AL-Tema7:Aplicaciones ortogonales PDF

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Apuntes sobre: Aplicación ortogonal, Matriz ortogonal, Teoremas y observaciones, Clasificación de las aplicaciones ortogonales en R2, Clasificación de las aplicaciones ortogonales en R3,...

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´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM

7

1

Aplicaciones ortogonales

7.1

Aplicaci´ on ortogonal

Se llama aplicaci´ on ortogonal a un endomorfismo f : V −→ V sobre un espacio vectorial eucl´ıdeo (V, < · , · >) que conserva el producto escalar, es decir que < f (u), f (v) >=< u, v > ,

7.2

∀u, v ∈ V

Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (R) se llama matriz ortogonal si At A = I .

7.3

Ejemplos

1. La matriz A =

√1 2

2. La matriz A =

√1 2

7.4

µ ¶ 1 −1 es ortogonal, pues 1 1 µ µ ¶ ¶ ¶ µ 1 2 0 1 1 1 1 1 −1 t √ =I = AA=√ 2 0 2 2 −1 1 2 1 1 µ ¶ 1 −1 no es ortogonal, pues 1 2 µ µ ¶ ¶ ¶ µ 1 1 2 1 1 1 1 1 −1 At A = √ √ 6= I = 2 1 5 2 −1 2 2 1 2

Teorema

Sea A = M (f, B) la matriz de la aplicaci´on ortogonal f : V −→ V respecto de una base ortonormal B de (V, < · , · >). Entonces: La aplicaci´ on f es ortogonal ⇐⇒ La matriz A es ortogonal Demostraci´ on: Basta observar que < f (u), f (v) > = (f(u))t f(v) = (Au)t Av = ut At Av < u, v > = ut v de donde se deduce que f es aplicaci´on ortogonal si y s´olo si At A = I, es decir si y s´ olo si A es una matriz ortogonal.

7.5

Observaci´ on

Si A = (aij )1≤i,j ≤n ∈ Mn×n (R), entonces At = (bij = aji )1≤i,j ≤n y At A = (cij )1≤i,j ≤n donde cij =

n X k=1

bik akj =

n X k=1

aki akj = ci · cj

donde ci · cj es el producto escalar usual en Rn de las columnas ci y cj de la matriz A. Por lo tanto, una matriz es ortogonal si sus columnas forman una base ortonormal en Rn con el producto escalar usual.

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7.6

2

Lema

La matriz de un cambio de base entre bases ortonormales es ortogonal.

7.7

Teorema

Sea f : V −→ V una aplicaci´ on sobre el espacio eucl´ıdeo (V, < · , · >). Entonces, la aplicaci´ on f es ortogonal si y s´ olo si conserva la norma, es decir: f es ortogonal ⇐⇒ kf(v)k = kvk , ∀v ∈ V Demostraci´ on: (⇒) Si f es ortogonal, entonces kf(v)k =

p

< f (v), f (v) > =

√ < v, v > = kvk

para todo v ∈ V , es decir conserva la norma. (⇐) Si f conserva la norma: kf(u − v)k2 =< f (u − v), f (u − v) >=< f (u) − f(v), f (u) − f(v) >

= kf(u)k2 + kf (v)k2 − 2 < f (u), f (v) >= kuk2 + kvk2 − 2 < f (u), f (v) >

ku − vk2 =< u − v, u − v >= kuk2 + kvk2 − 2 < u, v > y, puesto que kf(u − v)k = ku − vk, entonces < f (u), f (v) >=< u, v > para cualesquiera u, v ∈ V , es decir f es ortogonal.

7.8

Observaci´ on

Las aplicaciones ortogonales conservan normas, distancias, a´ngulos.

