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Begoña Blasco LaffónMecánica FísicaFuerzasEjercicios resueltos1. Una fuerza F de módulo 200N, actúa según la diagonal BC,como se muestra en la figura. Determinar el momento de lafuerza respecto al punto A.solución2. Dado un vector MN 0,3,2 con su extremo en el punto N 5,4,3 , un vector PQ 4,2,...

Description

Begoña Blasco Laffón

Mecánica Física Fuerzas

Ejercicios resueltos

Mecánica Física. Ejercicios resueltos

1.

Fuerzas

Una fuerza F de módulo 200N, actúa según la diagonal BC, como se muestra en la figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al punto A. solución1

B 15 cm F

O

A

12 cm 9 cm C

2.

Dado un vector MN 2,3,0 con su extremo en el punto N 3,4,5  , un vector PQ 1,2,4 con su extremo en Q 1,6,6  y un punto R 1,2,0 , calcular el ángulo que forman entre sí los vectores momentos de MN y PQ con respecto al punto R. solución2

3.

Dado el vector V 3,5,2 , aplicado en el punto A (3, 3, 4), hallar el momento respecto de un eje con la dirección del vector e 1,1,1 , y que pasa por el origen de coordenadas. solución3

4.

Un vector deslizante tiene sus componentes iguales a 2. Su recta de acción corta a la recta intersección de los planos y = 4 y z = 3. Hallar dicho punto de intersección con la condición de que el momento de dicho vector con relación al eje OZ sea igual a 8. Hallar los momentos de dicho vector respecto a los ejes OX y OY. solución4

5.

Trasladar la fuerza F1,2,5  A3,1,2 al punto P 2,1,1 . solución5

6.

Reducir el sistema de vectores deslizantes formado por las fuerzas F1 , F2 y F3 al origen de coordenadas y al punto A. Los módulos de las fuerzas valen 1kp, 7kp y 5kp, respectivamente. solución6

Z A C

B

F1

4m Y D

X

F2

5m

3m

F3

7.

Siendo A 1  ,1, z A , B 1,0,1 ,C x ' , y ' , z ' y D 6,2,3 , se da el sistema de vectores deslizantes formado por los vectores AC y BD tal que el vector AC tiene de componentes (2,3,4). El invariante del sistema vale R  M  6 . Calcular las coordenadas del punto C y el momento del sistema respecto al punto P(-10,10,-10). solución7

8.

Un sistema de vectores está formado por el momento P 1,2,4  y dos vectores deslizantes V1 2,3, 1  A1,1,1 y V2 4,5, 2  B 2,2,2 . Se pide: a) Reducir el sistema al origen de coordenadas. b) Ecuación del eje central. c) Coordenadas del punto de intersección del eje central con el plano XOZ. solución8

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9.

Fuerzas

Calcular el momento mínimo del sistema de vectores propuesto en el ejemplo 8. solución9

10. Dados los vectores A (1, y, z ) y B (x,4,1) que parten del punto C(1,-4,2), hallar dichos vectores teniendo en cuenta que el vector 2 A  B pasa por el extremo de B y tiene un momento respecto al origen que vale M  6i  11 j  4k . solución10 11. Dadas las fuerzas F 2,3    5,6 , G  3,1    9,0 , H 6,6 1,7 y K 4,2   8,3 , se pide hallar dos fuerzas horizontales, que pasando por los puntos A(-9,6) y B(-9,-7) y equilibren el sistema formado por las cuatro fuerzas. solución11 12. Sea un vector deslizante de componentes (1,2,3). El momento de dicho vector deslizante respecto al eje OX vale 4 y respecto al eje OY vale 5. Hallar el punto en que dicho vector deslizante corta al plano XOY. solución12 13. Sea el sistema formado por las fuerzas F1 , F2 , F3 , F4 , de módulos 10, 10, 15 y 5 kp respectivamente, y el momento M  20k . Las fuerzas están situadas según indica la figura, siendo los puntos A(1,1), B(3,1) y C(2,0). Se pide: a) Reducir el sistema al punto D(3,0). b) Momento mínimo solución13

Y F4

A

F1

B

F3 O

C

F2

D

X

14. Dado un momento M 2,3,4  y un vector deslizante A0,0,7  que pasa por el punto (-2,1,5), hallar las componentes de un vector momento M ' situado en un plano horizontal, tal que el eje central de los tres sea el eje OZ. solución14

15. Una placa de 10 x 20 metros soporta las cuatro fuerzas F1 , F2 , F3 , F4 , que se indican en la figura. Hallar el momento mínimo del sistema y un punto de paso del eje central. Los módulos de las fuerzas son 1, 2, 2 y 3 toneladas respectivamente. solución15

