , por lo que |c−n|=|c n | y el espectro (

 Las frecuencias de cada c n son: ω n= ¿

 Es fácil comprobar que c−n=c n ω n ,|c n|¿ es simétrico respecto al eje x=0. PROPIEDADES  n=0 c n=

1 N

N−1

∑ f (k ∆ t)

 n=

1 c N= N 2

cN 2

f , f(k∆t ) .

⇒ media de los valores discretos de

n=0

N 2

N −1

−j2π(

∑ f (k ∆ t )e n=0

N )k 2

N

=

1 N

N−1

∑ f ( k ∆ t ) cos (πK )

n=0

También es un número real.

 n=

1 cN = +m N 2

N +m 2

N −1

f (k ∆ t)e ∑ n=0

N +m) k 2 N

−j2π(

1 = N

N −1

f (k ∆ t )e ∑ n=0

− j 2 πmk N

− jkπ

e

¿ = c N +m 2

Luego los elementos simétricos respecto a

N 2

son complejos conjugados.

 Esto quiere decir que la mitad de la información es redundante, ya que conociendo N los términos desde n=1 hasta n= −1 puedes conocer los términos desde 2 N n= +1 hasta n=N −1. 2  La frecuencia más alta que se puede evaluar es: π N ω k max=ω N =2 π ( ) ( N ∆ t ) = ∆ t , Que se conoce como la frecuencia de Nyquist 2 2 π rad 1 ∆t , f Nyquits= Hz ω Nyquits = s 2∆t  Si la señal original tiene una frecuencia mayor que ω Nyquits entonces la serie de Fourier no la puede evaluar.  Lo anterior es válido si N es par. Si N es impar, la mayor frecuencia que se puede N −1 conocer es la correspondiente a n= .a partir de ahí la información es 2 redundante.  Por tanto, como la frecuencia de Nyquist se ha definido como ω 2N , no es posible evaluar esta frecuencia con N impar (la máxima frecuencia que se puede evaluar es ω N−1 ). 2

 Se volverá a incidir sobre esto al estudiar la DFT.

TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN Si f (t) y g (t) son dos funciones periódicas que tienen el mismo periodo T entonces: 1 T

T +c

∫ c

∞

f ( t ) g (t ) dt= ∑ c n dn ¿

n=−∞

Donde c n y d n son los coeficientes en las expansiones en series de Fourier complejas de f (t) y g (t) respectivamente:

Demostración: Sean f (t) y g (t) con series de Fourier complejas dadas por: ∞

∑ cn e jn2 π ∂ T dT

f (t )=

n=−∞

con:

c n=

1 T

T+ c

∫

∞

f ( t ) e− jn2 π ∂ T dT

g(t)= ∑ d n e jn 2 π ∂T dT

y:

n=−∞

c

Con: d n=

1 T

1 T

T +c

∫ c

∞

¿

∑

n=−∞

T +c

∫ g (t ) e− jn 2 π ∂ T dT

Entonces:

c

1 f (t ) g (t ) dt= T

[

cn

1 T

T +c

(

∞

∫ ∑

T +c

c

n=−∞

∫ g( t ) e jn2 π ∂ T dt c

)

c n e jn 2 π ∂ T dT g ( t ) dt

]

∞

¿

∑

c n d −n

n=−∞

Como d-n = dn * el conjugado complejo de dn esto se reduce el resultado requerido: T +c

∞

¿ 1 En términos de los coeficientes reales an, bn y αn, βn. f (t ) g (t ) dt= ∑ c n dn ∫ T c n=−∞ Las expansiones en serie de Fourier trigonométricas que corresponden a f (t) y g (t) son:

∞

∞

n 2 πt n 2 πt 1 f ( t ) = a 0+ ∑ an cos( )+ ∑ b n sen( ) 2 T T n=1 n=1 ∞

∞

1 n2 πt n 2 πt )+ ∑ β n sen( ) g ( t ) = α 0 + ∑ αn cos( T 2 T n=1 n=1

Y usando las definiciones, el resultado del teorema de la multiplicación se reduce a: 1 T