7.9

Teorema

Sea f : V −→ V una aplicaci´ on sobre el espacio eucl´ıdeo (V, < · , · >). Entonces, la aplicaci´ on f es ortogonal si y s´ olo si transforma bases ortonormales en bases ortonormales. Demostraci´ on: (⇒) Si f es ortogonal, y B = {e1 , e2 , . . . , en } es una base ortonormal, entonces: ( 0 , si i 6= j < f (ei ), f (ej ) >=< ei , ej >= 1 , si i = j de donde se deduce que {f(e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )} es una base ortonormal. (⇐) Si B = {e1 , e2 , . . . , en } es una base ortonormal, entonces f(B) = {f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en )} Pn P tambi´en es una base ortonormal, y si u = i=1 xi ei y v = ni=1 yi ei son vectores de V , se cumple que n X < u, v >=< (x1 , x2 , . . . , xn )B , (y1 , y2 , . . . , yn )B >= xi yi i=1

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y tambi´en que < f (u), f (v) > =< =

n X

xi f(ei ),

n X

yi f(ej ) >=< (x1 , x2 , . . . , xn )f (B) , (y1 , y2 , . . . , yn )f (B) >

i=1

i=1 n X

xi yi

i=1

luego < f (u), f (v) >=< u, v >, y la aplicaci´ on f es ortogonal.

7.10

Ejemplos de aplicaciones ortogonales

Sea Rn con el producto escalar usual respecto de su base can´ onica. 1. En R2 , el giro de centro el origen y a´ngulo α es una aplicaci´ on ortogonal. Usando n´ umeros complejos, la imagen de x + iy mediante un giro centrado en el origen de a´ngulo α es eiα(x + iy ) = (cos α + i sin α)(x + iy) = (x cos α − y sin α) + i(x sin α + y cos α) y, volviendo al plano R2 , la ecuaci´ on del giro en la base can´onica es: µ ¶µ ¶ cos α − sin α x Gα(x, y) = y sin α cos α 2. En R2 , la simetr´ıa respecto de la recta r ≡ ax + by = 0 (que pasa por el origen) es una aplicaci´ on ortogonal. Puesto que u1 = (b, −a) es el vector de direcci´ on de la recta y u2 = (a, b) el vector perpendicular, se tiene que Sr (u1 ) = u1 y Sr (u2 ) = −u2 , luego la matriz de la simetr´ıa respecto de la base B = {u1 = (b, −a), u2 = (a, b)} es µ ¶ 1 0 A = M (Sr , B) = 0 −1 Teniendo en cuenta el diagrama: A

(R2 )B −−−−→ (R2 )B x   −1  P yP

siendo

P = M (B, Bc ) =

C (R2 )B c −−−−→ (R2 )B c

µ

b a −a b

¶

se tiene que: C = M (Sr , Bc ) = P AP

−1

1 = 2 a + b2

µ 2 b − a2 −2ab

−2ab a2 − b2

¶

Luego la ecuaci´on de la simetr´ıa, respecto de la recta r ≡ ax + by = 0, en la base can´onica es: µ 2 ¶µ ¶ 1 b − a2 −2ab x Sr (x, y) = 2 a + b2 −2ab a2 − b2 y

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4

3. En R3 , un giro cuyo eje pasa por el origen es una aplicaci´ on ortogonal. Sean α y r ≡ L ({u1 }), con ku1 k = 1, el ´angulo y eje de giro. Completando el vector de direcci´ on del eje hasta formar una base B = {u1 , u2 , u3 } ortonormal que verifique |P | > 0, donde P = (u1 , u2 , u3 ) = M (B, Bc ), las matrices del giro respecto de esta base y la can´ onica son:   1 0 0 y M (Gr,α, Bc ) = P AP −1 M (Gr,α, B) = A =  0 cos α − sin α 0 sin α cos α

