12- Modelos Atomicos - Ingar PDF

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Prof. Francisco Nesprías...

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Modelos Atómicos Problema 1) Una partícula α, de energía cinética igual a 7,68MeV, incide centralmente sobre el núcleo de un átomo de cobre. Considerando que la masa de la partícula α es aproximadamente igual a cuatro veces la masa del protón (mp), y que el número atómico del cobre es 29, determinar la distancia de máximo acercamiento entre la partícula y el núcleo. (mp = 1,67252·10-27kg).

29 ⋅1.6 ⋅10 −19 C Qq Ze ⋅ 4e Ki +U i = K f +U f ⇒ Ki = ⇒ r= = = 2.173⋅ 10−14 m N N C ⋅ 4 4 πε πε r eV 12 6 − 0 0 ⋅7.68 ⋅10 V =0 3.14 ⋅8.85 ⋅10 =0 Vm Problema 2) Evaluar y tabular en función del número cuántico n, para las cinco primeras órbitas del átomo de H (Z = 1), los valores de: el radio de las órbitas (en Å), la velocidad tangencial del electrón (en m/s), el período de rotación (en s), la frecuencia (en Hz) y las energías cinética, potencial y total (en eV).

L = me vr = n= ⇒ v = FG = FE ⇒ me

nh 2π mer

me ⎛ nh ⎞ 2 h 2 ε 0 n 2 a0 2 v2 e ⋅ Ze Ze 2 r n , a0 = 0.52994⋅ 10 −10 m = ⇒ = ⇒ = = ⎜ ⎟ 2 2 4πε0 me r r 4πε 0r r ⎝ 2π me r ⎠ Z π me e Z

m nh e2 1 Z =Z = v0 , v0 = 2.18478 ⋅106 2 2 ε 2h 0 n s n ⎛n h ε0 ⎞ 2π me ⎜ 2 ⎟ ⎝ π me Ze ⎠

v=

nh = π 2 me r

T=

2π r 2π n2 h2 ε 0 π me Ze2 1 4 h3ε 02 3 n3 −16 n T = = = s 0 2 , T0 = 1.524 ⋅ 10 2 2 4 v Ze 2nhε0 Z me e Z

υ=

1 1 1 Z2 = Z2 = υ0 3 , υ0 = 6.561465 ⋅ 1015 Hz 3 T T1 n n

K=

m e4 Z2 1 1 Z 2 e4 Z2 m ev 2 = m e 2 2 2 = e2 2 2 = K 0 2 , K 0 = 13.6eV 2 2 n 4n h ε 0 8ε 0 h n r

U =

∫

−∞

me e4 Z 2 Ze2 Ze2 Ze2 Z2 dr U = − = − = − = − 0 2 , U 0 = 27.15eV 4πε 0r n 4πε0 r2 4πε 0 n2 h2 ε 0 π me Ze2 4ε02 h2 n2

E = K +U =

n rH(n) vH(n) T H(n) υH(n) KH(n) UH(n) EH(n)

Z 2e 4me Z 2e 4me e 4me Z 2 Z2 E − = − = − 0 2 , E 0 = 13.6eV n 8ε 02 h2 n2 4ε 02 h2 n2 8ε 02 h2 n2 1 0.53Å 2.18·106m/s 1.52·10–16s 6.56·1015Hz 13.6eV –27.15eV –13.6eV

