2 exp log 2 final 1 - Ejercicios de logaritmos PDF

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Ejercicios de logaritmos...

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Algebra

Ejercicios Logaritmos (2) Propiedades, Ecuaciones

I. Previo: 1) ¿Qué significa la expresión loga ( M ) ? Es el exponente al cual se debe elevar a para obtener M . Se lee logaritmo de M en la base a . loga ( M ) = x si y solo si a x = M , es decir: aloga M = M

2) ¿Qué significa la expresión log(C ) ? Es el exponente al cual se debe elevar 10 para obtener C. Se lee logaritmo de C en la base 10.

log(C ) = y si y solo si 10 y = C , es decir: 10logC = C 3) ¿Para qué valores de C existe loga ( C) ? (en particular log(C) ? ) loga ( C) está definida para C > 0, es decir, solamente para números reales positivos. II. Propiedades de los logaritmos 1) Logaritmo de un producto:

log a ( M⋅ C)= log a( M )+ log a( C)

Ejemplos: calcule cada lado por separado, y compare: a) log 2 (8⋅ 4) = log 2 32 = log 2 8 + log 2 4 =

log17 + log 4 =

b) log(17 ⋅ 4) = log 68 = 2) Logaritmo de un cuociente:

(use calculadora)

⎛M⎞ loga ⎜ ⎟ = loga ( M )− loga ( C) ⎝C⎠

Ejemplos: calcule cada lado por separado, y compare: 32 a) log 2 ⎛⎜ ⎞⎟ = log 2 32 − log2 4 = ⎝ 4⎠ ⎛ 17 ⎞ b) log ⎜ ⎟ = ⎝ 4⎠

log17 − log 4 =

(use calculadora)

3) Logaritmo de una potencia: loga ( Mt )= t log a ( M ) Ejemplos: 5 log 2 2 = a) log2 ( 25 ) = log 2 32 = b) log(3 5) = c) Calcule

5 log 3 = log2(8) =

4) Logaritmos de números particulares loga (a ) = 1 Ejemplos: a) log 5 (5 ) = b) log10 = e) log5 (512 ) =

f) log(107 ) =

log 2 (89 ) =

loga 1 = 0 c) log 5 1 =

d) log1 =

g) log 3 3 =

⎛ 1⎞ h)log2 ⎜ 5 ⎟ = ⎝2 ⎠

1

5) Cambio de base loga ( M ) =

logb ( M ) log b( a)

log a ( M ) =

log(M ) log( a)

Nota: Para calcular el logaritmo de un número en la base a , en general, se hace cambio de base. Usualmente de utiliza como nueva base la base 10. (También se puede usar la base e ).

Ejemplos: Use cambio de base para calcular cada logaritmo (nueva base: 10). b) log 5 137 = a) log 2( 32) = III. Ecuaciones 1) Ecuaciones de la forma log a ( M) = C donde C es una constante (número real). En general, para resolver ecuaciones de esta forma, se aplica la definición de logaritmo. Ejemplo. Resolver la ecuación log 3 (2x − 5)= 2 Solución. log 3 (2 x − 5) = 2 32 = 2 x − 5 Luego x = 7. Se deja como ejercicio, comprobar que x = 7 es solución de la ecuación original. 2) Ecuaciones de la forma log a ( M )= log a ( C) En general, para resolver ecuaciones de esta forma, se aplica la propiedad: loga (M ) = loga (C ) = => M = C

Ejemplo. Resolver la ecuación

log 5 (2x − 23)= log 5(x + 51)

Solución. log 5 (2x − 23)= log 5(x + 51) ==> 2x − 23 = x + 51, de donde x = 74 log 5 (74+ 51)= log 5(125) = 3 Comprobación: log 5 (2⋅ 74− 23)= log 5(125) = 3 3) Otras ecuaciones que contienen logaritmo, requieren del uso de propiedades de los logaritmos. 4) Ecuaciones exponenciales simples. En general, se resuelven aplicando logaritmo (en la misma base) a ambos lados. Ejemplos. a) Resolver la ecuación 3x = 17 Solución. 3x = 17 log(3x ) = log(17) Aplicando log en base 10 a ambos lados x log(3) = log(17) Propiedad logaritmo de una potencia log(17) 1,230 x= = ≈ 2,579 Usando la calculadora log(3) 0,477 b) Resolver la ecuación 5 x+ 3 = 4 x Solución. 5 x+ 3 = 4 x log(5+x 3 ) = log(4 x ) Aplicando log en base 10 a ambos lados Propiedades ( x+ 3) log(5)= x log(4) Use calculadora para calcular log(5) , log(4) y luego despejex . 2

