301 301 749 Jhon Giraldo Tarea 2 PDF

Preview

Summary

Download 301 301 749 Jhon Giraldo Tarea 2 PDF

Description

TRIGONOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA CÓDIGO: 301301 Tarea - Unidad 2 – Trigonometría.

Presentado al tutor (a): Cristian Alberto Cuellar Villanueva

Entregado por el (la) estudiante: Jhon Neyder Giraldo Torres

Grupo: 301301_749

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA FECHA 21/03/2022 CIUDAD PEREIRA

INTRODUCCIÓN

“La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es ”. Nunca pensé que esta materia iba a ser tan importante en mi vida ya que nos puede servir para calcular distancias sin la necesidad de recorrer los pasos que se necesitan para medir gracias a los triángulos de circunferencia que nos arrojarían una medición digámoslo así exacta, también la utilizaremos mucho para medir alturas, realizar medición de ángulos, y muchas cosas más, espero que con la ayuda de la actividad 2 pueda entender como se hace las mediciones de triángulos, me gusta mucho las matemáticas porque es muy útil para nuestras no solamente es sumar, restar, multiplicar, dividir, son muchas cosas que rodean las matemáticas así como subir las escaleras o cortar una manzana, de tal manera que voy a poner mucho de mi parte para aprender y solucionar los ejercicios según mis investigaciones.

Tabla enlace video explicativo Nombre del estudiante Jhon Neyder Giraldo Torres

Ejercicio sustentado Número Ejercicio 3. Solución de triángulos rectángulos (teorema de Pitágoras y relaciones trigonométricas)

Enlace video Explicativo https://youtu.be/V-iRl3zcauU

Desarrollo de los ejercicios

Ejercicio 1. Transformaciones entre grados sexagesimales y radianes

Un biciclo es un tipo de bicicleta antigua de dos ruedas de las cuales la delantera es al mismo tiempo motriz y directriz y mucho más grande que la rueda trasera. El radio de la rueda grande es 𝑅 = 62 𝑐𝑚 y el radio de la rueda más pequeña es de 𝑟 = 22 𝑐𝑚. Si la rueda grande da un giro completo, ¿Cuál es el ángulo (en grados) que habrá girado la rueda pequeña del biciclo? Nota: las dos ruedas se alinean con la válvula hacia abajo (puntos P y Q) cerca del suelo como se muestra en la imagen.

Desarrollo del ejercicio 1: Transformaciones entre grados sexagesimales y radianes

Calcular la longitud de la circunferencia de la rueda grande 1 vuelta de la rueda grande en radianes es igual a 2 𝝅 𝟐𝝅𝑹 (𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒂 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒖𝒆𝒅𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟑𝟔𝟎° 𝝅 = 𝟏𝟖𝟎° 𝟐𝝅 = 𝟑𝟔𝟎°

Fórmula:

𝟐𝝅𝑹 = 𝒙𝒓

𝑹 = 𝟔𝟐𝒄𝒎

𝒓 = 𝟐𝟐𝒄𝒎 𝒙= = 𝟐𝝅

𝟐𝝅𝒓 𝒓

𝟔𝟐 𝒄𝒎 𝟏𝟐𝟒 = 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝒄𝒎

𝒙 = 𝟓, 𝟔𝟑 𝝅 = 𝟏𝟕, 𝟕𝟎 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔 𝒙 = 𝟓, 𝟔𝟑𝝅 𝒙

𝟏𝟖𝟎 = 𝟏𝟎𝟏𝟑, 𝟒° 𝝅

Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra:

Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del ejercicio 1: Transformaciones entre grados sexagesimales y radianes

El ángulo de la rueda pequeña es de 17.72° Ejercicio 2. Representación de funciones trigonométricas básicas.