2 2.12Å 1.09·106m/s 12.2·10–16s 8.2·1014Hz 3.39eV –6.79eV –3.39eV

3 4.77Å 0.73·106m/s 41.1·10–16s 2.43·1014Hz 1.51eV –3eV –1.51eV

4 8.48Å 0.55·106m/s 97.5·10–16s 1.02·1014Hz 0.85eV –1.7eV –0.85eV

5 13.2Å 0.44·106m/s 190.5·10–16s 0.52·1014Hz 0.54eV –1.08eV –0.54eV

Problema 3) Considerando un átomo de H: a) ¿Cuántas revoluciones da el electrón en el nivel n = 2, antes de decaer “espontáneamente” al n = 1, si la vida media de permanencia del electrón en cualquier estado excitado es de 10-8s? b) ¿Cuántas en el nivel n = 1 y en el n = ∞? c) Según el modelo de Bohr, ¿qué significado físico poseen las órbita n = 1 y n = ∞? a) Rev (n = 2 ) = t ⋅υH (2 ) =10 −8s ⋅8.2 ⋅1014Hz = 8.2 ⋅10 6rev b) Rev ( n = 1) = t ⋅ υ H (1) = 10 −8 s ⋅ 6.56 ⋅1015 Hz = 6.56 ⋅ 107 rev Rev (n = ∞ ) = t ⋅υH ( ∞ ) = 10 − 8s ⋅ 0Hz = 0rev c) Según el modelo de Bohr, n = 1 es el estado fundamental, y n = ∞ se relaciona con la energía de ionización que por definición, es la energía necesaria para llevar a un electrón desde el estado fundamental hasta el infinito (n = ∞). Problema 4) ¿Qué energía (en eV) se requiere para llevar al electrón desde el estado fundamental, al primero, al segundo y al tercer estado excitado en átomos de H?

1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 1⎞ a) E = E ( 2 ) − E (1) = −E0 ⎜ 2 − 2 ⎟ = − 13.6eV ⎜ 2 − 2 ⎟ = 10.18eV ⎝2 1 ⎠ ⎝ n2 n1 ⎠ ⎛ 1 1⎞ b) E = E ( 3) − E (1) = − 13.6eV ⎜ 2 − 2 ⎟ = 12.06eV ⎝3 1 ⎠ ⎛ 1 1⎞ c) E = E ( 4 ) − E (1) = −13.6eV ⎜ 2 − 2 ⎟ = 12.72eV ⎝4 1 ⎠ Problema 5) Considerando un átomo de H: a) ¿Qué energía mínima se necesita para extraer al electrón desde su estado fundamental? b) ¿Qué sucede si se supera dicho valor? c) ¿Qué sucede si no se supera dicho valor? 1 ⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ a) E = E ( ∞ ) − E (1) = − E0 ⎜ 2 − 2 ⎟ = − 13.6eV ⎜ 0 − 2 ⎟ = 13.6eV ⎝ 1 ⎠ ⎝ n 2 n1 ⎠ b) El átomo queda ionizado debido a que energía es mayor que la necesaria y produce la extracción del electrón. El resto de la energía se manifiesta en forma de energía cinética del electrón. c) El electrón no es excitado lo suficiente para ser extraído, de manera que va a saltar a la orbita correspondiente a la energía más cercana que supera la incidente. Luego irá cayendo espontáneamente liberando la energía absorbida en forma de fotón hasta llegar a la fundamental donde permanece estable. Problema 6) Un haz de electrones incide sobre un blanco de átomos de H en su estado fundamental de energía. Calcular con qué energía mínima emergerán dichos electrones, después de interactuar con un átomo de H, si su energía cinética al incidir sobre los átomos fuese de: a) 8.72eV. b) 11.21eV.

a) La Ec no es suficiente para que los electrones de los átomos de H salten del estado fundamental, por lo tanto los electrones del haz de electrones seguirán con una Ec = 8.72eV b) Como la Ec de los electrones es superior al necesario para que el e- pase de n = 1 a n = 2, (10,2eV) entonces: Ec′ = Ec − Δ E = 11, 21eV −10,2eV = 1,01eV Problema 7) Considérese una muestra de átomos de H. a) ¿A qué potencial mínimo se debe acelerar un haz de electrones para que al incidir sobre la muestra se observe la segunda línea de la serie de Balmer? b) Con dicho potencial, se observan otras líneas. ¿Cuáles? a) V = V (4 )− V (2 ) = –0.85V – ( –3.39V ) = 2.54V b) Con dicho potencial también se observa Hα = 656.3nm correspondiente a la transición n3→2 para la cual es necesario V = 1.88V.

