15. Colision bidimensional con Datos PDF

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teoria y datos del experimento y los calculos realizados...

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PRÁCTICA 15: Colisiones

109

15.1 OBJETIVOS General: ✓ Estudio del choque de dos partículas. ✓ Aplicación de la conservación de cantidad de movimiento y energía. Específico: ✓ Verificar la conservación de la cantidad de movimiento lineal en el choque bidimensional de dos partículas. ✓ Determinar si se conserva o no la energía cinética durante el choque. ✓ Determinar el coeficiente de restitución del choque.

15.2 FUNDAMENTO TEÓRICO 15.2.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

 p

La cantidad de movimiento de una partícula es una magnitud vectorial que resulta del producto de la masa por su velocidad.

  P = mv

m

(15.1)



Figura 15.1

La dirección y sentido de P coinciden con los de la velocidad, figura 15.1. Para un sistema de partículas, figura 15.2, la cantidad de movimiento total, es igual a la suma vectorial de las cantidades de movimiento de las partículas.

     P = p1 + p 2 + p 3 +  + p n =

n



p i

v1 m 3 vn m1

(15.2)

i=1

v2 m2

mn v3

Figura 15.2 15.2.2 CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO De la segunda ley de Newton:

   v Fext = ma = m t

(15.3)

 v

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La fuerza que causa la aceleración de velocidad) de una partícula o un sistema   (cambio  debe ser externo a él. Con v = v f − v i , la anterior ecuación resulta:

      mv f − mv i Pf − Pi P Fext = = = t t t

(15.4)

Según esta ecuación, existe variación de cantidad de movimiento siempre y cuando exista



una fuerza externa actuando sobre el sistema. Entonces, si F ext = 0 , la cantidad de movimiento permanecerá constante:

 P =0 t

 P = 0   Pf − P i = 0   Pi = Pf

⎯ ⎯→

(15.5)

15.2.3 COLISIONES O CHOQUES Una colisión es la interacción de dos partículas en un tiempo extremadamente corto durante el cual actúan fuerzas impulsivas de gran magnitud. Desafortunadamente es muy difícil medir estas fuerzas impulsivas, de modo que usualmente sólo se observan y se miden los cambios de velocidad de las partículas. 15.2.4 LINEA DE IMPACTO Es la línea que une los centros de masa de las partículas durante el choque, figura 15.3.

Línea de impacto

v1

v2 v1

Choque frontal

Figura 15.3

v2

Choque oblicuo

15.2.5 COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN Es un número adimensional que señala el tipo de choque, y está dado por:

e=

Velocidad relativa de alejamiento velocidadrelativa de acercamiento

(15.6)

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111

Por ejemplo, para el choque unidimensional de la figura 15.4 el coeficiente de restitución resulta:

v1

v2

m1

m2

v1' F1/2

F2/1

Antes del choque

Durante el choque

v2'

m1

m2

Después del choque

Figura 15.4

e=

v 2’ − v1’ v ’ − v1’ = 2 v 1 − (− v 2 ) v 1 + v 2

Si el choque es bidimensional, el coeficiente de restitución debe calcularse en la línea de impacto. 15.2.6 CHOQUE INELASTICO

m1

De acuerdo al valor de e y la conservación o no de la cantidad de movimiento y energía cinética se tienen distintos tipos de choque: elásticos, inelásticos y plásticos.

m2

En esta práctica se estudiará el choque inelástico y bidimensional de dos esferas metálicas. Para ello, dispondremos de una esfera incidente (m1) en la parte superior de la rampa de lanzamiento y de la esfera blanco (m2) en el tornillo de la plaqueta móvil como se muestra en la figura 15.5. Figura 15.5 La figura 15.6 muestra una vista superior del proceso

y

v1’

v1y’

v1x’ v1

m1

2

v2 = 0

m2 Antes del choque

1

Durante el choque Figura 15.6

x v2

Después del choque

v2y’

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112

¿Se conserva la cantidad de movimiento lineal? Aplicando el principio de la conservación de la cantidad de movimiento tenemos:

  Pi = P f ' m 1 v 1 = ( m 1 v 1 x + m 2 v 2' x )

Eje x: Eje y:

0=

( m 1 v 1' y

−

m 2 v 2' y

(15.7) (15.8)

)

Cálculo de v1

m1 Realizamos lanzamientos sucesivos solamente de la esfera incidente, m1 , como se muestra en la figura h 15.7. Eje x: S = v 1 t Eje y: H =

1 2



gt 2

v1 =

S t

(15.9)

2H g

 t=

v1

H

(15.10)

Sustituyendo (15.10) en (15.9)

S

g v1 = S 2H

(15.11) Figura 15.7

La ecuación (15.11) muestra que la velocidad v1 con que la esfera (1) impacta a la (2) se calcula midiendo el alcance horizontal S y la altura total de caída H. Cálculo de

v1x ' ; v1y ' ;

v 2x ' ; v 2y '

Las figuras 15.8(a) y 15.8(b) muestran las trayectorias y alcances de las esferas después del impacto. Entonces, de manera semejante al anterior caso, las componentes de las velocidades inmediatamente después del choque serán:

v1x ’ = S1x

g 2H

(15.12)

v 2 x ’ = S 2x

v1y ’ = S1y

g 2H

(15.13)

v 2 y ’ = S 2y

Donde: S1x ; S1y ; S2x

g 2H g 2H

(15.14) (15.15)

; S2y son los promedios de varios impactos.

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113

y

m1

v 1’

S1y

S1

H

1

y m1

S1

S2x 2

1

S2

2

S1x

x S2

x

v2 ’

S2y

m2

m2

(b)

(a) Figura 15.8 ¿Se conserva la Energía Cinética?

Si el choque es elástico, la energía cinética se conserva, entonces debe verificarse que: 1 2

Donde:

m1 v1 2 =

1 2

m1 v1 ' 2 +

1 2

m2 v2 ' 2

(15.16)

v1 ' = v1x ' 2 + v1y ' 2

(15.17)

v2x ' 2 + v2y ' 2

(15.18)

v2 ' =

Si el choque es inelástico, la ecuación de balance de energía cinética resulta: 1 2

2

m1 v1 =

1 2

m1 v1 '

2

+

1 2

m2 v2 '

2

+ k

(15.19)

Donde: k es la energía cinética transformada en otras formas de energía como calor, luz, sonido, etc. Determinación de e Proyectando las velocidades v1 , v1' y v2' sobre la línea de impacto, la ecuación para el cálculo del coeficiente de restitución para el choque bidimensional resulta:

e=

v2 ' − v1 ' cos(1 +  2 ) v1 cos 2

(15.20)

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114 15.3 MATERIALES    

Rampa de lanzamiento Prensa 2 esferas metálicas de distinto tamaño Regla de 1 m

   

Plomada Balanza Cinta adhesiva Pliego de papel y carbónico

15.4 PROCEDIMIENTO 1. Mediante la prensa, fije la rampa de lanzamiento al borde de la mesa. 2. Con la cinta adhesiva, fije en el piso el pliego de papel sábana, y sobre éste, coloque el papel carbónico. 3. Con la ayuda de la plomada, proyecte el borde de la rampa sobre el piso, determinando de esta manera el origen "O" del " x ". 4. Realice al menos 5 lanzamientos de la esfera incidente, m1 , (sin la esfera blanco, m2). 5. Con la huella de los impactos y el origen "O", trace el eje "x". Perpendicular a éste, trace el eje "y". 6. Mida la altura total de caída H y los alcances S para la esfera m1 . 7. Fije la plaqueta móvil de modo de producir un choque bidimensional (figuras 15.5 y 15.6). Luego gradúe la altura de la esfera m2 en el tornillo de la plaqueta de tal manera de lograr que los centros de masa estén al mismo nivel durante la colisión. 8. Ensaye el choque de las esferas cuidando que sus huellas no queden fuera del pliego de papel. 9. Realice al menos 5 impactos de m1 sobre m2 . A continuación mida las componentes S1x ; S1y ; S2x ; S2y de ambas esferas (véase figura 15.8). 10. Determine la masa de las esferas.