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Z

F4 F2 Y D 10m

B

A X

F3

O

F1

C 20m

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Fuerzas

16. Las fuerzas F1 , F2 y el momento M , de módulos F1 = 2kp, F2 = 5kp y M = 3 kpm, representan un sistema de fuerzas en el plano cuyas direcciones y sentidos se indican en la figura. a) Hallar un sistema equivalente al dado, formado por una fuerza y un momento en el punto A. b) Dibujar un esquema con el resultado obtenido. solución16

1m

A

1m

F2

M 45º F1

        17. Sea el sistema de fuerzas formado por F1  3i  j  2k aplicada en el origen, F2  i  3 j  k     aplicada en el punto (1,-2,3), F3  i  2 j  2k aplicada en el punto (3,5,6) y el momento    T  4 i  4 j  5k . Calcular: a) Momento del sistema respecto al punto (1,3,-1). b) Su reducción en el origen. c) Momento mínimo. d) Ecuación del eje central. e) Punto de corte del eje central con el plano YOZ. solución17

18. Dado el sistema formado por: un par: M  i  k , y los vectores deslizantes: F1  10k , F2  10 j ,

F3  10i , cuyos puntos de paso son A(1,0,0), B(0,2,0) y C(0,0,3), respectivamente, calcular su momento mínimo. solución18 Y

19. Dados tres vectores deslizantes

V1 , V2 , V3

y un

momento G , situados como se indica en el dibujo adjunto, reducir este sistema al origen de coordenadas.

V1 V2

V1  2t , V 2  1500 kp , G

V3

V 3  2000 kp , G  9800 Nm

X

solución19

O

20. Sobre un cubo de lado a, actúan las fuerzas F (dirección de la diagonal AC) y V, según se indica en la figura. Se pide: a) Reducir el sistema al origen O. b) Momento mínimo. c) Momento respecto a la diagonal OB. Datos: a = 10 cm; F = 5kp; V = 3 kp solución20

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Z A

C F B

Y

O X

a

V

4

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Fuerzas Z

21. Dados los vectores V1 (en la diagonal AB), V2 (en la diagonal BC) y V3 (en la diagonal OD), de módulos 20, 30 y 40 kp respectivamente, según se indica en la figura adjunta, hallar el sistema equivalente en el origen. solución21

5m

A

D

V3 2m V1 O

Y

C

V2

3m

B

X

22. En un sistema plano de coordenadas, se da un sistema formado por un vector deslizante F 2,6 con su origen en P(1,-3) y un momento M  10k . Se pide obtener un sistema equivalente formado por un vector horizontal con origen en el punto A(-3,-6), otra fuerza vertical que tenga su origen en el punto B(6,-2) y un momento G . Hallar el momento G . solución22 23. Dado el sistema de vectores deslizantes formado por los vectores AB 1,7,4  aplicado en A(1,1,1),

CD2,3,3 aplicado en D(1,3,0) y el momento E0,1,2 , se pide: a) Reducir el sistema al origen de coordenadas. b) Ángulo que forma con el eje OY el momento del vector AB respecto al origen. solución23

24. Una placa de 10x20 metros soporta las cuatro fuerzas que se indican en la figura. Hallar el eje central de las cuatro fuerzas y su momento mínimo. solución24

Z 3t 2t

X

1t

Y

1t

25. Sobre una placa rectangular horizontal actúan tres fuerzas verticales: f 1   k , f 2  2k ,

f3  3k , en los puntos A(3,0,0), B(0,0,0) y C(0,4,0), respectivamente. a) ¿En qué punto habrá que poner una carga de  10k para que el sistema en el origen se reduzca a la resultante? b) ¿Cuánto valdrá el momento del sistema formado por las cuatro fuerzas en el punto P(1,1,1)? Unidades: Fuerzas (kN) y distancias (m). solución25

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Fuerzas

26. Un sistema de fuerzas está formado por las fuerzas F1 1,2,1 A 3,4, 1 , F2 0,2,3  B 1,4,0  y el momento H  4,2,1 . Se pide: a) Sistema reducido en el punto T   2,1,5 b) Momento mínimo del sistema. c) Momento respecto del eje OX. solución26

27. Un vector F de módulo 20 tiene la dirección de la recta que une los puntos A(0, 1, 2) y B(0, 7, 10) y sentido de A a B. Calcular el momento de dicho vector con respecto al eje que pasa por los puntos C(2, 0, 0) y D(0, 3, 0). solución27 28. Sobre la columna de la figura, de 200kp de peso y 40 cm de ancho, actúa el sistema de vectores deslizantes representado. Se pide: a) Expresión vectorial de cada una de las fuerzas y momentos actuantes. b) Reducir el sistema al punto A.

