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FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA NÚCLEO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Autores: Elecy Moreno, Rosely Bervian e Dian Soares 2018.1

SUMÁRIO

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . .

2

Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Gabarito

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES ∏

∏

∫

∫

𝑥⊗3 2  4𝑦 2  . Encontre a e𝐵=฀ Questão 1. Sejam as matrizes 𝐴 = ฀ 𝑥 ⊗ 2𝑦 5 2 𝑥+4 razão entre 𝑥 e 𝑦 para que se tenha 𝐴 = 𝐵 . ∏

∏

∫

2 ⊗1  Questão 2. Sendo 𝐴 = ฀ e 𝐵 =฀ 3 2 ∏ ฀฀ 2𝑋

sistema ฀ ฀

+ 3𝑌 = 𝐵

0 ⊗1 0

⊗1

∏

Questão 3. Considere as seguintes matrizes 𝐴 = ฀ ∫

,

calcular as matrizes X e Y no

.

3𝑋 + 2𝑌 = 𝐴

∏

∫

∫

∏

2

⊗3 ⊗4

∫

∏

1

∫ ,

∏

𝐵 =฀

5 0 ⊗6 7

∫ ,

𝐶=

5 4 1 2 1 ⊗3 4 ฀ e𝐸 =฀ , 𝐷 = ฀ . Determine: 6 11 3 4 2 6 ⊗5 (a) 5𝐴 ⊗ 2𝐵 (b) 2𝐴 + 3𝐵 1 (c) 2𝐷 ⊗ 𝐸 2 (d) 𝐴2 = 𝐴𝐴 (e) 𝐴𝐶 (f) Mostre que 𝐷𝐸 = 𝐸𝐷 e 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 ∏

∏

∫

∫

1 ⊗3  ⊗3 ⊗11  Questão 4. Se 𝐴 = ฀ e 𝐴𝐵 = ฀ , determine a matriz 𝐵 . ⊗3 5 1 17 ∏

∫

2 3 10    Questão 5. Determine 𝑥, 𝑦 , 𝑧 e a matriz 𝐵 de modo que 𝐴𝐵 =  6 12 25  , 𝐴 = ฀  ∏

   ฀

4

∫

9 20

𝑥 1 2   e 𝐵 é uma matriz diagonal. 3 𝑦 5   2 3 𝑧

∏

∫

∏

∫

∏

∫

⊗1 ⊗2  2  1 4  . Questão 6. Sejam 𝐴 = ฀ ,𝐵=฀ e 𝐶 =฀ ⊗3 ⊗5 ⊗1 ⊗4 ⊗8 Determine, se possível, a matriz 𝑋, tal que 𝐴 + 𝐵𝑋 = 𝐶 .

1ª Lista de Exercícios: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares ∏ 

Questão 7. Sejam as matrizes 𝐴 =   ฀

𝐵 t 𝐴t .

3

∫

∫ ∏ 2 1  2 4  , veriĄque se (𝐴𝐵 )t = e𝐵 =฀ 6 3   1 6 ⊗2 4 ∏  

Questão 8. Determine 𝑎 e 𝑏 para que a matriz  ฀

∫

2 4 2𝑎 ⊗ 𝑏   seja simétrica. 𝑎+𝑏 3 0  ⊗1 0

5

∏

0



Questão 9. Determine, se possível, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 para que a matriz  

𝑥2

฀

seja: (a) simétrica e (b) anti-simétrica.

𝑥+1

∫

2𝑥

1   3𝑦 ⊗ 1 ⊗4𝑥   𝑥3

0

Questão 10. Escreva as matrizes abaixo em sua forma escalonada reduzida e determine o posto e a nulidade de cada uma delas. ∏  

1

⊗1 (a) 𝐴 =  ฀ ∏

(c) 𝐶 =

      ฀

1 ⊗1 1     3 2 1  (b) 𝐵 =  ฀  5

1 ⊗2 1 1 2 ⊗3

1

⊗2

3

0

⊗1

5

2

∫

∏

∫

2 1 0  0 3 5  

∫

5 1

7   4  

4 ⊗3   4 ⊗5 0  ∏

∫

∏

∫

∏

1 3  ⊗1 0  ,𝐵= ฀ e𝐶 =฀ Questão 11. Dadas as matrizes 𝐴 = ฀ 0 1 2 ⊗1 determinar 𝑋 em cada equação abaixo:

∫

1 1 , 1 2

(a) (𝐴t 𝑋)−1 = (𝐵 −1 )−1 (b) 𝐶(𝐴 + 𝑋 )𝐵 = 𝐼 (c) (𝐴𝑋)−1 𝐵 = 𝐶𝐵 Questão 12. Supondo que as matrizes 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 são inversíveis (a) ∏determine∫ a matriz 1 0  , 𝐵 −1 = 𝑋 na equação (𝐴−1 𝑋𝐶 t) −1 = 𝐵 . (b) Considerando as matrizes 𝐴 = ฀ ⊗1 2 ∏

∫

∏

∫

0 ⊗2  0 1  ฀ e 𝐶 −1 = ฀ e o resultado obtido na letra (a), determine a matriz 𝑋 1 3 ⊗2 7 (indicando os seus elementos). Questão 13. Calcule a inversa das matrizes abaixo utilizando as operações elementares sobre linhas.

1ª Lista de Exercícios: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares ∫

∏

1 3  (a) 𝐴 = ฀ 2 7 ∏  

1

∫

∏

∫

∏

∫

2 5 ⊗1     4 ⊗1 2  (d) 𝐷 =   ฀

1 ⊗1 2  0      3 2 ⊗4  (c) 𝐶 =  ⊗2 ⊗4 3   ฀  0 1 ⊗2 5 4 ⊗2 3

(b) 𝐵 =  ฀

4

0

∏

1 1   Questão 14. Determine o valor de 𝑎 para que a matriz  2 1 ฀

4

1

∫

1   2  seja inversível. 

1 2 𝑎+3

∫

∏

1 2 1   Questão 15. VeriĄque se a matriz 𝐴 =  2 1 1   é inversível. Em caso aĄrmativo,  ฀ 1 1 2

calcule o determinante de 𝐴 . −1

∏

∫

 2 1 3 0     1 2 1 0   . Questão 16. Encontre o determinante da matriz 𝐴 =    0 0 2 1  ฀  3 1 1 4 ∏

∫

 ⊗1 2 0    Questão 17. Considere uma matriz 𝐵 =  0 𝑥 𝑦  , onde a soma dos elementos da ฀  ⊗1 0 𝑦 𝑦2 diagonal principal e o seu determinate são iguais a 9 e ⊗20, respectivamente. Calcule 3 . 𝑥 ∏

∏

∫

∏ ∫ 1 1  1 0 1 1 6   ,𝑁 = Questão 18. Considere as matrizes 𝑀 = ฀  0 3 e 𝑃 = ฀  ฀ 3 ⊗2 2 4 1 2 4 Calcule o determinante da Matriz 𝑄 = 𝑀 𝑁 + 𝑃 t . ∏

∫

∫

∏

∫

𝑥+1 𝑥   1 ⊗1 1   e 𝐵 = 𝑦⊗2 𝑦   matrizes reais tais que 𝐴𝐵 Questão 19. Sejam 𝐴 = ฀ ฀  𝑦 ⊗𝑥 1 𝑧+3 𝑧 é uma matriz antissimétrica. Considere as aĄrmações abaixo: ∏

∫

1 ⊗1 1  . I. 𝐴 = ฀ 5 1 1 II. 𝐵𝐴 é uma matriz simétrica. III. O traço da matriz 𝐵𝐴 é igual a zero. (O traço de uma matriz quadrada é deĄnido como a soma dos elementos da diagonal principal da matriz). IV. O determinante da matriz 𝐴𝐵 é igual a 2. São verdadeiras, apenas, as aĄrmações:

1ª Lista de Exercícios: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

(a) I e II.

(d) II e IV.

(b) II e III.

(e) III e IV.

5

(c) I e III. ∏

∫

 2 ⊗1 ⊗2   Questão 20. Determine a inversa da matriz 𝐴 =   4 1 2  pelo método da ad฀

junta.