T +c

∞

∞

c

n=1

n=1

∫ f (t ) g (t ) dt=∑ c −n d n +c 0 d 0 +∑ c n d−n

a ¿ α a α (¿ ¿ n− jβ n ) (¿ ¿ n+ jβ n )+(¿ ¿ n+ jb n)¿ (¿ n− jb n ¿ )¿ ¿ ¿ ∞ 1 1 ¿ α 0 a0 + ∑ ¿ 4 4 n=1

Dando al final: 1 T

T +c

∞

c

n=1

∫ f (t ) g (t ) dt= 41 α 0 a0 + 12 ∑ (an αn +b n β n ) ESPECTRO DE FRECUENCIA DISCRETA

Sea la serie de Fourier:

•

Donde ICnI es la amplitud y a Øn es el Angulo de fase,

•

Cn es un función de Ɯn= Ɯo A la gráfica de la magnitud de los coeficientes Cn contra la frecuencia angular de la componente correspondiente se le denomina espectro de amplitud.

•

A la gráfica del ángulo de fase Øn de los coeficientes Cn contra Ɯ se le llama el espectro de fase

•

Como n solo toma valores enteros, la frecuencia angular Ɯ= nƜo es una variable discreta y los espectros mencionados son graficas discretas.

•

Dada una función periódica F(t), le corresponde una y solo una serie de Fourier, es decir le corresponde un conjunto único de coeficientes Cn

•

Por ello los coeficientes Cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia dela misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.

•

Al expresar una función periódica f(t) mediante su expansión en series de Fourier estamos descomponiendo la función en sus componentes armónicas o de frecuencia. Hemos visto que si f(t) tiene periodo T entonces tiene componentes de frecuencia las frecuencias ω n=

n2 π =n ω 0( n=1,2,3, …) (α) T

Donde ωo es la frecuencia de la función padre f(t).(Aquí todas las frecuencias son medidas en rad s-1) Por lo tanto una serie de Fourier puede ser interpretada como el espectro de frecuencias de la función periódica f (t), y proporciona una representación alternativa de la función en su forma de onda en el dominio del tiempo. Este espectro de frecuencia se representa dibujando las gráficas de amplitudes y las fases de as diversas componentes armónicas contra la frecuencia angular ωn .Un dibujo de la amplitud contra la frecuencia angular se denomina como espectro de amplitud mientras que la gráfica de fase contra frecuencia angular se conoce como espectro de fase. Para una función periódica f (t) de periodo T las componentes armónicas solo aparecen en frecuencias discretas ω n, que están determinadas por (α) asi que estos espectros se conocen como espectros de frecuencia discretas o espectros de línea. Si la expansión en serie de Fourier de una función periódica f (t) de periodo T se obtuvo en forma geométrica:

Entonces esto puede expresarse en términos de sus distintas componentes armónicas como

Donde

Y las Øn están determinadas por sen Ø n =

bn An

, cos Ø n=

an An

Espectro de frecuencia discreta real.

Forma compleja de espectro de amplitud

EJEMPLO: Dibuje los espectros de amplitud y fase de la función periódica

Considere ambas formas compleja y real.

Solución:

Los coeficientes complejos fueron determinados como

Asi:

(a) Espectro de amplitud

(b) Espectro de fase

Los coeficientes de la forma trigonométrica de la expansión de la serie de Fourier de f(t)

De manera que la amplitud de sus coeficientes son:

Llegando al Espectro de frecuencia real discreta:

TEOREMA DE PARSEVAL

El promedio o valor medio de una señal cualquiera f (t) en un periodo dado (T) se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f (t)

De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f (t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por 1 T

T 2

∫ [ f (t ) ]2 dt −T 2

Si f (t) es periódica, también lo será [f (t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo

El teorema de Parseval permite calcular la integral de [f (t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f (t): 2

¿ c n∨¿ 1 T

T 2

∞

∫ [ f (t ) ] dt= ∑ ¿ 2

−T 2

n=−∞

 O en términos de los coeficientes an, bn:

1 T

T 2

∞

∫ [ f (t ) ]2 dt=41 a02 +21 ∑ (an2 +b n2 )

−T 2

n=1

Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir

¿ 1 T

cn ∨¿2 2 √

T 2

∞

∫ [ f (t ) ]2 dt=c 02 +∑¿

−T 2

n=1

Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C 0 es la componente de directa Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie

∞

f (t)=

∑

cn e

jnω0 t

n=−∞

Los coeficientes reales Cn de la serie

n ¿ cos ¿ ¿

∞

f (t)=c0 + ∑ ¿ n =1

Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C 0 es la componente de directa

√a

2

2

Tenemos por un lado

C n=

Mientras

| Cn |=

1 2 2 an +bn √ 2

Pero

| Cn |=

1 2

n

+bn

Cn

asi que

1 2 2 ¿ C n∨¿ = C n 4 ¿

n( t )=Cn [cos (nω 0 t−¿ θ n)] f¿

Además el armónico

C n /√ 2

Su valor rms es

C n2 2

Por lo que su valor cuadrático medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms es

| C 0| ¿ c 0∨¿ ¿

Por lo tanto su valor cuadrático medio será

2

A partir de la serie de Fourier de la función definida en el intervalo determinar los valores de las series:

(

∞

)

∑ −4 cos( 2 n−12 x )

π + F(x) = 2

π (2 n−1)

n=1

∞

∞

1 ∑ 2 n=1 (2 n−1)

1.-

2.-

Particularizando para x=0, f (0)=0: π 0= + 2

(

∞

)

2 n−1 0) → ∑ −4 πcos( (2 n−1)2 n=1

∞

π 4 0= ∑ 1 π n=1 ( 2 n−1 )2 2 −π π2 2 = = −4 8 π

∞

=

1 2 n=1 (2 n−1)

∑

Aplicando el teorema de Parseval ¿ f (x)∨¿ 2 dx=

a 02 ∞ 2 2 + ∑ ( a +bn ) 2 n=1 n π

∫¿ −π

1 ∑ 4 n=1 (2 n−1)

Sustituyendo f(x)= |x|

,

a0 =π , a n=

−4 ,b n=0 : π ( 2 n−1 )2

∞

x 2 dx=

π2 16 +¿ ∑ 2 n =1 ( 2 n−1) 4 π

1 ∫¿ π−π

∞

2 3 1 2 x π π 16 = + 2∑ 3 2 π n=1 ( 2 n−1 )4 = 1¿ π

∞

=

1 4 n=1 ( 2 n−1 )

∑

4

=

π 96

1. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-π,π] 2. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numérica 3. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función F(x) = x2

∞

∑ k=1

-π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)

1 k4

1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica  Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0

a0 ∞ + ∑ ( a ) cos (nx ) F(x) = 2 n=1 n

π

Pero a0 =

2 2 2 x 2 dx= π ∫ π 0 3

π

π

y

an = 1 ∫ x 2 cos ( nx) dx= 2 ∫ x 2 cos ( nx ) dx π −π π 0

=

π 2 π 2 π 2 1 2 x Sen (nx ) + 2 xCos ( nx) − 3 Sen ( nx) π n 0 0 n 0 n

=

2 (2 π ) n (−1 ) π n2

[

(−1 )

]

n

2 F(x)= π +4 ∑ cos (nx ) 3 n=1

. f continua es [ - π , π ] . f,

Continua en [- π , π ]

hay convergencia uniforme

Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval

[ f (x )]2 dx =¿ .

a 02 ∞ + ∑ ( a 2 +b n2 ) 2 n=1 n π

1 ∫¿ π −π 2

[ x ] dx=¿

.

1 5 π x 5 −π

π

∫¿

=

2 5 π 5

−π

∞

.

2 4 2 2 21 1 π =( π ) +16 ∑ 4 3 5 2 n=1 n ∞

.

∑ n=1

1 π2 = n4 90

ESPECTRO DE POTENCIA La potencia promedio P asociada con una señal periódica f(t) de periodo T está definida como el valor cuadrático medio; esto es,

P=

1 T

d +T

∫ [ f (t ) ] d

2

dt

Por ejemplo, si f (t) representa un voltaje que se aplica a un resistor, entonces P representa la potencia promedio, medida en watts, que disipa un resistor de 1Ω. Por el teorema de Perseval:

1 2 a + 4 0

P=

1 2

∞

∑ (a2n +b n2)

…. (1)

n=1

Como: 1 T

1 T