15.5 CÁLCULOS Y GRÁFICOS 1. Con la ecuación (15.11) y los valores promedios de S y H, calcule la velocidad v1 de la esfera (1) antes del choque. 2. Propagando la ecuación (15.11), calcule el error de la velocidad v1 , y exprese v1 en la forma: v 1 = v 1  E v 1 . Para el cálculo de errores, considere un nivel de confianza del 95%. 3. Con las ecuaciones (15.12), (15.13), (15.14) y (15.15) calcule las velocidades componentes de ambas esferas inmediatamente después del choque. 4. Con las ecuaciones (15.17) y (15.18) calcule las velocidades totales de ambas esferas.





5. Mediante las ecuaciones (15.7) y (15.8) verifique si se cumple P i = P f en cada





eje, ¿En qué porcentaje difieren P i y P f en cada eje?, ¿Por qué?. 6. Con la ecuación (15.19) verifique si se conserva o no la conserva la Energía Cinética, ¿Qué porcentaje de energía se ha disipado al ambiente?

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7. ¿Se conserva la Energía Mecánica?, ¿Se conserva la Energía Total?, efectúe los cálculos necesarios para contestar estas interrogantes. 8. Con la ecuación (15.20) calcule el coeficiente de restitución y determine el tipo de choque.

15.6 CUESTIONARIO 1. En el fundamento teórico se afirmó que se conserva la cantidad de movimiento siempre y cuando no actúen fuerzas externas sobre el sistema, entonces, cómo justifica Ud. la aplicación de la ecuación (15.5) en este experimento si durante el choque están actuando fuerzas externas como el rozamiento y la fuerza gravitacional? 2. Mencione ejemplos concretos en los cuales no se conserva la cantidad de movimiento. 3. ¿En qué casos el coeficiente de restitución puede adoptar valores mayores a uno? 4. ¿En general, de que factores depende el valor del coeficiente de restitución? 5. ¿Por qué las fuerzas internas de un sistema no pueden producir un cambio de velocidad de dicho sistema? 6. ¿Podría Ud. exponer otra manera (aparte del despeje de la ecuación (15.19)) de calcular la energía mecánica transformada en otras formas de energía? 7. ¿Si la velocidad de una partícula de masa m se duplica, su energía cinética también se duplica?, ¿se triplica?, ¿Por qué? 8. Un cuerpo de 2 kg de masa choca elásticamente contra otro cuerpo en reposo y, después de ello, continúa moviéndose en su dirección original pero con un cuarto de su rapidez inicial: a) ¿Cuál fue la masa del cuerpo con el que chocó? 9. Se cree que el Meteoro Cráter en Arizona se formó por el impacto de un meteorito con la Tierra hace unos 20 000 años. La masa del meteorito se calcula que fue de 5 x 1010 kg, y su rapidez en 7,2 km/s. ¿Qué rapidez impartiría a la tierra tal meteorito en una colisión frontal? 10. Escriba la ecuación propagada de la ecuación (15.20).

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116 15.7 TABLAS DE DATOS

Estudiante......................................................

Carrera.............................................

Fecha ............................................................

VOBO Cat./Ayd................................

Masa de la esfera incidente: Masa de la esfera blanco: Altura de caída:

m1 = (65,8 g ± 0,1) g m2 = (65,8 g ± 0,1) g H = (24,9 cm ± 0,1) cm

Lanzamientos de la esfera m1 (sin esfera m2) n S (cm)

1 54,9

2 55,2

3 55,4

4 55,2

5 55,4

Promedio

Colisión de m1 y m2 n 1

S1x (cm) 26,8

S1y (cm) 26,3

S2x (cm) 29,7

S2y (cm) 27,4

2

26,7

26,4

29,8

27,6

3

26,8

26,6

29,9

27,7

4

27,0

26,3

30,0

27,5

5

27,1

26,4

30,1

27.6

Promedio CÁLCULOS Y RESULTADOS •

Ángulos promedios:

θ1 =

θ2 =

•

Velocidades totales:

v1 ’ = v1x ’ 2 + v1y ’ 2 =

v 2 ’ = v 2x ’ •

Coeficiente de restitución:

e=

2

+ v 2y ’ 2 =

v 2 ' − v 1' cos ( 1 +  2 ) = v1 cos  2...