Una de las aplicaciones que tiene el osciloscopio está relacionada con la corriente alterna senoidal. Esta corriente es la más importante de las corrientes periódicas, puesto que es la única capaz de llegar a los hogares, pasando a través de resistencias, bobinas y condensadores sin deformarse. La expresión general para representar las señales de corriente alterna senoidal es: Suponga que un osciloscopio registra una señal de voltaje de tipo senoidal 𝒗(𝒕), con voltaje máximo 𝑽𝒑 = 𝟏𝟎2 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒔 , frecuencia angular 𝒘 = 𝟓2 𝒓𝒂𝒅/𝒔 y ángulo de fase inicial ∅ = 𝝅 𝟐 𝒓𝒂𝒅. A. ¿Cuál será el voltaje registrado en el osciloscopio pasados 2 segundos? B. Grafique la función senoidal en GeoGebra y diga cuál sería la amplitud de esa gráfica y halle el periodo de dicha función. Ayuda: (𝑻 = 𝟐𝝅 𝒘 ) Desarrollo del ejercicio 2: Representación de funciones trigonométricas básicas Dada la formula: Reemplazamos:

𝑣(𝑡) = 𝑣𝑝 𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + ∅)

𝑣(𝑡) = 102𝑠𝑒𝑛 (52𝑟𝑎𝑑(𝑡) + Osciloscopio: 𝑣(2) = 102𝑠𝑒𝑛(52(2) + Obtenemos como resultado:

𝜋 𝑟𝑎𝑑) 2

𝜋 𝑟𝑎𝑑 2

𝑣(2) = −96.58 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠

B. Grafique la función senoidal en GeoGebra y diga cuál sería la amplitud de esa gráfica y halle el periodo de dicha función. Ayuda: (𝑻 = 𝟐𝝅 𝒘) La amplitud corresponde a: 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝑉𝑝 = 102 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 102 vendría siendo el voltaje máximo. Formula:

𝑇=

2𝜋 𝑤

Reemplazamos: 𝑇= Resultado final:

2𝜋 52𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝑇 = 0.12 𝑠

Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra:

Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del ejercicio 2: Representación de funciones trigonométricas básicas El voltaje registrado en el osciloscopio pasados 2 segundos es de -96.58 volts

Ejercicio 3: Solución de triángulos rectángulos (teorema de Pitágoras y relaciones trigonométricas)

Se requiere unir dos columnas de madera que servirán como soporte para el techo de un cuarto de herramientas como se observa en la imagen. La distancia “d” que separa las columnas es 2,2 metros (donde el símbolo numeral corresponde al número de estudiante que eligió). El techo debe tener una inclinación α = 12° con respecto a la horizontal. ¿Qué distancia debe existir entre los hoyos de los tornillos de las secciones de madera que una las dos columnas?

h b 12° d

2,2 m

Desarrollo del Ejercicio 3: Solución de triángulos rectángulos (teorema de Pitágoras y relaciones trigonométricas).

Teorema de Pitágoras:

ℎ2 = 𝑏2 + 𝑑 2

𝑑 = 2,2𝑚 𝑎 = 12° ℎ =? Tenemos las siguientes relaciones trigonométricas: 𝑠𝑒𝑛 𝑎 =

𝑐. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

cos 𝑎 =

𝑐. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

tan 𝑎 =

𝑐. 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐. 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Ahora si le damos solución a nuestra formula: tan 𝑎 =

𝑏

𝑑

𝑑 ∗ tan 𝑎 = 𝑏 𝑏 = 𝑑 ∗ tan 𝑎 𝑏 = (2,2𝑚) ∗ tan(12°) 𝑏 = 0,510𝑚 Ya que tenemos los resultados ahora si podemos utilizar el teorema de Pitágoras: ℎ2 = 𝑏 2 + 𝑑 2 ℎ = √𝑏 2 + 𝑑 2 ℎ = √(0,510𝑚)2 + (2,2𝑚)2 ℎ = 2,25𝑚

Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra:

Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 3: Solución de triángulos rectángulos (teorema de Pitágoras y relaciones trigonométricas) Existe una distancia de 2,25m

Ejercicio 4: Solución de triángulos oblicuángulos (Ley del seno)

Desde un globo aerostático se observa la orilla B de un canal de agua con un ángulo de depresión de 40°. El ángulo de ascenso con respecto a la horizontal de un observador es de 70° como se observa en la imagen. Si el globo se encuentra a 32 metros de altura (2 es el número de estudiante que eligió) ¿Cuál es la distancia entre las dos orillas del canal?

h=32m

Desarrollo del Ejercicio 4: Solución de triángulos oblicuángulos (Ley del seno).

C 30° b a 110° 40°

c 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐴 = = 𝑐 𝑎 𝑏 Por razones trigonométricas hallamos el lado b del triángulo rectángulo como se muestra en la gráfica.