Problema 8) Calcular las longitudes de onda de las dos primeras líneas y del límite de la serie de Balmer del helio ionizado. 1

λ

=

4 E f − Ei 1 ⎞ ⎛ 1 2 m ee , =Z 2 3 ⎜ 2− hc 8ε 0 h c ⎝ ni n f 2 ⎟⎠

R∞ =

mee4 1.097⋅ 10 7 m − 1 (se considera masa nuclear 2 3 = 8ε 0 h c

infinita) RHe =

1

λH −α

m eM R∞ μe4 e4 = = ≅ R∞ 2 3 2 3 8 ε 0 h c m e + M 8 ε 0 h c 1 + me M 1 ⎞ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 7 −1 2 ⎛ 1 = R HeZ ⎜ 2 − 2 ⎟ = 1.097 ⋅ 10 m ⋅ 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ ⇒ λH −α = 164nm n ⎠ ⎝2 3 ⎠ ⎝nS

1 ⎞ 1 ⎞ 2⎛ 1 7 −1 2⎛ 1 = R HeZ ⎜ 2 − 2 ⎟ = 1.097 ⋅ 10 m ⋅ 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ ⇒ λH − β = 121.5nm λH − β n ⎠ ⎝2 4 ⎠ ⎝ nS 2 n 1 1 = = 91.1nm λH −∞ = S 2 = R HeZ RHe 1.097 ⋅ 107 m−1 1

Problema 9) Considerando el ión B4+: a) ¿Cuál es la energía de ligadura del único electrón? b) Encontrar la longitud de onda del fotón emitido por el ión, cuando el electrón decae desde el primer estado excitado. a) E0He =

E0H μ e4 M me4 = = ≅ E0H 2 2 2 2 m M m M + + ε ε 1 h h 8 0 8 0

52 Z2 = = 340eV 13.6eV n2 12 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛1 1⎞ b) = R BZ 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ = 1.097 ⋅10 7 m −1 ⋅ 5 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ ⇒ λ = 4.86nm λ n ⎠ ⎝1 2 ⎠ ⎝ nS E I = E0

Problema 10) a) Encontrar la energía en eV requerida para ionizar completamente al Ca19+ (con un solo electrón). b) ¿Cómo comparar con la energía de 3,7KeV requerida para excitar la línea K del Ca? c) ¿Por qué la diferencia? a) EI = E 0Z 2 = 13.6eV⋅ 202 = 5.44KeV 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛1 1 ⎞ b) E K = E0Z 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ = 13.6eV ⋅ 202 ⎜ 2 − 2 ⎟ = 4.08KeV n ⎠ ⎝1 2 ⎠ ⎝ nS c) El apantallamiento de la carga nuclear por el otro electrón que queda en la capa K, provoca una carga nuclear efectiva Zef = Z −1 *. 1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 2⎛ 1 E K = E0 (Z − 1) ⎜ 2 − 2 ⎟ = 13.6eV ⋅ 20 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ = 3.69KeV n ⎠ ⎝1 2 ⎠ ⎝ nS * En general Zef = Z −σ , donde σ es la constante de apantallamiento. Problema 11) Una mezcla de H ordinario y tritio (el tritio es un isótopo que tiene un núcleo con una masa aproximadamente 3 veces mayor que la del H ordinario) se excita y se observa el espectro. ¿Qué separación tendrán las λ de las líneas H-α de los 2 tipos de H? 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 − Δλ = ⎜ ⎜ 2 − 2⎟ ⎟ n2 ⎠ ⎝ RH R3 H ⎠ ⎝ n1

−1

1 ⎛⎛ me ⎞ ⎛ m ⎞ ⎞⎛ 1 1 ⎞ = −⎜ 1 + e ⎟ ⎟ ⎜ 2 − 2 ⎟ ⎜⎜ ⎜ 1 + ⎟ 3m p ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2 3 ⎠ R∞ ⎝ ⎝ m p ⎠ ⎝

−1

=

24 1 me = 0.238nm 5 R∞ m p...