Acoplamiento magnético PDF

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Eleindo Capitulo IV. Acoplamiento magnético Ing. Iparraguirre....

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ACOPLAMIENTO MAGNETICO Existe acoplamiento magnético, cuando circuitos inductivos se encuentran inmersos en un campo magnético. Se dice que dos bobinas se encuentran acopladas magnéticamente, cuando todo o parte del flujo originado por la corriente que circula en las espiras de una de las bobinas, concatenan con las espiras de la otra bobina. Cuando las bobinas están ubicadas especialmente con el objeto de tener acoplamiento magnético, a esta configuración se le denomina transformador. El flujo magnético (t), puede circular en el aire, o en algún medio ferromagnético. El camino por donde circula el flujo se denomina circuito magnético. Los circuitos magnéticos constituyen los núcleos magnéticos y pueden ser de aire, ferromagnéticos o una combinación de aire y hierro (ferromagnético). Los transformadores con núcleos de aire son utilizados en los circuitos de comunicaciones en donde la frecuencia es elevada, y sus bobinas presentan valores pequeños de inductancia. Los transformadores con núcleos de hierro son utilizados para la transformación de la energía eléctrica a diferentes valores de tensión, pero de la misma frecuencia, y sus bobinas tienen valores elevados de inductancia. Los circuitos magnéticos que presentan hierro y aire (entrehierro), son utilizados para diseño de motores eléctricos, generadores, que constituyes máquinas eléctricas rotativas, y también estos circuitos magnéticos compuestos son utilizados para diseño de inductancias que presentan un alto grado de linealidad. Al utilizar núcleos ferromagnéticos, el nivel del flujo de operación normal estará siempre por debajo del codo de la saturación; es decir debe encontrarse operando en la zona lineal. La unidad del flujo magnético es el weber (Wb). (t)

(t)

codo de saturación

i (t)

i (t) a. - Núcleo de aire (vacio)

zona zona de zona de lineal inflexión saturación b. - Núcleo ferromagnético

Fig. 1 . - Flujo magnético en función de la corriente que produce el campo magnético, en núcleos de aire y ferromagnético 172

LEIV.

En la Fig. 1 se muestra el comportamiento del flujo magnético en función de la corriente magnetizante (corriente que produce el campo magnético), para los núcleos de aire y de hierro. ANALOGIA ENTRE EL CIRCUITO ELECTRICO Y EL MAGNETICO La corriente eléctrica circula por el circuito eléctrico debido a la fuerza electromotriz e(t). El flujo (t) circula por el circuito magnético (núcleo) debido a la fuerza magnetomotriz (f.m.m), es decir que la corriente eléctrica y el flujo magnético son elementos análogos; la fuerza electromotriz y la fuerza magnetomotriz también son elementos análogos. La resistencia eléctrica como propiedad de los circuitos eléctricos, es la oposición al paso de la corriente eléctrica. En el circuito magnético la propiedad de oposición al paso del flujo magnético se denomina reluctancia magnética “ ” . Es decir que la resistencia eléctrica y la reluctancia magnética son elementos análogas. La unidad de la reluctancia magnética es el amper . vuelta por weber (A . v / Wb)

+ e(t) -

i (t)

e(t) = R i(t) R

...(1)

f.e.m. = Resistencia x Corriente

a. - Circuito eléctrico

+ e(t) -

i (t)

N i(t)

L N

(t)

...(2)

(t) f.m.m. = Reluctancia x Flujo

b. - Circuito magnético Fig. 2 . - Analogía entre el circuito eléctrico y el circuito magnético

La unidad de la fuerza magnetomotriz “ ” es el amper . vuelta = N i(t) ...(3) Por analogía, la fuerza magnetomotriz es el producto de la reluctancia magnética por el flujo magnético, es decir:

= N i(t) = 173

(t) ...(4) LEIV.