9800N 5000kpm

3t

3,2m 2000kp

solución28

2m

A

29. Las fuerzas F1, F2 y F3, de módulos 10, 12 y 8 N respectivamente y cuyas direcciones se muestran en la figura, forman junto con la fuerza F4 un sistema de vectores deslizantes. Se pide calcular: a) el módulo de la fuerza F4 para que dicho sistema pueda reducirse a una fuerza resultante única. b) el punto en el que dicha fuerza resultante corta al plano XOY. solución29

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B

7m F4 5m

F3 F1 3m F2

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Fuerzas

Ejercicios resueltos: Solución 1:

M A F  AB  F B

9  31º , 15 F FX , FY , FZ   F cos , 0,  Fsen   171,43; 0; 103,01 N

  arctg

A0,12,0 , B0,0,9, C15,0,0 ;

M A F  AB  F 

15 cm α 9 cm C

AB (0,12,9) cm

i 0

j  12

k 9

171, 43

0

103,01

A F O 12 cm

  1236,12 i  1542,87 j  2057,16 k

M A F    1236,12 ; 1542,87;  2057,16 N cm Otra forma de calcular el vector F : F F X , FY , FZ   F u BC 

200

BC 

BC

200 2 2 15  9

15,0, 9  171,48; 0; 102,90 N

volver1

Solución 2: N

Momento del primer vector respecto al punto R: M

M R MN  RM  MN  RN  MN ,

P

Q

O

con RN  3,4,5  1,2,0  2,2,5 i j k M R MN  2 2 5   15 i  10 j  2 k

R Esquema general

2 3 0

Momento del segundo vector respecto al punto R: M R PQ  RP  PQ  RQ  PQ , con RQ  1,6,6  1,2,0   0,4,6 

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i

Fuerzas

j k

M R PQ  0 4 6  4 i  6 j  4 k 1 2 4

Para obtener el ángulo que forman los vectores momentos, calculamos su producto escalar:

M R MN  M R PQ  M R MN  M R PQ  cos  

  arccos  

 15;10;2   4;6;4  152  10 2  2 2

4 2  6 2   4 2

   arccos   60  60  8   93,06º  18,14  8,25     

volver2

Solución 3:





M eje  proyección de M pto del eje sobre el eje  M pto del eje V  ueje

i j k 1 e 1,1,1 ; y M OV  OA  V  3 3 4   14,6,6  u eje   e 3 3 5 2 M eje  M O V  ueje 

1 3

 14  6  6  

26 3

volver3

Solución 4: Según los datos, un punto de paso del vector deslizante F  2,2,2 tiene que ser A(x,4,3), siendo x una distancia a determinar. Los momentos del vector con relación a los ejes coordenados coinciden con las proyecciones en esos ejes del momento respecto al origen de coordenadas. i

j k

M O F  x 4 3  2i   6  2x  j   2x  8k

 M O F L , M ,8

2 2 2

Por los datos iniciales del ejercicio:

2 x  8  momento con relación al eje OZ   8  x  8

Al sustituir en la componente en el eje OY: 6  2x   M  M  10 ; por tanto se obtiene:

M O F 2,10,8

volver4 Begoña Blasco Laffón

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Fuerzas

Solución 5: Trasladar la fuerza F aplicada en A, a otro punto, es calcular el efecto que la fuerza (supuesta ejercida sobre un cuerpo) está ejerciendo en el punto P, en general, de desplazamiento y giro. El efecto de F en el punto A, es el mismo que el que produce en P la misma fuerza más un momento de valor: F A

i

j

k

M p F  PA  F  1 0 1   2 i  4 j  2 k P

O

1 2 5

M PF A

Es decir en el punto P se tiene: F1,2,5 y M P F  2, 4,2 O

P

F

volver5

Solución 6: a) reducción del sistema al punto O: Z

F1  0,0, 1  B 3,0,4

A C

B

F1

F2  0,7,0  C  3,5,4

4m Y 5m

F3  5,0,0  D  3,5,0

3m

D X

F2

F3

Resultante general del sistema: R  5,7,1

Momento resultante respecto al origen de coordenadas: M O  M O F1  M O F2  M O F3 ,

M O  OB  F1  OC  F2  OD  F3

i j MO  3 0

k i j k i j k 4  3 5 4  3 5 0   28 i  3 j  4 k 0 0 1 0 7 0 5 0 0

El sistema en el punto O, se reduce a:

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R  5,7,1 y M O   28,3,4

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b) Reducción del sistema al punto A(0,0,4): La resultante general es la misma R  5,7,1 Sin embargo, el momento cambia: M A  M A F1  M A F2  M A F3

i j k i j k i j k M A  3 0 0  3 5 0  3 5  4   17 j  4 k 0 0 1 0 7 0 5 0 0

M A  AB  F1  AC  F2  AD  F3 ,

R 5,7,1 y M A 0,17, 4

Sistema reducido en el punto A: Otra manera de calcular M A :

i j k M A   28,3,4  0 0  4   28,3, 4   28, 20,0   0, 17, 4 

M A  M O  AO  R ,

5 7

4

volver6

Solución 7: Puesto que las componentes del vector AC se dan como dato, se establecen tres primeras relaciones entre las incógnitas: AC  2,3,4  AC  C  x ' , y ' , z '  A 1,1, z A   AC  x'1, y'1, z' z A 

x '1  2  x '  3 y'1  3  y'  4

El punto C tiene por componentes: C 3,4,4  z A 

;

z' z A  4  z'  4  z A

Para obtener el valor de z A , se utiliza el dato del invariante del sistema. BD  D 6,2,3  B 1,0,1  BD 5,2,2 

El vector BD también es un dato:

Se reduce el sistema al origen de coordenadas: R  AC  BD  R 7,5,6

i

j

k

i

j

k

M O  M O AC  M O BD  1 1 z A  1 0 1  2  3z A i  2z A  1 j  3k 2 3

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Fuerzas

Se utiliza, ahora, el valor del invariante escalar:

RM  6

De la relación anterior se despeja el valor de z A :

zA 

Las coordenadas del punto C serán:

72  3z A   5 2 z A  1  6  3  6

21 11

C 3; 4; 5,91  M P  M O  PO  R

Por último, el momento del sistema respecto al punto P :

i j k 31  44 MP  i j  3 k  10 10 10  106,3 i  7,18 j  117 k 11 11 7 5 6 volver7

Solución 8: a) Reducción del sistema al origen de coordenadas: R  V1  V2  R 6,8, 3 

V1 P

V2

A B

M O  P  M OV1  M OV2

O

i

j

k

i

j

k

M O  1,2,4  1 1 1  2 2 2  17i  17 j  7 k 2 3 1 4 5 2

b) Ecuación del eje central: R  6,8, 3   X , Y , Z  ; M O  17,17,7   L, M , N 

17  y   3  z8 17  z6  x  3 7  x8  y6   6 8 3 c) El punto donde el eje central corta al plano XOZ, será tal que y=0, es decir, un punto P(x,0,z) Al sustituir y  0 en la ecuación del eje central, se obtiene:

8   17  8 z   6  17  6 z  3x   3   17  8 z  6  7  8 x

punto P 3,8; 0;  7,31 volver8

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Fuerzas

Solución 9: Conocidos la resultante general y el momento resultante en un punto (por ejemplo el origen de coordenadas), R 6,8,3 y M O  17,17,7  , el momento mínimo será:

M mín 

 17,17,7  6,8,3    MR R 2 6,8, 3 0,51 6,8,3  2 R 6  82   32 M mín  3,06 i  4,08 j  1,53 k

volver9

Solución 10: El vector 2 A  B es:

R  2 A  B  (2  x) i  (2 y  4) j  (2z  1) k

Y su punto de paso: T ( 1,4,2)  ( x,4,1)   ((1  x ), 0, 3)) El momento de la fuerza respecto al origen será: i

j

k

M O R  OT  R  1 x 0 3   6 i  11 j  4 k (2 x ) (2y  4) (2z  1)

de donde podemos establecer las relaciones siguientes:

a 

 3  2y  4  6

b 

3 (2  x )  1  x  (2z  1)  11

c 

(2 y  4)  (1  x)  4

De la expresión (a): y  3 ; sustituyendo este valor en (c): x  1 Por último, sustituyendo en (b): z  4 Los vectores A y B son:

A (1 , 3 , 4) B (1 , 4 , 1)

volver10

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Fuerzas

Solución 11: Y

F

Sean R y S las fuerzas equilibrantes. Si R y S son horizontales, son nulas sus componentes verticales, luego los vectores serán:

6

A

K

G

8 -9

R  Xi ,

X

pasa por A ( 9,6) B

S  X 'i ,

H

pasa por B (9,7)

Como la resultante tiene que ser nula, se comprueba que

 x

-7

X  X '2  3  6  4  0 

X  X´ 9

 y  0 , solo nos queda hallar  x  0 .

(1)

Como además para que exista equilibrio el momento debe ser nulo: Mo 

X

9

0

6



X'  9 0



7

2

5

3

6



Al operar (1) y (2): X   4,54 ;

3 9 1

0



6 1 4 8   0, 6 X  7 X '  4 (2)...