Familias de Curvas Ortogonales PDF

Preview

Summary

Guía 1D Familia de Curvas Ortogonales ...

Description

Guía 1D Familia de Curvas Ortogonales Diego Vallejo, Melina Podestá, Eva Almirón 2do. Semestre 2015

Líneas de fuerza (color violeta) en conjunto con las líneas de igual potencial eléctrico (color amarillo) para un conjunto de seis cargas eléctricas iguales colocadas en los vértices de un hexágono. http://physics.stackexchange.com/ questions/ 108929/ electric- fieldinside- a-regular- polygon- with- cornercharges

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

Trayectos Ortogonales. Energía potencial y líneas Verticales. Presión y líneas de Corriente. Supongamos que queremos estudiar la dinámica de un cuerpo puntual cerca del suelo terrestre. En la dirección horizontal dibujemos el eje x mientras que en la vertical el eje y. En Física se puede analizar esta situación mediante una familia de curvas: las curvas equipotenciales o curvas de igual energía potencial, definidas de tal modo que a lo largo de una de esas líneas dada, no varía la Energía potencial: es mgy = Ep = Constante (en este caso son líneas de igual altura, o sea rectas paralelas al suelo). También resultan útiles las rectas verticales (paralelas al vector Peso P = mg). Es interesante ver una analogía de esta situación con el flujo de agua en un conducto por diferencia de presión. Nuevamente hay dos familias de curvas: Las isobaras (líneas de igual presión) que se cortan con otra familia de curvas (las líneas tangentes a los vectores velocidad del agua).

¿Qué propiedad relaciona estas dos familias de curvas? Y además, matemáticamente: ¿Qué significa que dos líneas curvas se corten en ángulo recto? Tomate un tiempo para pensarlo, podés crear ejemplos, de curvas que se cortan...

2 /10

2

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

Dos rectas perpendiculares. Dos curvas perpendiculares... Situación ∢ Considere dos rectas que se cortan en ángulo recto, como se ve en el dibujo. 1. Calcule las pendientes de cada recta.

2. ¿Qué relación hay entre sus pendientes? 3. Y para un caso cualquiera en que las dos rectas son perpendiculares? Qué miraría usted en la ecuación de ambas rectas para saber si son perpendiculares? 4. Si una de las rectas posee pendiente 3, la otra qué pendiente tendrá? Y si una tiene una pendiente cualquiera m, la otra ¿qué pendiente poseerá? 5. ¿Cuánto vale el producto de las pendientes de dos rectas que se cortan en ángulo recto? Ahora considere que estas dos rectas son rectas tangentes a dos curvas dadas que pasan por el mismo punto.

3 /10

3

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

4

1. Dado que la recta R1 es tangente a la curva C1 ¿Qué relación matemática tiene esa recta R1 con la curva C1? Y, del mismo modo, ¿cuál es la relación habrá entre la recta R2 y la curva C2?. 2. Supongamos que la curva C1 tiene la ecuación y = y 1 ( x ). ¿Cuál será la pendiente de la recta R1? ¿Evaluada en qué valor de x? Y si la curva C2 tiene ecuación y = y 2 ( x ) ¿Cuál será la pendiente de la recta R2? ¿Evaluada en qué valor de x? 3. ¿Qué relación habrá entre y1′( x ) y la y 2′ ( x )?

Ejemplo  Supongamos que y 1 ( x ) = x2 y que y 2 ( x ) = 1/x. 1. ¿En qué punto se cortan? 2. Graficá la situación. 3. Las gráficas de cada función ¿Tienen recta tangente en el punto de corte? Graficá las rectas tangentes. 4. ¿Podés utilizar el concepto de derivada para saber si se cortan en forma ortogonal (es decir perpendicular, en ángulo recto)? 5. ¿Podés verificar lo anterior midiendo en el gráfico?

Una “Asociación” entre Familia de Curvas y Ecuación Diferencial Situación ∢ Hasta ahora hemos estudiado métodos para Resolver es decir hallar la Solución General para una Ecuación Diferencial conocida. Si graficamos una Solución General tendremos una Familia de Curvas, es decir: Ecuación Diferencial −→ Familia de Curvas. Así como la Derivación tiene como operación inversa a la Integración, y elevar al cuadrado, tiene como inversa a la raíz cuadrada, ¿habrá una operación inversa para este proceso? O sea: ¿Podremos obtener la Ecuación Diferencial a partir de la ecuación de la Familia de Curvas? Investigaremos cómo podría hacerse este proceso:

4 /10

Concepto previo: Cómo medir ángulos rectos: podés utilizar un transportador... y si no tenés... hoja doblada dos veces... y si no?

