ANALISIS RANGKAIAN WAKTU (TIME SERIES ANALYSIS PDF

Preview

Summary

BAB 5 ANALISIS RANGKAIAN WAKTU (TIME SERIES ANALYSIS) Kompetensi Menjelaskan konsep dasar time series. Indikator 1. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: trend linear. 2. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: trend non linear. 3. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: varia...

Description

BAB 5

ANALISIS RANGKAIAN WAKTU (TIME SERIES ANALYSIS) Kompetensi Menjelaskan konsep dasar time series.

Indikator 1. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: trend linear. 2. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: trend non linear. 3. Menjelaskan konsep dasar time series analysis: variasi musim untuk peramalan.

A. Pendahuluan Dalam peramalan, biasanya orang akan mendasarkan diri pada pola atau tingkah laku data pada masa-masa lampau. Data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu disebut rangkaian waktu atau time series. Data tersebut memiliki variasi (gerakan) yang berbeda. Secara umum variasi (gerakan) dari data rangkaian waktu tersebut terdiri dari: 1. Trend jangka panjang (trend sekular) adalah suatu garis (trend) yang menunjukkan arah perkembangan secara umum.

68

2. Variasi musim adalah suatu gerakan yang naik turun secara teratur yang cenderung untuk terulang kembali dalam jangka waktu tidak lebih dari 1 tahun. 3. Variasi siklis adalah suatu gerakan yang naik turun secara teratur yang cenderung untuk terulang kembali setelah jangka waktu lebih dari 1 tahun. 4. Variasi random adalah suatu gerakan yang naik turun secara tiba-tiba atau mempunyai sifat yang sporadis sehingga biasanya sulit untuk diperkirakan sebelumnya.

Analisis rangkaian waktu mencoba menentukan pola hubungan antara waktu sebagai variabel bebas (independent variable) dengan suatu data sebagai variabel tergantung (dependent variable).

Artinya besar-kecilnya

data tersebut dipengaruhi oleh waktu.

B. Trend Linier Trend linier merupakan garis peramalan yang sifatnya linier sehingga secara

Y' = a + bX

matematis bentuk fungsinya adalah:

Keterangan: Y’

= nilai trend periode tertentu = nilai peramalan pada periode tertentu

a

= konstanta = nilai trend pada periode dasar

b

= koefisien arah garis trend = perubahan trend setiap periode

X

= unit periode yang dihitung dari periode dasar.

Secara umum penulisan hasil analisis trend linier adalah: Y’ = a + b X

69

Periode dasar: …….. Unit X

: ……..

Unit Y

: ……..

Metode untuk menentukan persamaan trend linier: 1. Metode bebas 2. Metode setengah rata-rata 3. Metode kuadrat terkecil

Berdasarkan ketiga metode tersebut yang memiliki tingkat penyimpangan antara peramalan dan observasi adalah metode kuadrat terkecil, sehingga hanya akan dibahas metode kuadrat terkecil (Least Square).

1. Trend Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) Peramalan dengan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan jumlah kuadrat kesalahan-kesalahan terkecil. Jika persamaan garis trend linier Y’ = a + bX, maka untuk menentukan harga konstanta a dan b dengan metode ini dapat menggunakan persamaan normal sbb: Σ Y = na + b ΣX

Σ XY = a ΣX + bΣX2 Keterangan: Y = harga-harga hasil observasi X = unit tahun yang dihitung dari periode dasar a = nilai trend pada periode dasar b = perubahan trend (koefisien arah garis) n = banyaknya data

70

Untuk menyederhanakan perhitungan, dibuat sedemikian rupa sehingga diperoleh ΣX = 0, sehingga harga a dan b menjadi:

a=

ΣY =Y n

b =

Σ XY ΣX 2

Dalam penentuan skala ΣX = 0 ada 2 kemungkinan, yaitu: a. Untuk data ganjil, angka nol diletakkan pada tahun yang di tengah, sehingga skala X nya menjadi tahunan. (selisih 1) Tabel 5.1 Skala X Untuk Data Ganjil Th

