7 Multiple Regression - Kovarianzanalyse PDF

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7 Multiple Regression - Kovarianzanalyse Mittwoch, 29. November 2017

16:46

Kovarianzanalyse • Regressionsmodell mit (mind.) einer kategorialen und (mind.) einer metrischen Variable • Es wird keine Interaktion beider Variablen angenommen bzw. ins Modell aufgenommen ○ Annahme kann sinnvoll/richtig sein oder nicht ○ Grundsätzlich können auch Interaktionen zwischen kategorialen und metrischen Variablen in Regressionsgleichung aufgenommen werden => entspricht dann aber nicht dem "Modell" der Kovarianzanalyse Modell • 1. 2. • •

Zwei Prädiktoren (eine kategorial (CV), eine metrisch (UV)) Einer rein additives Zusammensetzung der Prädiktoren (keine Interaktion!) Metrische Variable wird als Kovariate bezeichnet Der Einfluss der kategorialen Variablen auf die AV soll untersucht werden. Dazu soll der Effekt der Kontrollvariablen auf die abhängige Variable eliminiert werden (multiples Regressionsgewicht = Partialregressionsgewicht) • Ziele ○ Inhaltlich: Kontrolle von SV ○ Statistisch: Verringerung der Fehlervarianz, dadurch Erhöhung der Teststärke für die UV

Additive vs. multiplikative Kombination Bsp. Chinesen und Amerikaner unterscheiden sich in ihrer mittleren Lebenszufriedenheit • Sie unterscheiden sich auch in ihrem mittleren positiven Affekt • Positiver Affekt ist ein Prädiktor von Lebenszufriedenheit • Bleiben die Unterschiede in der Lebenszufriedenheit bestehen, wenn man die Unterschiede im positiven Affekt statistisch kontrolliert?

Abhängige Variable: Lebenszufriedenheit Die Kultur wurde dummykodiert mit USA als Referenzkategorie (= 0) und China = 1.

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Chinesen und Amerikaner unterscheiden sich in ihrer mittleren Lebenszufriedenheit unterscheiden sich auch in ihrem mittleren positiven Affekt Positiver Affekt ist ein Prädiktor von Lebenszufriedenheit Bleiben die Unterschiede in der Lebenszufriedenheit bestehen, wenn man die Unterschiede im positiven Affekt statistisch kontrolliert?

• Wenn wir zwei Gruppen betrachten, dann können wir deren Mittelwerte vergleichen um zu schauen, ob die Gruppen sich unterscheiden. • Diese Mittelwerte können aber ja noch den Einflüssen anderer Variablen unterliegen. In unserem Beispiel: unterscheiden sich Amerikaner und Chinesen wirklich in ihrer Lebenszufriedenheit, auch wenn man die positiven Affekte heraus rechnet? • Um diese Frage zu beantworten, kann man adjustierte Mittelwerte berechnen. Dies sind die Mittelwerte der beiden Gruppen, aus denen eine andere Variable (die Kovariate) herausgerechnet wurde.

Adjustierte Mittelwerte • = Mittelwert einer bestimmten Gruppe auf der AV nach statistischer Kontrolle der Kovariaten (können nicht darauf zurückgeführt werden • Immer dann von Interesse, wenn sich die Gruppen hinsichtlich ihrer mittleren Ausprägung auf den Kovariaten unterscheiden • Entspricht dem durch die Regressionsgleichung vorhergesagten Wert in der AV für eine bestimmte Gruppe für eine mittlere Ausprägung der Kovariaten • Der Effekt der Kovariaten (=metrische Variable) wird also aus den Gruppenmittelwerten herausgerechnet -> Adjustierte Mittelwerte • hier: Mittlere Lebenszufriedenheit von Amerikanern bzw. Chinesen bei mittlerer Ausprägung von positivem Affekt.

Auswirkungen der Kovarianzanalyse im Beispiel: • In diesem Beispiel wird der Gruppenunterschied in der Lebenszufriedenheit durch die Berücksichtigung der Kovariaten reduziert. • Wieso?