IV. Ejercicios 1) Dados log 2 = 0,30 ; log 3 = 0,47 y log 5 = 0,69 , calcule usando propiedades: a) log 15 b) log 16 d) log 12 c) log 5 2 e) log⎛⎜ ⎞⎟ ⎝5⎠

i)

( )

log 2 3

15 f) log⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠ j)

log(415 )

g) log(3 −5 )

h) log 30

⎛ 6⎞ ⎟ k) log⎜⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠

l)

log 6 log 8

log 45 = 1,653 calcule:

2) Dado

a) log 450 3) Calcule:

b) log(450000 )

c) log(0,45)

d) log(0,0045 )

9 loga a − loga a 5 + loga a −3

4) Escriba cada expresión usando logaritmos simples (expandir).

a) loga ( R ⋅ S )

d) log4 C 3

⎛ C⎞ e) log b ⎜ 2 ⎟ ⎝D ⎠

C c) log2 ⎛⎜ ⎟⎞ ⎝P⎠ ⎛ P⋅ R⎞ f) log⎜ ⎟ ⎝ M ⎠

g) log(10 R 2 )

h) log(7 R ⋅ S )

i)

b) log a ( x 4 )

1

log C

5) Reduzca cada expresión a un solo logaritmo.

a) c) e) g)

log 7 + log 2 log x + log 34 log 2 M − log 2 C + log 2 3 3 log 7 − 2 log y

i)

log 5 + 2 log x + log 3

b) log 15 − log 3 d) log2 C − log2 D f) 3 loga x+ 2 loga y 1 h) 7 log x − log y 2 j) 2 loga C + 3 loga P + 1

6) Calcule lo que señala, dados ciertos logaritmos. a) Dados loga ( B) = 30,14 , loga (B ⋅ D ) = −2,15 , calcular log a D

P b) Dados loga ( B) = 30,14 , log a ⎛⎜ ⎞⎟ = 1,03 , calcular loga P 2 ⎝ B⎠

7) Resuelva cada ecuación, y compruebe: a) log 3 27 = x b) log 3 x = 4

1 2 g) log x = 4

d)

j)

log 5 x =

log 3 x = 2

e)

log 4 y = − 2

c)

logx 15 = −1

f) log 0,1 100 = x

h) log 2 x = 0

i)

log 0,02 x = −1

k) log 4 ( y + 3) = 2

l)

log(3 y − 1) = 2 3

m) log 2 ( x − 2) = −5 p)

⎛ x +1 ⎞ log⎜ ⎟ =3 ⎝ 2 ⎠

⎛ 3− x ⎞ 1 ⎟= ⎝ 7 ⎠

n) log 4 ⎜

o)

log 6 (2 x − 5) = 0

q) x − 3 = 4 log4 (30 )

r)

log1 (5( x − 1)) = 3 2

8) Determine el valor de x en cada ecuación, y compruebe: b) log 3(3 x − 1) = log 3 7 a) log 3 x = log 3 7 c)

log 3 (2 x) = log 3( x + 5)

e)

log(3) = log( x + 1)

g)

log 2 (2x ) − log 2(7 x − 15) = 0 log(x )+ log(10) = log( x − 2)

i)

9) Resuelva cada ecuación: x a) 2 = 5 +

d) 3x + 5 = 100

d)

log 3(x − 2)= 2 log 3 5

2x+ 7 ⎛ x⎞ log ⎜ ⎟ = log 4 ⎝3 ⎠ h) log 3 (2x ) = log 3(x − 5) j) log 2 (x − 3) − log 2 6 = log 2(2x +1) f)

b) 10x = 25 e)

2 2 x− 1 = 3x

10) Determine el valor de x en cada ecuación, y compruebe: a) log 3 x = − log 3 7 b) log 3 (2x − 1) = − log 3 7 d)

log 3 (x − 1) = −2 log 3 2

e)

log(3) = − log(x + 1)

7 x = 0,5 f) 3x + 5 = 1

c)

c)

log3 x = − log3 x

f)

⎛ log⎜ ⎝

x⎞ 2 ⎟ = − log 2x −5 3⎠

11) Determine el valor de x en cada ecuación, y compruebe:

⎛ x − 3⎞ ⎟ = log(2x + 1) ⎝ 5 ⎠ log(x ) d) =2 log(5)

a) log⎜

b)

2 log x = log(x + 6)

c)

1+ log x = log(2 x + 4)

e)

log(5 − x) = −1 log(2)

f)

log3 (7 x − 3) =1 log 3 ( x)

4...