4. En R3 , la simetr´ıa respecto del plano π ≡ L ({u1 , u2 }) (que pasa por el origen) es una aplicaci´ on ortogonal. A˜ nadiendo a los vectores de direcci´ on del plano un vector u3 , que sea ortogonal a ambos, se obtiene una base B = {u1 , u2 , u3 } respecto de la cual la matriz de la simetr´ıa es   1 0 0 M (Sπ , B) = A = 0 1 0  0 0 −1 La matriz respecto de la base can´ onica ser´a: M (Sπ , Bc ) = P AP −1

7.11

donde

P = (u1 , u2 , u3 ) = M (B, Bc )

Teorema

El determinante de una matriz ortogonal es ±1. Demostraci´ on: Si A ∈ Mn×n (R) es una matriz ortogonal se cumple que At A = I, y tomando determinantes: ¯ ¯ ¯At A¯ = |A|2 = 1 =⇒ |A| = ±1

7.12

Teorema

Los autovalores reales de una aplicaci´on ortogonal s´ olo pueden ser 1 o −1. Demostraci´ on: Si λ ∈ R es un autovalor de la aplicaci´on ortogonal f : V −→ V , existen autovectores no nulos v ∈ V tales que f(v) = λv. Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan la norma: kvk = kf(v)k = kλvk = |λ| · kvk =⇒ |λ| = 1 =⇒ λ = ±1

7.13

Clasificaci´ on de las aplicaciones ortogonales en R2

Sea f : R2 −→ R2 una aplicaci´ on ortogonal cuya matriz respecto de una base ortonormal es A, es decir: µ ¶ µ ¶ a b x con A= f(x, y) = A y c d siendo At A = I y |A| = ±1. Puesto que At = A−1 , se ha de cumplir que ¶ ½ ¶ µ µ 1 b = −c |A| d −b a c = =⇒ d = a |A| −c a b d |A|

Luego la matriz de la aplicaci´ on ortogonal, respecto de una base ortonormal, ser´a: µ ¶ a −c |A| con |A| = ±1 A= c a |A|

Pueden presentarse dos casos:

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1. Si |A| = 1, entonces ¶ µ a −c A= c a

con

|A| = a2 + c2 = 1

luego existe un u ´ nico α ∈ [0, 2π) tal que a = cos α y c = sin α de donde µ ¶ cos α − sin α A= sin α cos α y la aplicaci´ on ortogonal es un giro, centrado en el origen, de a´ngulo α con traza(A) = 2a = 2 cos α =⇒ α = arccos

traza(A) 2

donde la traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal principal. 2. Si |A| = −1, entonces ¶ µ a c A= c −a

con

|A| = −(a2 + c2 ) = −1

y

P (λ) = λ2 − 1

Sus autovalores son λ = 1 y λ = −1, y existir´an autovectores u1 y u2 tales que ½ f(u1 ) = u1 y u1 · u2 = 0 f(u2 ) = −u2 ya que las aplicaciones ortogonales conservan el producto escalar: f (u1 ) · f (u2 ) = u1 · u2 =⇒ u1 · (−u2 ) = u1 · u2 =⇒ −(u1 · u2 ) = u1 · u2 =⇒ u1 · u2 = 0 Luego la aplicaci´ on ortogonal es una simetr´ıa respecto de la recta r ≡ L ({u1 }) = S (1), donde S(1) es el subespacio propio asociado al autovalor λ = 1. En resumen, se tiene la siguiente clasificaci´ on: Aplicaci´ on ortogonal traza(A) |A| = 1 Giro de centro el origen y ´angulo α = arccos 2 |A| = −1 Simetr´ıa respecto de recta r ≡ S (1) En el caso particular de un giro de a´ngulo α = 0, la aplicaci´on ortogonal es la identidad.