De la ecuación (4) se tiene:

(t )

N i(t)

...(5)

Los nuevos núcleos ferromagnéticos están formados por chapas siliciosas en el rango del (3 al 5) % de silicio, con espesor de 0.35mm. El silicio sirve para disminuir el calentamiento de las chapas ferromagnéticas por efecto del ciclo de histéresis, causando las denominadas pérdidas por histéresis. No es conveniente tener más silicio del rango especificado en la chapa, por que al troquelarse se vuelve quebradiza. El núcleo ferromagnético laminado sirve para reducir las pérdidas por corrientes parásitas. Las corrientes parásitas circulan en el material ferromagnético y que ocasionan calentamiento de dicho material, por eso es conveniente laminar los núcleos ferromagnéticos con espesores reducidos. Un buen espesor y muy utilizado es el de 0.35 mm. Así en el núcleo ferromagnético existen pérdidas por histéresis y pérdidas por corrientes parásitas, los que disminuyen la eficiencia del transformador. TRASFORMADOR EN VACIO Transformador en vacío indica que la bobina secundaria está a circuito abierto. El circuito del transformador en vacío se muestra en la Fig. 3 en donde se define: (t) i 0(t) + e(t) -

d

(t)

R1

R2

L1

L2

N1

N2

+ v2(t) -

Fig. 3 . - El transformador en vacío.

e(t) 1 (t)

: Fuente de tensión alterna senoidal, conectada a la bobina primaria. : Flujo total producido por la corriente primaria i0 (t), que concatena con las N1 espiras primarias d1 (t) : Flujo de dispersión primario producido por la corriente primaria, que concatena con las espiras primarias; su trayectoria es el vacío. : Flujo mutuo producido por la corriente primaria y que circula por el 12 (t) circuito magnético, concatenando con las N2 espiras secundarias R1 , R2 : Resistencias de los arrollamientos primario y secundario respectivamente. 174

LEIV.

L1 , L2 : Inductancias propias o autoinductancias de las bobinas primaria y secundaria N1 ,N2 : Número de espiras de los arrollamientos primario y secundario respectivamente. i0 (t) : Corriente primaria de vacío. vL1 (t) : Tensión generada en la bobina primaria por efecto del cambio del flujo total primario. vL1 (t) : Tensión generada en la bobina secundaria por efecto del cambio del flujo mutuo, circulante por el circuito magnético La corriente primaria i0 (t), produce el flujo total primario 1 (t) y que concatena con las N1 espiras primarias 1 (t) = d1 (t) + 12 (t) ...(6) Por la ley de Faraday, la tensión generada en la inductancia propia de la bobina primaria

es:

v L1 ( t )

N 1 d 1( t ) dt

...(7)

Se denomina coeficiente de acoplamiento “ K ” a la relación del flujo mutuo, al flujo

total producido por la corriente primaria

K

12 ( t )

...(8)

1 (t )

1 (t)

De la ecuación (5) se determina para la bobina primaria Reemplazando (9) en (7) se obtiene: Siendo N1 y

vL1 ( t )

N1

N1

i0 ( t )

...(9)

d N1 [ i 0 ( t )] ...(10) dt

constantes, la ecuación (10) se transforma en: N21 d v L1 ( t ) i0 ( t ) ...(11) dt

De (11) la autoinductancia primaria es:

L1

N 12

...(12)

H

Alimentando al transformador con una fuente de tensión por la bobina secundaria, con

la bobina primaria a circuito abierto, se tiene:

175

L2

N 22

H

...(13)

LEIV.

v L1( t ) L1 d i0 ( t ) dt

Reemplazando (12) en (11) se tiene:

...(14)

Aplicando segunda ley de Kirchhoff ( 2LK ) al circuito eléctrico primario se tiene. e ( t ) R 1 i 0 ( t ) v L1( t ) ...(15) Reemplazando (14) en (15) se obtiene: e ( t ) R 1 i 0 ( t ) L1 d i 0 ( t ) ...(16) dt Efectuando en (16) la transformación fasorial, para el circuito primario se tiene:

E E

R1 I0

( R1

...(17)