1997

1998

1999

2000

2001

Σ

X

-2

-1

0

1

2

0

b. Untuk data genap, maka angka nol pada skala X terletak antara 2 tahun yang di tengah sehingga skala X menjadi setengah tahunan. (selisih 2) Tabel 5.2 Skala X Untuk Data Genap Th

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Σ

X

-5

-3

-1

1

3

5

0

71

Contoh: a. Survei yang dilakukan PT Falma Indonesia menunjukkan bahwa permintaan terhadap Margarine sejak tahun 1999 sampai 2005 sbb: (dalam 000 ton) Tabel 5.3 Permintaan Margarine PT Falma Indonesia Tahun

Permintaan (000 Ton)

2001

200

2002

225

2003

295

2004

350

2005

410

2006

470

2007

510

Berdasarkan data di atas: 1) Gambarkan data tersebut. 2) Tentukan persamaan garis permintaan terhadap margarine dengan metode linier least square. 3) Berapa perkiraan permintaan terhadap margarine untuk tahun 2009?

72

Penyelesaian: 1) Gambar data permintaan margarine PT Falma Indonesia Permintaan 600 500 400 300 200 100 0 2000

Permintaan

2002

2004

2006

2008

Gambar 5.1 Permintaan Margarine PT Falma

2) Persamaan garis permintaan terhadap margarine dengan metode linier least square. Tabel 5.4 Perhitungan Persamaan Permintaan Margarine PT Falma Indonesia Tahun

Permintaan (000 Ton) Y

X

XY

X2

2001

200

-3

-600

9

2002

225

-2

-450

4

2003

295

-1

-295

1

2004

350

0

0

0

2005

410

1

410

1

2006

470

2

940

4

2007

510

3

1.530

9

Jumlah

2.460

0

1.535

28

73

a= b =

ΣY 2.460 =Y = = 351,43 n 7 Σ XY 1 . 535 = = 54 ,82 ΣX 2 28

Persamaannya:

Y = 351,43 + 54,82 X

Periode dasar : tahun 2004 Unit X

: tahunan

Unit Y

: ribuan ton / tahun

3) Perkiraan permintaan terhadap margarine untuk tahun 2009?

Y2009 maka nilai X = 5

Y 2009 = 351,43 + 54,82 (5) = 625,54 (ribuan ton)

Jadi perkiraan permintaan margarine tahun 2009 yaitu 625.540 ton margarine

74

b. Data jumlah produksi baju pada PT Lady selama beberapa tahun yaitu: Tabel 5.5 Jumlah Produksi PT Lady Tahun

Produksi (Unit)

2000

500

2001

560

2002

590

2003

620

2004

640

2005

680

2006

730

2007

750

1) Gambarkan data jumlah produksi PT Lady 2) Buatlah persamaan trendnya 3) Berapa perkiraan produksi tahun 2008?

Penyelesaian: 1) Gambar data jumlah produksi PT Lady Produksi 800 600 400

Produksi

200 0 1998 2000 2002

2004 2006 2008

Gambar 7.2 Produksi PT Lady

75

2) Persamaan trend Tabel 5.6 Perhitungan Persamaan Produksi PT Lady Tahun

Produksi (Y)

b =

XY

X2

2000

500

-7

-3.500

49

2001

560

-5

-2.800

25

2002

590

-3

-1.770

9

2003

620

-1

-620

1

2004

640

1

640

1

2005

680

3

2.040

9

2006

730

5

3.650

25

2007

750

7

5.50

49

5.070

0

2.890

168

Jumlah

a=

X

ΣY 5.070 =Y = = 633,75 n 8 Σ XY 2 . 890 = = 17 , 20 2 ΣX 168

Persamaannya:

Y = 633,75 + 17,20 X

Periode dasar : tahun 2003 - 2004 Unit X

: tahunan

Unit Y

: unit / tahun

76

3) Berapa perkiraan produksi tahun 2008? Y2008 maka nilai X = 9 Y = 633,75 + 17,20 (9) = 788,57 (dibulatkan 789) Jadi perkiraan produksi PT Lady tahun 2008 yaitu 789 unit