8 ⊗1

1



∏ ฀฀ 𝑖 + 𝑗, ฀฀ ฀

se 𝑖 < 𝑗

Questão 21. Considere a matriz 𝐴 = (𝑎ij )3×3, tal que 𝑎ij = ฀ 2(𝑖 ⊗ 𝑗 ) , se 𝑖 = 𝑗 . ฀฀ ฀฀ (𝑗 ⊗ 𝑖)2 , se 𝑖 > 𝑗 ∏

2

∫

⊗1    Determine 𝑋 na equação 𝐴𝑋 = 𝐵, onde 𝐵 =  ⊗1  . ฀  1

Questão 22. Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares: ∏ ฀฀ 2𝑥 + 𝑦 ฀฀ ฀

⊗ 2𝑧 = 10

(a) ฀ 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 1 ฀฀ ฀฀

(d)

5𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 4

∏ ฀฀ 𝑥 + 𝑦 ฀฀ ฀

∏ ฀฀ 𝑥 + 2𝑦 ฀฀ ฀

⊗𝑧 = 0

(b) ฀ 2𝑥 ⊗ 𝑦 + 3𝑧 = 0 ฀฀ ฀฀

+𝑧 =4

฀฀ 2𝑥 + 5𝑦 ⊗ 2𝑧 = 3 ฀฀ ฀ 𝑥 + 7𝑦 ⊗ 7𝑧 = 5

∏ ฀฀ ฀฀ 𝑥 ⊗ 𝑦 + 2𝑧 ⊗ 𝑤 = ⊗1 ฀฀ ฀฀ ฀ 2𝑥 + 𝑦 ⊗ 2𝑧 ⊗ 2𝑤 = ⊗2

(e)

(c) ฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀

4𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0

∏ ฀฀ 𝑥 ⊗ 2𝑦 ฀฀

+ 3𝑧 = 0

2𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 0

∏ ฀฀ 𝑥 + 𝑦 ฀฀ ฀

(b) ⊗2

3𝑥 ⊗ 3𝑤 = ⊗3

∏ ฀฀ 𝑥 + 𝑦 ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀ 𝑥+𝑦 ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀

+𝑧+𝑡=0 +𝑧⊗𝑡= 4

𝑥 + 𝑦 ⊗ 𝑧 + 𝑡 = ⊗4

𝑥⊗𝑦+𝑧+𝑡= 2

+𝑧 =0

Questão 23. Resolvendo o sistema 2𝑥 ⊗ 𝑦 ⊗ 2𝑧 = 1 ฀฀ ฀฀ ฀ 6𝑦 + 𝑧 = 12 𝑧 é igual a: (a) ⊗3

(f)

⊗𝑥 + 2𝑦 ⊗ 4𝑧 + 𝑤 = 1

(c) 0

Questão 24. O sistema de equações lineares

, pode-se aĄrmar que o valor de

(d) 2 ∏ ฀฀ 2𝑥 ⊗ 𝑦 + 3𝑧 = 0 ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀ 4𝑥 ⊗ 3𝑦 + 2𝑧 = 0 ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀

𝑥+𝑦+𝑧 =0

3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

(e) 3

, é classiĄcado como:

1ª Lista de Exercícios: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

6

(a) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 0. (b) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 1. (c) Sistema possível e determinado, com 𝑥 = 11. (d) Sistema possível e indeterminado. (e) Sistema impossível. Questão 25. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando a regra de Cramer. ∏ ฀฀ 2𝑥 + 𝑦 ฀฀ ฀

∏ ฀฀ 𝑥 + 3𝑦 ฀฀ ฀

+ 2𝑧 = 4

(a) ฀ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = ⊗1 ฀฀ ฀฀ 3𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 1

∏ ฀฀ 𝑥 + 𝑦 ฀฀ ฀

⊗𝑧 = 0

(b) ฀ 2𝑦 + 2𝑧 = 0 ฀฀ ฀฀ 𝑥+𝑦+𝑧 =0

⊗𝑧 = 0

(c) ฀ 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 ฀฀ ฀฀ 3𝑥 ⊗ 𝑦 + 𝑧 = 1 ∏ ฀฀ ⊗4𝑥 + 3𝑦 ฀฀ ฀

