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Momento de Inercia y Aceleración Angular

Eduardo Andrango, Alexis Cuichan Laboratorio de fisca, Universidad de las fuerzas armadas Departamento de eléctrica y electrónica, ingeniería en electrónica y automatización, pichincha Ecuador E-mail: [email protected] Resumen En la practica de laboratorio de física realizada se anazalizado experimentalmente los temas de momento de inercia y aceleración angular, de manera que las actividades realizadas se fundamentaron para poder determinar dos punto importantes. Primeramente para analizar el movimiento circular uiforme variado se determina las ecuaciones del àngulo, la rapidez angular y aceleración angular en función del tiempo. Para esto se utilizó un disco conectado a una polea con diámetro variable, a la vez esta se conectó a la barrera fotoelèctrica contadora para poder observar los datos de aceleración angular, velocidad angular, el ángulo y todos estos factores en un determinado tiempo. En segundo lugar con los datos obtenidos y las características del disco se procedió a obtener el momento inercial del disco. Palabras clave: Movimiento, circular, desplazamiento, rapidez, aceleración. Abstract In laboratory practice of physics performed experimentally analyzed the subjects of inertia and angular acceleration, in the way the activities carried out founded for power determine the important points. Firstly, to analyze the final circular motion, the angle equations, the angular accelerator and the angular acceleration are determined as a function of time. For the use of a disk connected to a pulley with a variable diameter, once it is connected to the counter photoelectric bar for control of angular acceleration data, angular velocity, angle and all factors in a given time. Secondly, with the data obtained and the characteristics of the disk, we proceeded to obtain the inertial moment of the disc. Keywords: Movement, circular, displacement, speed, acceleration. I. OBJETIVOS Determinar las ecuaciones del ángulo, la rapidez angular y la aceleración angular en

función del tiempo, para el movimiento circular uniformemente variado. Calcular el momento de inercia del disco que rota alrededor del eje z.

II. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Movimiento circular uniforme variado

ser el eje fijo; y, angular.

 ω

su velocidad

Entonces: En este movimiento la trayectoria es una circunferencia y su aceleración angular es constante con esto podemos encontrar la velocidad angular y el desplazamiento angular utilizando calculo diferencial e integral quedando las siguiente formulas cinemáticas.

dω ´  α= =constante (1) dt  α t (2) ω = ω´ 0+ θ=θ´0 + w´ 0 × t+ 1 ×  α ×t 2 (3) 2

d(I  ω) d ω =I × dt dt τ z =I Z × α × k ∴ τ =

.

Su módulo es:

τ z=I z × α Pero, τ =r ×  T (5) En donde r es el vector posición de la fuerza (en este caso la tensión) respecto al eje de giro y  T es la tensión del cable que hace rotar al disco. Como

r

es perpendicular a

 T , el

τ =r × T k τ =r × T

torque se reduce a: módulo queda:

y su

En consecuencia: Figura. 1 Grafica De Velocidad

Obtenidos los datos posición angular y rapidez angular en función del tiempo mediante el método gráfico o mínimos cuadrados, encontramos sus constantes, principalmente de la aceleración angular, pues es necesario para el cálculo del momento de Inercia. El torque ejercido por una fuerza sobre un cuerpo alrededor de un eje fijo es igual a la derivada del momento angular del cuerpo respecto al tiempo:

H d (4) τ = dt En donde:  H que se calcula:

I z=

rT (6) α

Elaborando el diagrama del cuerpo libre del peso y, luego, del disco que rota:

Figura. 2 pende de un cuerpo y rota

Análisis del DCL del pero que pende:

∑ F i=ma es el momento angular,

 H =I ×  ω Siendo I, el momento de inercia del cuerpo que rota, el cual permanece constante por

mg−T =mα × r T =m×(g−α × r) Por tanto:

r ×T =m ×r × ( g−α × r )=I z × α

1.- Coloca el disco y la polea de diámetro variable sobre el soporte vertical: nivélalo. Conecta la base superior del soporte con el soplador mediante la manguera flexible, y la polea, de ∅=(mm ) , mediante la piola de seda con el cuerpo colgante, de m (g) de masa, pasando por la polea de la barrera

Sustituyo en la ecuación:

I z=

m × g ×r −m ×r 2 (7) α

Esta ecuación nos permitirá calcular el momento de inercia o factor inercial del disco que gira III. MATERIALES Y EQUIPOS: 

2.- Enrollamos el hilo en la polea. Despliega el programa “Measure”; selecciona traslación/rotación, el diámetro y el modo de selección de datos.

Disco que rota con sus poleas centrales acanaladas. Soporte del disco Hilo de seda que una la polea con el cuerpo que cuelga. Soplador. Barreras fotoeléctricas contadoras. Material de montaje Masas de valores conocidos Nivel circular Interfaz Cobra 4 con software de traslación/rotación. Computadora.