2. Merubah Persamaan Trend a. Perubahan periode dasar Persamaan awal: Y’ = a + b X Berdasarkan persamaan tersebut yang berubah hanya a yaitu nilai trend pada periode dasar. Bila periode dasar diubah, maka a diganti dengan nilai trend pada periode dasar yang baru. Sedangkan bilangan-bilangan yang lain tetap.

b. Perubahan satuan waktu 1) Jika persamaan trend tahunan (skala X tahunan): Y’ = a + b X Periode dasar: 2005 Unit X

: tahunan

Unit Y

: unit/tahun

Diubah menjadi a) Persamaan trend rata-rata bulanan:

Y' =

a b X + 12 12

Periode dasar: 2005 Unit X

: tahunan

Unit Y

: unit/bulan

77

b) Persamaan trend rata-rata kuartalan:

Y' =

a b + X 4 4

Periode dasar: 2005 Unit X

: tahunan

Unit Y

: unit/kuartal

c) Persamaan trend bulanan:

Y' =

a b X + 12 12 2

Periode dasar: 30/6 atau 1/7 2005 Unit X

: bulanan

Unit Y

: unit/bulan

d) Persamaan trend kuartalan:

Y' =

a b X + 4 42

Periode dasar: akhir kw II atau awal kw III th 2005 Unit X

: kuartalan

Unit Y

: unit/kuartal

2) Jika persamaan trend tahunan (skala X ½ tahunan): Y’ = a + b X Periode dasar: 2005 – 2006 Unit X

: ½ tahunan

Unit Y

: unit/tahun

Diubah menjadi a)

Persamaan trend rata-rata bulanan:

78

Y' =

a b X + 12 12

Periode dasar: 2005 – 2006 Unit X

: ½ tahunan

Unit Y

: unit/bulan

Besarnya akan sama dengan trend tahunannya dibagi 12.

b)

Persamaan trend rata-rata kuartalan:

Y' =

a b + X 4 4

Periode dasar: 2005 – 2006 Unit X

: ½ tahunan

Unit Y

: unit/kuartal

Hasilnya akan sama dengan trend tahunannya dibagi 4 c)

Persamaan trend bulanan:

Y' =

a b + X 12 1 ⎛ 2 ⎞ ⎜ 12 ⎟ ⎠ 2⎝

Periode dasar: 31/12 2005 atau 1/1 2006

d)

Unit X

: bulanan

Unit Y

: unit/bulan

Persamaan trend kuartalan:

Y' =

a b + X 4 1⎛ 2⎞ ⎜4 ⎟ 2⎝ ⎠

Periode dasar: awal kw I th 2005 Unit X

: kuartalan

Unit Y

: unit/kuartal

79

C. Trend Non Linier Trend non linier yaitu trend yang persamaannya berpangkat lebih dari satu. Dua jenis trend non linier yang akan dipelajari adalah trend parabolik (persamaannya berpangkat 2) dan trend eksponensiil (persamaannya berpangkat X).

1. Trend Parabolik Bentuk umum persamaan trend parabolik yaitu: Y’ = a + bX + cX2

Secara matematis dan sederhana, harga a dan b dapat dicari dengan asumsi bahwa Σ X = 0, sebagai berikut:

b=

ΣXY ΣX 2

ΣX 2 .ΣY − n.ΣX 2Y c= (ΣX 2 ) 2 + n.ΣX 4 a = Y−c

ΣX 2 n

80

Contoh soal: Data penjualan PT Ikhlas selama 13 tahun terakhir ditunjukkan dalam table 7. berikut ini: Tabel 5.7 Penjualan PT Ikhlas Tahun

Penjualan (000 unit) 150 165 177 189 199 220 235 219 197 188 178 167 151

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Berdasarkan data di atas: a. Gambarkan data penjualan PT Ikhlas. b. Buatlah persamaan trendnya.

c. Berapa ramalan penjualan PT Ikhlas tahun 2009?