X L1 I0

JX L1 ) I 0

...(18)

Según la Fig. 3, el flujo que concatena con la bobina secundaria es v L2 ( t )

ley de Faraday la tensión generada es: De la ecuación (8) se deduce que:

12 ( t )

N 2 d 12 ( t ) dt

Reemplazando (20) en (19), se determina que: v L 2 ( t )

Pero la ecuación (9) indica:

1 (t )

N1

i0 ( t )

(t), luego por la

...(19)

...(20)

K 1( t)

v L 2 ( t ) KN 2 d 1 ( t ) dt

12

N 2 d ( K 1 ( t )) dt

...(21)

...(22)

...(9)

d N1 [ Reemplazando (9) en (22) se tiene: vL 2 ( t ) KN 2 i0 ( t ) ] dt N N d vL 2 (t ) K 1 2 Es decir: i 0( t ) ...(24) dt

...(23)

De las ecuaciones (12) y (13) se obtiene: N1

L1

...(25)

N2

L2

...(26)

Reemplazando (25) y (26) en (24) se obtiene:

176

LEIV.

L1

vL 2 ( t ) K

L2

d i0 ( t ) dt

...(27)

es decir:

d i0 ( t ) ...(28) dt En la ecuación (28) “ M ” es la inductancia mutua entre la bobina primaria y la bobina secundaria, definida como: v L2 (t)

M

K

L1 L 2

L1 L 2 H

...(29)

Reemplazando (29) en (28) se obtiene:

M d i 0 (t ) dt

v L 2 (t )

...(30)

Realizando la transformación fasorial de la ecuación (30) se tiene: VL2

Multiplicando por

X M I0

...(31)

cada miembro de la ecuación (29) se obtiene:

XM

X L1 X L2

...(32)

Expresando en forma fasorial la ecuación (32) se tiene:

XM

JK

X L1 X L2

K

X L1 X L2 / 90

...(33)

Observaciones 1. Para que existan tensiones inducidas en las bobinas inmersas en un campo magnético, es necesario que los flujos que concatenan con las bobinas, varíen en el tiempo. 2. La inductancia mutua entre dos bobinas acopladas magnéticamente es una medida de la capacidad que tiene una corriente variable, para inducir un voltaje en la otra bobina. 3. El voltaje inducido en el secundario de un transformador se produce por un cambio de la corriente primaria. 4. El primario de un transformador actúa como una bobina de impedancia si no hay corriente en el secundario.

177

LEIV.

De las ecuaciones (14) y (7) se tiene que: L1 d i 0 ( t ) dt

De donde:

L1

N1

En núcleos de aire

d (t ) d i( t )

d 1(t ) d i 0 (t )

N1

d dt

1( t )

...(34)

...(35)

cte, por lo tanto la inductancia siempre es constante.

En la Fig. 4a, se observa la variación de la inductancia en los núcleos de aire.

(t) L - i(t)

(t)

-i

(t)

(t ) i( t)

cte

d (t ) dt

i (t) Fig. 4 a.- Núcleo de aire (vacío)

En núcleos de hierro En zona lineal, la inductancia es constante. En zona de inflexión, la inductancia disminuye al aumentar la corriente. En zona de saturación, la inductancia tiende a ser muy pequeña (tiende a cero H) En la Fig. 4b, se observa la variación de la inductancia en las tres zonas definidas.

178

LEIV.