 En Síntesis: Si el producto de las pendientes de dos rectas vale −1, ambas rectas son ortogonales o perpendiculares (se cortan en ángulo recto)

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

5

1. Sea la familia de curvas y = 3x + C . a) Derivala. b) Comprobá que la constante indeterminada C ya no está más. Esa ecuación quedará y ′ = 3. c) Notemos que y ′ = 3 es una ecuación, y contiene una derivada. Por lo tanto es una Ecuación Diferencial. Diremos que y ′ = 3 es la Ecuación Diferencial Asociada a la Familia de curvas y = 3x + C. d) Eso significa que todas las curvas (en este caso son líneas rectas) de la familia comparten una característica: ¿Podrías decir cuál es? 2. Sea la familia de curvas y = mx . a) Qué clase de curvas son? b) ¿Qué tienen en común todas ellas? c) Derivá la ecuación. ¿Pudiste eliminar la constante indeterminada m? d) O sea, te quedaste con estas dos ecuaciones...  y = mx y ′ = m ¿qué podrías hacer para eliminar la m?

e) A estas alturas podrías tener escrita en tu carpeta una ecuación. Nuevamente es una Ecuación Diferencial asociada con la Familia de curvas y = mx . O sea, mediante el proceso de “Derivar-Eliminar” podemos obtener una Ecuación Diferencial a partir de la ecuación de una Familia de Curvas, (que en este curso también la llamamos “Solución General”).

→ ֒ Definición Diremos que una Familia de curvas y una E cuación diferen cial están asociadas: 1. Si al resolver una ecuación diferencial obtenemos a la familia de curvas como solución general, o,

Derivar-Eliminar la Constante

Ecuación Diferencial

Familia de Curvas

2. si al derivar y eliminar la constante indeterminada de la familia de curvas obtenemos la ecuación diferencial.

Resolver la ED

5 /10

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

Ejercitación ⊞ Para cada Familia de Curvas halla su Ecuación diferencial asociada: 1. y = Cx 2

2. y = Ce x

3. xy = C

4. y = C ln( x )

Ahora, con dos familias de trayectos Hasta ahora sabemos verificar si dos curvas que se cortan, se cortan en ángulo recto, mediante el chequeo de si las pendientes de sus tangentes, multiplicadas entre sí dan −1. Ahora consideremos que en vez de tener dos curvas, tenemos dos familias de curvas. 4

Situación ∢

1. ¿Qué tipo de curvas son? (ej: exponenciales, trigonométricas, lineales, polinómicas...) 2. Si tomas una recta cualquiera de la Familia 1 y una recta cualquiera de la Familia 2 ¿Cuánto vale el producto de sus pendientes? ¿Importa que recta tomes? * S ituación 2 : Consideremos nuevamente (fijate en el item 2, en la página 5) la Familia de curvas 1 dada por y = mx . 3. ¿Qué tipo de curvas son? 4. Grafica tres curvas de la familia para m = 0, m = 1/2, m = 1. 5. La Familia de curvas 2 está dada por: x2 + y 2 = r2 . ¿Qué tipo de curvas son? 6. Graficá tres curvas para r = 1, r = 2, r = 3. 7. Mirando el gráfico, ¿te parece que son Familias de curvas ortogonales?

6 /10

2 y

* S ituación 1 : Sea la familia de curvas 1: y = 2x + C y la familia de curvas 2: 1 y = − x + C. 2

0

−2

−2

0

2

4

x Dos Familias de Rectas Ortogonales.

6

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

7

8. Mirando sus ecuaciones qué podrías hacer para saber si son familias de curvas ortogonales? Si no se te ocurre qué hacer con las familias... ¿que podrías hacer tomando una curva en particular de cada familia? Esas dos curvas, se cortan en ángulo recto? Y mirando ese caso particular, podrías deducir qué pasará (si son ortogonales o no) en el caso de las familias de curvas?