=2

Questão 26. Determine para quais valores de 𝑘 o sistema ฀ 5𝑥 ⊗ 4𝑦 = 0 ฀฀ ฀฀ 2𝑥 ⊗ 𝑦 = 𝑘 solução. Questão 27. Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 que tornam o sistema

∏ ฀฀ 6𝑥 + 𝑎𝑦 ฀฀

possível e indeterminado. ∏  

Questão 28. Sejam 𝐴 =  ฀

1

3

∏

∫

admite

= 12

4𝑥 + 4𝑦 = 𝑏

∫

4  𝑏  1     . e𝐵 = ⊗4 2 ⊗6  𝑏2   ฀  𝑏3 ⊗3 ⊗2 ⊗7

A resolução do sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 é possível para quais valores de 𝑏1 , 𝑏2 e 𝑏3 ? JustiĄque. ∏ ฀฀ ⊗3𝑥 + 3𝑦 ฀฀ ฀

⊗ 5𝑧 = ⊗2

Questão 29. Considere o sistema ฀ 2𝑥 + 4𝑦 ⊗ 6𝑧 = 8 ฀฀฀ ฀ 4𝑥 ⊗ 𝑦 + (𝑎2 ⊗ 7)𝑧 = 𝑎 + 3

.

Determine os valores de 𝑎 de modo que: (a) O sistema seja possível e determinado (SPD). (b) O sistema seja possível e indeterminado (SPI). (c) O sistema seja impossível (SI). Questão 30. Os estoques de gasolina, álcool e diesel de três postos de combustíveis são dados, em milhares de litros, na tabela abaixo.

1ª Lista de Exercícios: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Seja 𝑀 a matriz formada pelos elementos que constam na tabela acima, na mesma disposição da tabela dada. Gasolina

Álcool

Diesel

Posto 1

2

1

1

Posto 2

1

4

0

Posto 3

3

0

1

Com base nessas informações, marque V (verdadeiro) e F (falso). (a) A matriz 𝑀 2 é simétrica. (b) O determinante da matriz 𝑀 é igual a ⊗5. (c) Se o preço por litro de cada combustível é o mesmo nos três postos e que a soma dos valores dos estoques dos postos 1, 2 e 3 são, respectivamente, R$ 8.800, 00, R$ 10.800, 00 e R$ 9.600 , 00, então a soma dos preços, por litro, de cada combustível é R$ 6, 00.

7

8

APLICAÇÕES Questão 31. Controle Linear - Um bom número de problemas importantes na engenharia, em particular, na engenharia elétrica e na teoria do controle, pode ser analisado usando-se transformadas de Laplace. Essa abordagem transforma um sistema apropriado de equações diferenciais lineares, em um sistema linear de equações algébricas, cujos coeĄcientes envolvem um parâmetro. Considere o seguinte sistema no qual s é um parâmetro não especiĄcado. Determine os valores de s para os quais o sistema tem uma única solução e utilize a regra de Cramer para descrever a solução. ∏ ฀฀ 3𝑠𝑥 ⊗ 2𝑦 ฀฀

=4

⊗6𝑥 + 𝑠𝑦 = 1

.

Questão 32. Fluxo em Redes - Uma rede é constituída por um número Ąnito de nós, em que Ćuem os Ćuxos, entrando e/ou saindo. Em cada nó, o Ćuxo de entrada é igual ao de saída. A rede da Ągura abaixo mostra o Ćuxo de tráfego (em veículos por hora) em diversas ruas da cidade de Baltimore durante uma tarde típica. Determine o padrão gerado pelo Ćuxo nessa rede utilizando um sistema de equações lineares e interprete os resultados.