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• Bei vielen Auswertungen (vor allem der moderierten Regression, siehe letztes Mal) macht es

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Sinn, Variablen vor der Berechnung der Regressionsgleichung zu zentrieren. • Wird die Kovariate zentriert, muss natürlich 0 als Mittelwert eingesetzt werden (denn der Mittelwert der zentrierten Variablen ist natürlich 0) •

Annahmen und Probleme der Kovarianzanalyse Keine Interaktion • keine Interaktion zwischen Gruppenvariable(n) und Kovariaten => gleiche bedingte Steigungen, homogene Regressionen der Gruppen • Diese Annahme kann auch falsch sein (Prüfung über Signifikanz des Interaktionsterms von metrischer und kategorialer Variable) • Diese Annahme wird nicht automatisch bei der Berechnung einer Kovarianzanalyse geprüft! • Ist sie verletzt, werden die Werte „falsch“ korrigiert und es resultieren unsinnige Ergebnisse Interpretation: Bedeutung der Regressionskoeffizienten • Achsenabschnitt: b0: Dieser gibt den erwarteten Wert für die Personen an, die auf der Kodiervariablen mit Null kodiert wurden, wenn Kovariate= 0. • Regressionsgewicht der metrischen Variablen (b1): Gibt die Zunahme im Kriterium an, die in jeder der Gruppen resultiert, wenn die metrische Prädiktorvariable (Kovariate) um eine Einheit zunimmt (bedingte Steigung). • Regressionsgewicht der kategorialen Variablen (b2): bedingter Effekt der kategorialen Variablen: Unterschied zwischen den beiden verglichenen Gruppen für gleiche Werte in der metrischen Variablen.

Messfehlerfreiheit • Messfehlerfreiheit der UVs: Diese Voraussetzung gilt im Prinzip für jede Regressionsanalyse. Ihre Verletzung hat aber bei der Kovarianzanalyse besonders schwerwiegende Konsequenzen • Eine Verletzung führt dazu, dass Regressionskoeffizienten verzerrt geschätzt werden und dadurch die adjustierten Mittelwerte falsch berechnet werden. • Dies ist dadurch bedingt, dass das Regressionsgewicht der Kovariaten „zu klein“ geschätzt wird und ein Teil der Varianz, die auf die Kovariate zurückgeht, auf die kategoriale Variable „übertragen“ wird

Interpretation der adjustierten Mittelwerte • Adjustierte Mittelwerte sind nur so gut wie das zugrundeliegende Regressionsmodell • Voraussetzungen prüfen, vor allem ○ Korrekte Spezifikation des Modells (fehlen z.B. Interaktionen oder weitere Prädiktoren?) ○ Reliabilität der Prädiktoren • Keine Kausalschlüsse für die Kovariaten möglich

Kovarianzanalyse: Zielsetzung • wird vielfach eingesetzt, um Mängel bei der Versuchsplanung/Durchführung auszugleichen. • Oft wird so versucht, bei quasi-experimentellen Untersuchungen, in denen sich die Gruppen in wichtigen Störvariablen unterscheiden, diese Unterschiede „herauszurechnen“. • Dieses Vorgehen ist aber sehr problematisch, da es leicht zu Fehlschlüssen führen kann. • Sinnvoll und meist unproblematisch ist der Einsatz der Kovarianzanalyse, um die Fehlervarianz in experimentellen Studien zu reduzieren und damit die Power zu erhöhen

Fazit - Tutorium

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• Wenn Störvariablen nicht experimentell kontrolliert werden können, kann eine Kovarianzanalyse sinnvoll sein (aber: potenzielle Interaktionen ausschließen) • Bei der Kovarianzanalyse ist die Messfehlerfreiheit der Kovariaten besonders wichtig (sonst verschätzte Regressionsgewichte und dadurch verzerrte Berechnung der adjustierten Mittelwerte, die ja grade der Kern der Analyse sind) • Wenn die Kovariate keine Varianz aufklärt, kann die Kovarianzanalyse sogar eine geringere Teststärke haben, also die einfache Regression (da weniger Freiheitsgrade)

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