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Instructor’s Manual to accompany

Fundamental Methods of Mathematical Economics Fourth Edition

Alpha C. Chiang University of Connecticut Kevin Wainwright British Columbia Institute of Technology

Title of Supplement to accompany FUNDAMENTAL METHODS OF MATHEMATICAL ECONOMICS Alpha C. Chiang, Kevin Wainwright Published by McGraw-Hill, an imprint of The McGraw-Hill Companies, Inc., 1221 Avenue of the Americas, New York, NY 10020. Copyright  2005, 1984, 1974, 1967 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. The contents, or parts thereof, may be reproduced in print form solely for classroom use with FUNDAMENTAL METHODS OF MATHEMATICAL ECONOMICS provided such reproductions bear copyright notice, but may not be reproduced in any other form or for any other purpose without the prior written consent of The McGraw-Hill Companies, Inc., including, but not limited to, in any network or other electronic storage or transmission, or broadcast for distance learning.

ISBN 0-07-286591-1 (CD-ROM)

www.mhhe.com

Contents CONTENTS

1

CHAPTER 2

6

Exercise 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Exercise 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Exercise 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

CHAPTER 3

9

Exercise 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Exercise 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Exercise 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Exercise 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

CHAPTER 4

13

Exercise 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Exercise 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Exercise 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Exercise 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Exercise 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Exercise 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Exercise 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

CHAPTER 5

22

Exercise 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Exercise 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Exercise 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Exercise 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Exercise 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Exercise 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Exercise 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

CHAPTER 6

32

1

Exercise 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Exercise 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Exercise 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Exercise 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Exercise 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

CHAPTER 7

35

Exercise 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Exercise 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Exercise 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Exercise 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Exercise 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Exercise 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

CHAPTER 8

40

Exercise 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Exercise 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Exercise 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Exercise 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Exercise 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Exercise 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

CHAPTER 9

51

Exercise 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Exercise 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Exercise 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Exercise 9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Exercise 9.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

CHAPTER 10

56

Exercise 10.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Exercise 10.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Exercise 10.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

Exercise 10.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2

Exercise 10.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Exercise 10.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Exercise 10.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

CHAPTER 11

63

Exercise 11.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Exercise 11.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Exercise 11.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Exercise 11.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Exercise 11.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Exercise 11.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

CHAPTER 12

76

Exercise 12.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

Exercise 12.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Exercise 12.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Exercise 12.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Exercise 12.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Exercise 12.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

CHAPTER 13

87

Exercise 13.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Exercise 13.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Exercise 13.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

CHAPTER 14

92

Exercise 14.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Exercise 14.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

Exercise 14.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

Exercise 14.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

Exercise 14.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

CHAPTER 15 Exercise 15.1

98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

98

Exercise 15.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Exercise 15.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

Exercise 15.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

Exercise 15.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

Exercise 15.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

Exercise 15.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

CHAPTER 16

106

Exercise 16.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106

Exercise 16.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Exercise 16.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

Exercise 16.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

Exercise 16.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

Exercise 16.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

Exercise 16.7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

CHAPTER 17

117

Exercise 17.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

Exercise 17.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

Exercise 17.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

Exercise 17.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

Exercise 17.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

CHAPTER 18

123

Exercise 18.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

Exercise 18.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

Exercise 18.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

Exercise 18.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

CHAPTER 19

129

Exercise 19.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

Exercise 19.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

Exercise 19.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

Exercise 19.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

4

Exercise 19.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPTER 20 Exercise 20.2

138

141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

141

Chiang/Wainwright: Fundamental Methods of Mathematical Economics

Instructor’s Manual

CHAPTER 2

Exercise 2.3

1.

(a)

{x | x > 34}

(b)

{x | 8 < x < 65}

2. True statements: (a), (d), (f), (g), and (h) 3.

(a) {2,4,6,7}

(b) {2,4,6}

(c) {2,6}

(d) {2}

(e) {2}

(f ) {2,4,6}

4. All are valid. 5. First part:

A

∪ (B ∩ C ) = {4, 5, 6} ∪ {3, 6} = {3, 4, 5, 6} ; and (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) = {3, 4, 5, 6, 7} ∩

{2, 3, 4, 5, 6} = {3, 4, 5, 6} Second part:

A

∩

(B

{4, 6} ∪ {6} = {4, 6}

∪

too.

C)

=

{4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4, 6, 7}

=

{4, 6}

; and (A

∩

B)

∪

(A

∩

C)

=

too.

6. N/A 7.

∅, {5}, {6}, {7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {5, 6, 7}

4 8. There are 2 = 16 subsets:

∅,

{a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d},

{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, and {a,b,c,d}. 9. The complement of

∈ /

U

˜ = is U

{x | x ∈ / U }.

Here the notation of ”not in

U”

is expressed via the

symbol which relates an element (x) to a set (U ). In contrast, when we say ”∅ is a subset

of U,” the notion of ”in U” is expressed via the

⊂

symbol which relates a subset(∅) to a set

(U ). Hence, we have two different contexts, and there exists no paradox at all.

Exercise 2.4

1.

(a) {(3,a), (3,b), (6,a), (6,b) (9,a), (9,b)} (b) {(a,m), (a,n), (b,m), (b,n)} (c) { (m,3), (m,6), (m,9), (n,3), (n,6), (n,9)}

2. {(3,a,m), (3,a,n), (3,b,m), (3,b,n), (6,a,m), (6,a,n), (6,b,m), (6,b,n), (9,a,m), (9,a,n), (9,b,m), (9,b,n),}

6

Chiang/Wainwright: Fundamental Methods of Mathematical Economics

3. No. When

S

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1 = S 2.

4. Only (d) represents a function. 5. Range =

{y | 8 ≤ y ≤ 32}

6. The range is the set of all nonpositive numbers. 7. (a) No.

(b) Yes.

8. For each level of output, we should discard all the inefficient cost cost

figure

figures, and take

the lowest

as the total cost for that output level. This would establish the uniqueness as

required by the definition of a function.

Exercise 2.5

1. N/a 2. Eqs. (a) and (b) differ in the sign of the coefficient of x; a positive (negative) sign means an upward (downward) slope. Eqs. (a) and (c) differ in the constant terms; a larger constant means a higher vertical intercept. 3. A negative coefficient (say, -1) for the

x

2

term is associated with a hill. as the value of x is

steadily increased or reduced, the −x2 term will exert a more dominant influence in determining

the value of y. Being negative, this term serves to pull down the y values at the two extreme ends of the curve. 4. If negative values can occur there will appear in quadrant III a curve which is the mirror image of the one in quadrant I. 5.

(a)

x

19

6.

(a)

x

6

a+b+c

(b) (b)

(c) (xyz )3

x

1/6

x

7. By Rules VI and V, we can successively write we also have

m/n = (x1/n )m = ( √ n x) m

x

√ m/n = (xm)1/n = n xm ; by the same two rules,

x

8. Rule VI:

m n=

(x )

x

|

m

× x m{z × ... × xm} n term s

7

=

x

|

mn ×x× ... × x = x {z } mn

term s

Chiang/Wainwright: Fundamental Methods of Mathematical Economics

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Rule VII:

m× m

x

y

× {z × ×}×| ×

=

|x

=

(xy )

|

x

...

m terms

×(

8

x

× {z

xy )

...

m terms

y

y...

{z

×}

m terms

×(

xy ) =

}

y

(xy )

m

Chia...