81

Penyelesaian: a. Gambar data penjualan PT Ikhlas. Data Penjualan PT Ikhlas

Penjualan

250 200 150

Penjualan

100 50 0 1990

1995

2000

2005

2010

Tahun

Gambar 5.3 Data Penjualan PT Ikhlas

b. Persamaan trendnya. Tabel 5.8 Penjualan PT Ikhlas Tahun 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Jumlah

Penjualan (Y) 150 165 177 189 199 220 235 219 197 188 178 167 151 2.435

X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 0

XY -900 -825 -708 -567 -398 -220 0 219 394 564 712 835 906 12

82

X2 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 182

X2Y 5.400 4.125 2.832 1.701 796 220 0 219 788 1.692 2.848 4.175 5.436 30.232

X4 1.296 625 256 81 16 1 0 1 16 81 256 625 1.296 4.550

b=

ΣXY 12 = = 0,0659 ΣX 2 182

ΣX 2 .ΣY − n.ΣX 2Y (128x2.435) − (13x30.232) = c= = 0,5435 (ΣX 2 ) 2 + n.ΣX 4 (182) 2 + (13x4.550) 182 ΣX 2 2.435 ) = 179,7 a =Y −c = − (0,5435 x 13 13 n Persamaannya: Y = 179,7 + 0,0659 X + 0,5435 X2

c. Ramalan penjualan PT Ikhlas tahun 2009

Y 2009 maka X = 8 Y = 179,7 + 0,0659 (8) + 0,5435 (8)2 = 215,01 (dibulatkan menjadi 215) Ramalan penjualan PT Ikhlas tahun 2009 sebesar 215.000 unit

2. Trend Eksponensiil Bentuk umum persamaan trend eksponensiil adalah: Y’ = a. bx Apabila diubah dalam bentuk logaritma, maka persamaannya menjadi: Log Y’ = log a + X log b

Harga-harga a dan b dapat dicari dengan asumsi Σ X = 0 sebagai berikut:

Σ log Y = n log a

83

log a =

Σ log Y n

a = antilog a

Σ (X log Y ) = Σ ( X 2 ) log b log b =

Σ ( X log Y ) ΣX 2

b = antilog b

Contoh soal: Data penjualan PT Bintang selama beberapa tahun adalah sebagai berikut (data dalam ribuan):

84

Tabel 5.9 Penjualan PT Ikhlas Tahun 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Penjualan 150 160 170 190 210 230 244 255 260 270 270 270 270 270 272

Berdasarkan data di atas: a. Gambarkan data penjualan PT Bintang. b. Buatlah persamaan trendnya. c. Berapa ramalan penjualan PT Bintang tahun 2009? Penyelesaian: a. Gambar penjualan PT Bintang

85

Penjualan 300 250 200 150

Penjualan

100 50 0 1990

2000

2010

Gambar 5.4 Data Penjualan PT Bintang b. Persamaan Trend Tabel 5.10 Perhitungan Persamaan Trend Tahun 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Jumlah

Penjualan (Y) 150 160 170 190 210 230 244 255 260 270 270 270 270 270 272

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

86

Log Y 2,1761 2,2041 2,2304 2,2788 2,3222 2,3617 2,3874 2,4065 2,4150 2,4314 2,4314 2,4314 2,4314 2,4314 2,4346 35,3737

X Log Y -15,2326 -13,2247 -11,1522 -9,1150 -6,9667 -4,7235 -2,3874 0 2,4150 4,8627 7,2941 9,7255 12,1568 14,5882 17,0420 5,2821