7.14

Clasificaci´ on de las aplicaciones ortogonales en R3

Sea f : R3 −→ R3 una aplicaci´ on ortogonal cuya matriz respecto de una base ortonormal es A, es decir:   x con At A = I f(x, y, z) = A y  z

Puesto que los autovalores reales de A s´olo pueden ser ±1, y el polinomio caracter´ıstico tiene grado 3, alguno de ellos debe ser 1 o −1. Si S(1) = Ker(A − I) es el subespacio propio asociado a λ = 1, se pueden presentar los siguientes casos:

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1. Si dim S(1) = 3, la aplicaci´ on ortogonal es la identidad y A = I . 2. Si dim S(1) = 2, se considera una base ortonormal B = {u1 , u2 , u3 }, siendo S(1) = L ({u1 , u2 }). Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales: f (B) = {f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} = {u1 , u2 , f (u3 )} es ortonormal =⇒ f(u3 ) = −u3 ya que f(u3 ) 6= u3 al ser dim S(1) = 2. Luego la aplicaci´on ortogonal f es una simetr´ıa respecto del plano π ≡ S(1) y su matriz respecto de la base B es   1 0 0 M (f, B) = 0 1 0  0 0 −1 3. Si dim S(1) = 1, se considera una base ortonormal B = {u1 , u2 , u3 }, siendo S(1) = L ({u1 }) y |(u1 , u2 , u3 )| > 0. Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales: f (B) = {f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} = {u1 , f (u2 ), f (u3 )} es ortonormal. Por lo tanto L ({f(u2 ), f (u3 )}) = L ({u2 , u3 }) = S(1)⊥ y la aplicaci´ on f en el plano S(1)⊥ , que no puede ser una simetr´ıa, es un giro centrado en el origen. Luego la aplicaci´ on ortogonal f es un giro con eje en la recta r ≡ S(1) y su matriz respecto de la base B es   1 0 0 M (f, B) = 0 cos α − sin α  0 sin α cos α Puesto que las matrices asociadas a un endomorfismo respecto de cualquier base tienen la misma traza, se ha de cumplir que 1 + 2 cos α = traza(A) =⇒ α = arccos

traza(A) − 1 2

4. Si dim S(1) = 0, entonces λ = −1 es autovalor, ya que λ = 1 no puede serlo. Se considera una base ortonormal B = {u1 , u2 , u3 }, siendo u1 ∈ S(−1) y |(u1 , u2 , u3 )| > 0. Puesto que las aplicaciones ortogonales conservan bases ortonormales: f (B) = {f (u1 ), f (u2 ), f (u3 )} = {−u1 , f (u2 ), f (u3 )} es ortonormal. Por lo tanto L ({f(u2 ), f (u3 )}) = L ({u2 , u3 }) = L ({u1 })⊥ y la aplicaci´ on f en el plano L ({u1 })⊥ es un giro centrado en el origen. Luego la aplicaci´on ortogonal f es una simetr´ıa respecto del plano π ≡ L ({u1 })⊥ compuesta con un giro de eje la recta r ≡ L ({u1 }), y su matriz respecto de la base B es   −1 0 0 M (f, B) =  0 cos α − sin α  0 sin α cos α

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Puesto que las matrices asociadas a un endomorfismo respecto de cualquier base tienen la misma traza, se ha de cumplir que −1 + 2 cos α = traza(A) =⇒ α = arccos

traza(A) + 1 2

En el caso particular de que α = π, entonces   −1 0 0 M (f, B) =  0 −1 0  0 0 −1

y f es una simetr´ıa central con centro en el origen. En este caso dim S(−1) = 3.

En resumen, se tiene la siguiente clasificaci´ on: dim S(1) 3 2

dim S(−1) 0 1

1

0 o´ 2

0

1

0

3

Aplicaci´ on ortogonal Identidad Simetr´ıa respecto del plano π ≡ S (1)

traza(A)−1

Giro de eje r ≡ S(1) y a´ngulo α = arccos 2 Simetr´ıa respecto del plano π ≡ S(−1)⊥ compuesta con traza(A)+1 giro de eje r ≡ S(−1) y a´ngulo α = arccos 2 Simetr´ıa central, con centro el origen...