20° b

32 m 70°

según la formula:

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =

𝑐. 𝑜 ℎ

𝑠𝑒𝑛 70° =

32𝑚 𝑏

𝑏=

32𝑚 𝑠𝑒𝑛 70°

𝑏 = 34,05𝑚 𝐴 = 180° − 70° = 110° 𝐵 = 40° 𝐶 = 180° − 110° − 40° = 30° 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵 = 𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = 𝑐 𝑏 𝑏 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑐= 𝑐=

𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝐵

34,05𝑚 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (30°) 𝑠𝑒𝑛 (40°) 𝑐 = 26,48𝑚

Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra:

Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 4: Solución de triángulos oblicuángulos (Ley del seno) Existe una distancia de 26,48 metros.

Ejercicio 5: Solución de triángulos oblicuángulos (Ley del coseno)

El trayecto de un vuelo nacional entre las ciudades A, B y C se muestra en la imagen. La distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de 422 km. La distancia entre la ciudad A y C es 312 (2 corresponde al número de estudiante que eligió). Se sabe además que entre los recorridos en línea recta AC y AB existe un ángulo de 35 grados. Si el consumo de combustible es de 3 litros por kilómetro ¿De cuantos litros de combustible debe disponer el avión para realizar el recorrido de la ciudad B a C si además debe contar con un 25% de combustible extra?

AB=422 BC ?

AC=312 Desarrollo del Ejercicio 5: Solución de triángulos oblicuángulos (Ley del coseno).

𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝐴 𝐴𝐵 = 422 𝑘𝑚 𝐴𝐶 = 312 𝑘𝑚 𝐵𝐶 =? 𝜃 = 35° 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 → 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠 (𝐴) 𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 ∗ 𝐶𝑜𝑠 (𝐵) 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 ∗ 𝐶𝑜𝑠(𝐶)

𝑎 = 𝐵𝐶 𝑏 = 𝐴𝐶 = 312 𝑐 = 𝐴𝐵 = 422 Solución: 𝐵𝐶 2 = (𝐴𝐶)2 + (𝐴𝐵)2 − 2(𝐴𝐶 )(𝐴𝐵) ∗ 𝐶𝑜𝑠(𝐴) 𝐵𝐶 2 = (312)2 + (422)2 − 2(312)(422) ∗ 𝐶𝑜𝑠(35°) 𝐵𝐶 2 = 97344 + 178084 − 263328 ∗ 𝐶𝑜𝑠(35°) 𝐵𝐶 2 = 59722,33048 𝑘𝑚2 √𝐵𝐶 2 = √59722,33048 𝑘𝑚2 𝐵𝐶 = 244,38 𝑘𝑚 Total, de combustible requerido: 𝐿𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 = 𝐵𝐶 ∗

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 + 25% ∗ (𝐵𝐶 ∗ 𝑘𝑚 𝑘𝑚

𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 = 244,38𝑘𝑚 ∗

3𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 3𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 + 0,25 ∗ (244,38 ∗ 𝑘𝑚 𝑘𝑚

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑢𝑠𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 = 916,425 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

Presente en el espacio inferior, la copia de pantalla del ejercicio desarrollado en GeoGebra:

Redacte en el espacio inferior la(s) respuesta(s) del Ejercicio 5: Solución de triángulos oblicuángulos (Ley del coseno) El avión debe tener como mínimo un combustible de 916,425 litros

Conclusiones

Gracias a la investigación se logro de manera genial la solución de todos los ejercicios propuestos por el tutor, entregando así un trabajo digno de ser calificado y espero que todos los ejercicios estén bien desarrollados, doy gracias a mi mismo porque me propuse aprender mas de esta materia de trigonometría ya que me gusto mucho la manera en que se desarrollan los ejercicios, aprendí sobre como se transforman grados sexagesimales y radianes, representación de funciones trigonométricas básicas, solución de triángulos rectángulos con el teorema de Pitágoras, solución de triángulos oblicuángulos con la ley del coseno, también adquirir mucho más conocimiento de cómo se utiliza GeoGebra en dichos ejercicios.

Referencias bibliográficas

Castañeda, H. S. (2014) Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del Norte. (pp. 119 – 146, 153-171) https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943 ➢ Jimenez, L. (2016) Triángulos oblicuángulos. (pp. 137) http://hdl.handle.net/20.500.11799/63012 ➢ Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001) Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. (pp. 63 – 80) https://elibronet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/79123 ➢ Rondón, J. (2017) Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. (pp. 184201) http://hdl.handle.net/10596/11583 ➢...