(t) L - i(t)

Zona lineal

(t) - i(t)

Zona de inflexión i (t) zona lineal

zona de inflexión

Zona de saturación

zona de saturación

d (t ) dt

cte

d (t ) : decrece dt

d (t ) : tiende a cero dt

Fig. 4b. - Núcleo ferromagnético

Nota. – A menos que se diga lo contrario, las inductancias con núcleos de hierro operan en zona lineal

Igualando los segundos miembros de las ecuaciones (19) y (30) se tiene: N 2 d 12 ( t ) M d i 0( t ) dt dt

...(36)

De las ecuaciones (34) y (36) se generaliza dos reglas muy importantes: 1. Espiras de la bobina “A”, por el cambio del propio flujo producido por dicha bobina, es igual a la auto inductancia o inductancia propia de dicha bobina, por el cambio de la corriente que circula por la bobina “A” ( De ecuación (34) ) 2. Espiras de la bobina “A”, por el cambio del flujo proveniente de la bobina “B” , es igual a la inductancia mutua que existe entre las bobinas “A” y “B” acopladas magnéticamente, por el cambio de la corriente que circula en la bobina “B” ( De ecuación (36) )

179

LEIV.

EL TRANSFORMADOR CON CARGA

(t) i 2(t) i1(t) + e(t) -

d

(t)

(t)

R1 L1

R2 L2

N1

N2

d

(t)

+ v 2(t) -

_ ZL

RL

Fig. 5 . -El transformador en carga Se dice que un transformador está con carga, cuando por el circuito secundario circula una corriente secundaria i 2 (t ) . En la Fig. 5 se muestra el transformador bajo carga secundaria, conectando en bornes secundarios una resistencia de carga RL o una impedancia de carga Z L . Al circular una corriente i 2 ( t ) por el circuito secundario, aparece el flujo secundario Wb , donde : 2 (t) d2 (t ) 21 ( t ) 2 (t )

:

Flujo total producido por la corriente secundaria y que concatena con las N 2 espiras secundarias.

d 2 (t )

: Flujo de dispersión de la bobina secundaria, producido por la corriente secundaria y que concatena con las N2 espiras secundarias. Su trayectoria es el aire.

21( t )

: Flujo producido por la corriente secundaria y que se dirige por el núcleo a la bobina primaria.

De la Fig. 5 se observa que al aplicar la regla de la mano derecha, los flujos que circulan por el núcleo 12 ( t ) y 21 ( t ) , tienen sentidos opuestos. La bobina primaria concatena con el flujo total P ( t)

Pero:

d1( t ) 1 (t )

12 ( t )

d1 ( t )

...(37)

21( t )

12 ( t )

P ( t ), siendo:

...(6) 180

LEIV.

Reemplazando (6) en (36) se tiene:

P (t)

1 (t )

21 ( t )

...(38)

La tensión generada en la bobina primaria cuando el transformador está cargado es: v L1 ( t ) N1 d P ( t ) ...(39) , reemplazando (38) en (39) tenemos: dt v L1 ( t ) N1 d [ 1 ( t ) 21 ( t )] ...(40) , desarrollando (40) se tiene: dt v L1 ( t ) N 1 d 1( t ) N 1 d 21( t ) ...(41) dt dt Expresando el segundo miembro de la ecuación (41) en función de la autoinductancia , de la inductancia mutua y del cambio de velocidades de las corrientes primaria y secundaria respectivamente, como indica la regla de las ecuaciones (34) y (36), se tiene:

L1 d i1 (t) M d i 2(t ) dt dt

v L1 (t)

...(42)

Aplicando 2LK al circuito eléctrico del primario se tiene: e( t )

R 1 i1( t ) v L1( t ) ...(43) ,

e( t )

reemplazando (42) en (43) obtenemos:

R 1 i1 ( t ) L1 d i 1( t ) M d i 2( t ) dt dt

...(44)

Observando las ecuaciones (16) y (44), se dice que el transformador con carga , en la

bobina primaria se induce una contratensión dada por

M

d i 2( t ) dt

...(45)

Como e(t), R1, L1 y M son invariables, la contratensión obliga a que la corriente primaria aumente su valor desde la condición de vacío i0 (t), hasta la condición de carga i1 (t). Transformando la ecuación (44) a la expresión fasorial correspondiente se tiene:

E R1 I1 X L1 I1 X M I 2 E ( R1 JX L1 ) I1 X M I 2

...(46) ...(47)

Siendo en la ecuación (47): Z1 XM

R1 JX L1 J M

...(48) , la impedancia de la bobina primaria, y M / 90

...(49), la reactancia mutua.