        

IV. INSTRUCCIONES PROCEDIMIENTOS

3.- Libera el disparador y empiezan las mediciones. Revisa las gráficas de θ=f (t ) , ω=f (t) y α=f (t) . Si su tendencia es correcta: las dos primeras gráficas ascendentes y la tercera aproximadamente constante, están bien. Y continúa. De lo contrario, repite el proceso. 4.- Haz clic derecho sobre cada gráfica. Marca Tabulación de datos y anota en la hoja técnica.

O

V. TABULACIÓN DE DATOS 1.-

θ=f (t )

Tabla 1. Registro de datos para posición angular - tiempo.

θo

0,110

0,503

1,225

2,246

3,644

5,372

8,325

10,273

12,990

14,797

2,200

3,200

4,200

5,200

6,200

7,200

8,600

9,400

10,400

11,000

(rad)

t o (s)

2.-

ω=f ( t )

TABLA 2. Registro de datos para rapidez angular-tiempo.

ωo (rad/s) t o (s)

3.-

0.157

0.628

0.942

1.100

1.571

1.885

2.199

2.513

2.985

3,142

2,200

3,200

4,200

5,200

6,200

7,600

8,600

9,400

10,400

11,00

∝=f (t )

TABLA 3. Registro de datos para aceleración angular-tiempo.

αo (rad/ s 2 ) t o (s)

0.393

0.393

0.393

0.393

0.393

0.393

0.393

0.393

0.393

0.393

2,200

3,200

4,200

5,200

6,200

7,200

8,600

9,400

10,400

11,000

VI. ACTIVIDAD PREGUNTAS

to

A.Realiza la gráfica θ=f (t ) . Reajusta la recta y obtén la ecuación respectiva por mínimos cuadrados. �=�(� ) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

ωo

2,200 3,200 4,200 5,200 6,200 7,200 8,600 9,400 10,400 11,000

0,157 0,628 0,942 1,100 1,571 1,885 2,199 2,513 2,985 3,142

to2 0,345 2,010 3,956 5,720 9,7402 13,572 18,911 23,622 31,044 34,562

ω o × to 0,025 0,394 0,887 1,210 2,468 3,553 4,836 6,315 8,910 9,872

∑ t o=6 ∑ ω o= ∑ t o2=1 ∑ ω o × x

Ec. por mínimos cuadrados: y = 0.328x0.50. 2

4

to 2,200 3,200 4,200 5,200 6,200 7,200 8,600 9,400 10,400 11,000

6

8

θo

10

θo ×t o

2

to

0,110 0,503 1,225 2,246 3,644 5,372 8,325 10,273 12,990 14,797

12

4,840

. C.- Realiza la gráfica ∝=f (t ) Reajusta la recta y obtén la ecuación respectiva.

0,242

10,240 17,640 27,04

1,609 5,145 11,679

38,440 51,840 73,960 88,360 108,160 121,000

22,593 38,678 71,595 96,566 135,096 162,767

∑ t o=6 ∑ θ o=5 ∑ t o2=4 ∑ θ o × to

Ec.: y = 0.393

Ec.por mínimos cuadrados: y = 1,6793x 5,2833.

D.- Calcula el momento de inercia o factor inercial del disco.

. ω=f ( t ) B.Realiza la gráfica Reajusta la recta y obtén la ecuación respectiva por mínimos cuadrados.

I=

mgr −m r 2 α

I=

0,784 ∙ 9,81 ∙ 0,15 −0,784 ∙ 0,15 2 0,393

�=( =() 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

I= 2,92

kg ∙ m2 s

E.- ¿Qué interpretación merece el momento de inercia? 0

2

4

6

8

10

12

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un

sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo, en movimientos giroscópicos. VII. CONCLUSIONES 

Se pudo llegar a concluir mediante el sistema de poleas, que mediante el movimiento circular uniformemente variado se puede llegar a determinar el ángulo, la rapidez angular y la aceleración angular.



Con los datos obtenidos principalmente, se pudo llegar a determinar el momento de inercia del sistema en el eje z.

VIII. RECOMENDACIONES 

Al momento de realizar la práctica, tener mucho cuidado con la polea y el hilo, ya que si estos dos sistemas que descuadran los resultados de la práctica serán erróneos.



Detener el contador “Measure” un poco antes de que el hilo esté totalmente estirado para que no

modifiquen tanto los resultados, que son secuenciales. 

Procurar realizar la práctica con la información necesaria para no modificar alguna cuestión dentro del sistema que provoque daños en el calibre del equipo.

IX. BIBLIOGRAFÍA Maiztegui, R. Gleiser, Introducción a las mediciones de laboratorio. Editorial Guayaquil, Buenos Aires, 1978. Soler y Negro, Física Práctica Básica . Editorial Alambra, 1973. M.R. Spiegel. Estadística. Mc.Graw Hill, México, 1978. X. ANEXOS...