En base a lo trabajado en la ejercitación anterior,

→ ֒ Definición Familias de Curvas ortogonales: Son aquellas que en todo punto de corte sus tangentes tienen pendientes cuyo producto es −1. Es decir que admiten derivadas y verifican que: y ′1 y2′ = −1

Ejemplo  Consigna: Verifica si las Familias de Curvas de la Situación 2 son Familias de Curvas Ortogonales. Solución: 1. Para las Familias de curvas de la Situación 2, calculemos sus derivadas: Familia de Curvas 1

x 2 + y 2 = r2

y = mx

2x + 2yy ′ = 0

y′ = m y = y′ x y y′ = x

Familia de Curvas 2

(lo hicimos en pág 5)

x + yy ′ = 0 x y′ = − y

y x y multiplicando las dos derivadas (− ) = −1. Por la definición x y anterior, son dos Familias de curvas ortogonales. Veamos el gráfico:

Concepto previo: Derivada implícita: ¿Como hacés para derivar cuando no está despejada ninguna variable? Por ejemplo ¿cómo hacés para hallar la pendiente de la tangente (y ′ ) en un punto de la ecuación de una circunferencia: x2 + y2 = 9 ? y

x

Ejercitación ⊞ Determiná si las siguientes Familias de Curvas son ortogonales 1. y = Cx 2

y

y = Ce x

2. y = Cx 2

y

x2 y 2 =1 + k 2k

Las Familias de rectas que pasan por el origen y de Circunferencias con centro en el origen son Familias ortogonales.

7 /10

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

3. xy = C

y

guía 1d familia de curvas ortogonales

8

x2 − y 2 = C

(AGREGAR EJERCICIOS)

Ejemplo  Consigna: Encuentra y grafica la familia de curvas ortogonal a la y2 x2 = 1. + familia de curvas: C 3C Solución: Previamente, identifiqué qué tipo de curvas son. Fui al sitio web de wolframalpha y tipeé:

y 2

x^2/3+y^2=1, x^2/6+y^2/2=1, x^2/9+y^2/3=1

1

-3

¿Porqué escribí eso?

-2

1

-1

2

3

x

-1

Ahí ví que son elipses centradas en el origen.

-2

1. Hallamos la Ecuación Diferencial ED1 Asociada a la Familia de curvas FC1 (las Elipses):

Familia de Elipses con centro en el origen.

y2 x2 =1 + C 3C derivo 2x 2yy ′ =0 + C 3C multiplico por

C en ambos lados 2 x + yy ′ = 0 3 x [ED1 asociada a FC1] y′ = − 3y

2. Hallamos la Ecuación Diferencial ED2 Asociada a la FC2 (que aún no conocemos), reemplazando −1/y ′ donde dice y ′ (¿porqué?)

−

x 1 =− ′ 3y y 3y y′ = x

[ED2 asociada a FC2]

3. Resuelvo (¿Por cuál método puedo resolverla? ¿Separable, Lineal, Euler?)

8 /10

Concepto previo: ¿Cómo te llevás con las propiedades de los Logaritmos? ¿Opinás que las vamos a utilizar en este curso o no? Si no te las acordás ¿sería conveniente repasarlas? ¿Cuándo?

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

3y x 3y dy dx = dx dx x 1 1 dy = 3 dx y x Z Z 1 1 dy = 3 dx y x y′ =

ln y = 3 ln x + C ln y = ln x3 + ln k

Llamaremos ln k a C

3

ln y = ln(k.x ) y = k.x3

[Familia de Curvas FC2]

Veamos el gráfico en el margen donde incluímos tres curvas de la Familia de Curvas FC2. ¿Qué signo tiene k para las tres curvas del gráfico? ¿Cómo serían las curvas si k fuera negativo? ¿Y si k = 0 ? ¿Quedaría una solución de la Ecuación Diferencial?

y 2

1

-3

Ejercitación ⊞

-2

1

-1

2

3

x

-1

Hallá la Familia de Curvas ortogonal a la Familia dada. Graficá ambas familias en el mismo gráfico. ¿Podrías utilizar el gráfico para verificar que las familias son ortogonales? 1. x2 + (y − 1)2 = r2

3. y − 1 = m( x + 2)

2. y = Ce − x

4. y 2 = Cx 3

9 /10

-2

Las Familias de elipses y de curvas cúbicas son familias de curvas ortogonales.

9

Matemática III - 2 ◦ cuatrimestre 2015

guía 1d familia de curvas ortogonales

10

Y volviendo a la figura de la primera página, donde están dos familias de curvas representadas: las trayectorias de igual potencial eléctrico y las líneas de fuerza (siempre tangentes a los vectores Campo Eléctrico). Por Física II sabemos que ambas deben ser Familias de Curvas Ortogonales... entonces:

¿Está bien trazada esa figura? Si dijiste que si, ¿Porqué sí? Si dijiste que no... ¿porqué no? Para comparar aquí tenés otra figura. Líneas de igual potencial eléctrico y líneas de fuerza del campo, para una carga cerca de una pared conductora.

10 /10...