Questão 33. Fluxo de Calor - Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é determinar a distribuição de temperatura do estado estacionário de uma placa Ąna quando a temperatura em sua borda é conhecida. Suponha que a placa, conforme a Ągura abaixo, representa uma seção transversal de uma barra de metal, com Ćuxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam 𝑇1, ..., 𝑇4 as temperaturas nos quatro nós interiores do reticulado na Ągura. A temperatura em um nó é igual, aproximadamente, à média aritmética dos 4 nós vizinhos - à esquerda, acima, à direita e abaixo. Por exemplo: 𝑇1 = (10 + 20 + 𝑇2 + 𝑇4 )/4. Escreva um sistema com quatro equações cuja solução forneça as estimativas para as temperaturas 𝑇1 , ..., 𝑇4 . Em seguida, resolva o sistema de equações.

1ª Lista de Exercícios: Aplicações

Questão 34. Circuitos elétricos - Encontre o valor de cada corrente elétrica que percorre o circuito abaixo, onde 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅4 = 𝑅5 = 0, 5Ω , 𝑅3 = 𝑅7 = 1Ω, 𝑅6 = 3Ω, 𝑉1 = 𝑉2 = 20𝑉 e 𝑉3 = 6𝑉 .

Para o cálculo das correntes no circuito, deve-se aplicar as duas leis de Kirchhoff: a lei dos nós e a lei das malhas. Lei dos nós: A soma algébrica das correntes que entram em um nó é igual à soma algébrica das correntes que saem dele. Os nós são os pontos do circuito onde há união/separação de corrente elétrica. Neste exemplo, os nós do circuito são os pontos B e E. Seguindo a orientação das correntes no circuito, conforme a Ągura, temos a seguinte equação linear no nó E: 𝑖2 + 𝑖3 = 𝑖1 (o análogo vale para o nó B), o que resulta na equação homogênea: 𝑖1 ⊗ 𝑖2 ⊗ 𝑖3 = 0 (1) Lei das malhas: A soma algébrica das quedas de potencial numa malha é igual a zero. Em cada resistência, a queda de potencial é dada por 𝑉 = 𝑅𝑖. Aplicando a lei das malhas no circuito, obteremos duas novas equações: Malha BEFAB: 𝑅3 𝑖1 + 𝑅1 𝑖1 ⊗ 𝑉1 + 𝑅2 𝑖1 + 𝑅4 𝑖2 + 𝑉2 + 𝑅5 𝑖2 = 0 (2) Malha BEDCB: 𝑅6 𝑖3 + 𝑉3 + 𝑅7 𝑖3 ⊗ 𝑅5 𝑖2 ⊗ 𝑉2 ⊗ 𝑅4 𝑖2 = 0 (3)

9

1ª Lista de Exercícios: Aplicações

10

Calcule o valor de cada corrente, resolvendo o sistema linear formado pelas equações (1), (2) e (3). Obs.: A unidade de corrente elétrica é o Ampère (A). Questão 35. Balanceamento de uma equação química - A fermentação do açúcar é uma reação em que ocorre a transformação dos açúcares em etanol. Para que a reação seja balanceada, o número de cada átomo nos reagentes de ser igual ao número de átomos nos produtos. Com base nisso, determine, aplicando sistemas de equações lineares, o balanceamento da equação química abaixo: 𝐶6 𝐻12 𝑂6 ⊗⊃ 𝐶𝑂2 + 𝐶2 𝐻5 𝑂𝐻

11

GABARITO

∏

∏

∫

∫

5

9 ⊗6  (e) ฀ ⊗11 ⊗15 8

∏

∏

∫

⊗1/2 2  (c) ฀ 3 5/2 ∫

∏

∫

⊗5 ⊗6  (d) ฀ 9 10

3 1  Q4. 𝐵 = ฀ 2 4 ∫

∏

 2 0 0   𝐵= 0 3 0  ฀

Q5. 𝑥 = 1, 𝑦 = 4 e 𝑧 = 4;