X2 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 280

log a =

Σ log Y 35,3737 = = 2,3582 n 15

a = antilog a = antilog 2,3582 =

log b =

Σ ( X log Y ) 5, 2821 = = 0,0189 280 ΣX 2

b = antilog b = antilog 0,0189 =

D. Kriteria Memilih Trend Dalam memilih trend yang sebaiknya digunakan, ada 3 cara yaitu (Atmaja, 1997): 1. Menganalisis grafik data atau scatter-plot Jika data observasi cenderung menunjukkan gejala linier, kita sebaiknya menggunakan trend linier. Jika data observasi cenderung menunjukkan ciri-ciri bentuk kuadratik, gunakan trend kuadratik. Jika data observasi cenderung menunjukkan tidak linier dan tidak kuadratik, gunakan trendeksponensial. Perhatikan gambar berikut ini:

87

Gambar 5.5 Cenderung linier

Gambar 5.6 Cenderung kuadratik

Gambar 5.7 Cenderung eksponensial

2. Menganalisis selisih data

a. Jika selisih pertama data observasi cenderung konstan, gunakan trend linier 88

Contoh: Tabel 5.11 Perhitungan Selisih Trend Linier Y

Selisih Pertama

10 10 20 9 29 10 39 11 50 10 60

b. Jika selisih kedua dari data observasi cenderung konstan, gunakan trend kuadratik Contoh: Tabel 5.12 Perhitungan Selisih Trend Kuadratik Y

Selisih Pertama

Selisih Kedua

10 10 20

5 15

89

Y

Selisih Pertama

35

Selisih Kedua 5

20 55

5 25

80

5 30

110

5 35

145

c. Jika selisih pertama dari nilai logaritma data observasi cenderung konstan, gunakan trend eksponensial Contoh: Tabel 5.13 Perhitungan Selisih Trend Eksponensial Y 10

1

Log Y

15

1,176

25

1,398

40

1,602

80

1,903

Selisih Kedua 0,176 0,222 0,204 0,301 0,273

150 2,176 0,125 200 2,301

90

3. Menghitung Mean Square Error Menghitung Mean Square Error untuk setiap jenis trend, pilih garis trend yang

∑ (Yi − Yˆi ) MSE =

memberikan Mean Square Error (MSE) terkecil. 2

n

Dimana: Yi = observasi aktual periode i

Yˆi = nilai prediksi atau trend untuk periode i

n = jumlah observasi

E. Variasi Musim Variasi musim merupakan gerakan data yang naik turun secara teratur yang cenderung terulang kembali dalam jangka waktu kurang dari 1 tahun, misalnya bulanan, kuartalan dsb. Dalam mengukur derajat naik turunnya data biasanya dinyatakan dengan “indeks musim” atau IM. Harga rata-rata IM untuk setiap periode musiman akan sama dengan 100.

Dalam menghitung harga-harga IM dapat digunakan beberapa metode, yaitu: 1. metode rata-rata sederhana, 2. metode perbandingan dengan trend, 3. metode perbandingan dengan rata-rata bergerak, 4. metode relatif berantai Pembahasan akan dilakukan dengan menggunakan metode rata-rata sederhana.

1. Metode Rata-rata Sederhana Langkah-langkah menghitung indeks musim dengan menggunakan metode rata-rata sederhana yaitu:

91

a. Susun data dalam suatu tabel dengan baris periode musiman (bulanan, kuartalan dsb) dan kolom untuk tahun. b. Hitung rata-rata setiap periode musiman untuk seluruh tahun yang ada (rata-rata ke kanan/setiap baris), hasilnya masukkan dalam kolom 1. c. Hitung rata-rata setiap periode musiman untuk setiap tahun (rata-rata ke bawah/setiap kolom) d. Cari trend/tambahan trend (b) periode musiman dengan rumus:

b=

ΣXY : periode musiman ΣX 2

Y = harga rata-rata per periode musiman per tahun X = unit periode (tahun)

ΣX= 0

Harga b selalu dianggap positif, sehingga hasil positif atau negatif hanya menunjukkan bahwa trend setiap periode bertambah/menurun. Jika harga b positif, maka trend pada: periode musiman I = 0b periode musiman II = 1b periode musiman III = 2b, dst (dari baris paling atas) Jika harga b negatif, maka trend pada: periode musiman n – 1 = 1b periode musiman n – 2 = 2b periode musiman n – 3 = 3b, dst ...