Reemplazando (48) en (47) tenemos la ecuación fasorial del circuito primario: 181

LEIV.

E I1 , I 2

I2

:

0 :

Z1 I1

XM I2

...(50)

Son las corrientes primaria y secundaria respectivamente que circulan por las bobinas del transformador. Cuando el transformador opera en vacío.

En la Fig. 5, la corriente secundaria produce el flujo: 2 (t)

d 2 (t )

21 ( t )

...(51)

El flujo neto que concatena con la bobina secundaria es: S (t )

12 ( t )

d 2 (t)

Reemplazando (51) en (52) se tiene:

21 ( t ) S (t )

...(52) 12 ( t )

2 (t )

...(53)

La tensión generada en la bobina secundaria según Faraday es: v L 2 ( t ) N 2 d S( t ) ...(54) , reemplazando (53) en (54) se tiene: dt v L 2 ( t ) N 2 d [ 12 ( t ) 2 ( t ) ] ...(55) dt v L2 ( t )

N 2 d 12 ( t ) N 2 d 2 ( t ) dt dt

...(56)

Aplicando la regla obtenida de las ecuaciones (34) y (36) para cambiar el segundo miembro de la ecuación (56) en función de la autoinductancia, de la inductancia mutua y de los cambios de la corriente primaria y corriente secundaria, se tiene: v L2 ( t )

M d i 1( t ) L 2 d i 2 ( t ) dt dt

...(57)

La tensión v L 2 ( t ) tiene el efecto de un generador de tensión. Aplicando 2LK en el circuito secundario de la Fig. 5, se tiene:

v L2 ( t )

R 2 i 2 (t ) R L i 2 (t )

...(58), reemplazando (57) en (58) se tiene:

M d i 1( t ) L 2 d i 2 ( t ) dt dt

R 2 i 2 (t) R L i 2 (t )

182

...(59)

LEIV.

Ordenando la ecuación (59) se obtiene: M d i1 ( t ) R 2 i2 (t ) L2 d i2 ( t ) RL i2 (t ) dt dt

0

...(60)

Realizando la transformación fasorial de la ecuación (60) se tiene: X M I1 R 2 I 2 X L I 2 R L I 2 X M I1 ( R 2 JX L R L ) I 2

0 0

...(61) ...(62)

Siendo en la ecuación (62):

Z2 RL

R2 :

JXL 2

...(63) :

la impedancia de la bobina secundaria

La resistencia de carga secundaria

Reemplazando (63) en (62) se obtiene la ecuación fasorial del circuito secundario:

X M I1 ( Z2 R L ) I2

0

...(64)

En lugar de conectar en el secundario del transformador una resistencia de carga R L, se conectaría una impedancia de carga Z L, la ecuación (64) se transforma en:

XM I1

( Z2

ZL ) I2

0

...(65)

MARCAS DE POLARIDAD En la Fig.6 se muestra sólo el núcleo y las bobinas del transformador de la Fig. 5

(t)

i (t) d

(t)

i (t)

(t) R1 L1

R2 L2

N1

N2

d

(t)

La corriente i1 ( t ) produce el flujo 12 ( t ) que circula por el núcleo en sentido horario. La corriente i 2 ( t ) produce el flujo 21( t ) que circula por el núcleo en sentido antihorario. Los flujos 12 ( t ) y 21 ( t ) son de sentidos opuestos, lo que trae como consecuencia que la inductancia mutua sea negativa, es decir M < 0

Fig. 6 . -Marcas de polaridad 183

LEIV.

Luego en las ecuaciones del dominio del tiempo y ecuaciones fasoriales del transformador con carga la reactancia mutua presenta signo negativo.

(t)

Al cambiar la corriente secundaria su sentido, tal como se muestra en la Fig. 7, los Flujos 12 (t ) y 21( t ) están circulando en el núcleo en sentido horario, lo qu...