∫

∏

1 ⊗4 ⊗1  e 𝑌 = ฀ 5 ⊗9 ⊗4

∫

17 4  (b) ฀ ⊗24 13

⊗5 10  Q3. (a) ฀ ⊗3 ⊗34 ∏

∫

∏

1 6 ⊗1  Q2. 𝑋 = ฀ 5 11 6

𝑥 Q1. = ⊗2 𝑦

(

Q6. 𝑋 = 1 3

⎡

0 0 5

Q8. 𝑎 = 1 e 𝑏 = 3

Q9. (a) 𝑥 = 0 e 𝑦 ∈ 𝑅; (b) 𝑥 = ⊗2 e 𝑦 =

∏

1 0 0 ⊗7/8   Q10. (a)  0 1 0 ⊗1/4 ฀ 0 0 1

11/8

∏

∫

1 3

∫    𝑃 (𝐴) 

= 3 e 𝑁(𝐴) = 1

3/5   1 0   (b)  0 1 ⊗2/5  𝑃 (𝐴) = 2 e 𝑁(𝐴) = 1 ฀

0 0

0

∫

∏



1 0 0 0      0 1 0 0   𝑃 (𝐴) = 4 e 𝑁(𝐴) = 0 (c)     0 0 1 0   ฀ 0 0 0 1 ∏

∏

∫

⊗1 0 Q11. (a) 𝑋 = ฀ 1 ⊗1

⊗2 ⊗14  b) 𝑋 = ฀ 8 52

Q12. a) 𝑋 = 𝐴𝐵 −1 (𝐶 t )−1

Q13. (a) 𝐴−1 = ฀

(c) 𝑋 = ฀

∫

5 ⊗4  ⊗1 1

∫

∏

∏

∏

∫

⊗1 ⊗2  (b) 𝑋 = ฀ ⊗1 ⊗2

∫

7 ⊗3  (b) 𝐵 −1 ⊗2 1

∏

∫

4 ⊗2 ⊗3     (c) não possui inversa. =  ⊗11 6 9  ฀  ⊗12

7

10

1ª Lista de Exercícios: Gabarito ∏

1/6

฀

Q14. 𝑎 =  ⊗2

∫

⊗1/6   2/27 ⊗1/27 4/27  



(d) 𝐶 −1 =  

12

1/6

4/27 11/27

⊗8/27

Q15. det𝐴−1 =

1 4

Q16. det𝐴 = 35

1 128

∫

∏

4 9  ; det𝑄 = ⊗93 Q18. 𝑄 = ฀ 13 6 ∏

1/6



Q20. 𝐴−1 =   ฀

(d) SI Q23. (b)

Q19. (c) ∫

1/6

∏

0   1 ⊗2/3  

2/3

⊗2/3 ⊗1/3

฀

(b) (⊗Ð, Ð, Ð); Ð ∈ 𝑅

(e) (⊗3Ð, 0, Ð); Ð ∈ 𝑅

∫

1/4   0  



Q21. 𝑋 =  

1/3

Q22. (a) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, ⊗3)

⊗1/4

(c) (Ð ⊗ 1, 2Ñ, Ñ, Ð); Ð, Ñ ∈ 𝑅

(f) (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (1, ⊗1, 2, ⊗2)

Q24. (a)

Q25. (a) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (5, ⊗2, ⊗2) Q26. 𝑘 = ⊗6

(b) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0)

Q27. 𝑎 = 6 e 𝑏 = 8

Q29. (a) 𝑎 = ∘3 Q30. (a) F

Q17.

(b) V

(b) 𝑎 = 3

Q28. 𝑏1 ⊗

(c) (𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = (1/4, 1/8, 3/8)

𝑏2 + 𝑏3 = 0 2

(c) 𝑎 = ⊗3

(c) V

Q31. 3(𝑠2 ⊗ 4) ∴ 𝑠 = ∘2

𝑥=

𝑠+8 4𝑠 + 2 e𝑦= 2 2 3(𝑠 ⊗ 4) (𝑠 ⊗ 4)

Q32. (600 ⊗ 𝑥5 , 200 + 𝑥5 , 400, 500 ⊗ 𝑥5 , 𝑥5 ) Q33. 𝑇1 = 24, 3o ; 𝑇2 = 27, 5o ; 𝑇3 = 30o e 𝑇4 = 22, 5o

Q34. (1, ⊗2, 3)

Q35. Ð(1, 2, 2)...