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ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL Y DEFLEXIÓN TORSIONAL La torsión, conocida también como par de torsión, momento de torsión o par, se refiere a la carga excéntrica de un miembro estructural que tiende a torcerlo. Cuando sobre un miembro estructural se aplica un par de torsión, se genera esfuerzo cortante y se crea una deflexión torsional, la cual produce un ángulo de torsión en un extremo de la flecha con respecto a otro. 1. PAR DE TORSIÓN, POTENCIA Y VELOCIDAD DE ROTACIÓN Par de torsión Es el producto de la fuerza aplicada y la distancia de la línea de acción de la fuerza al eje del elemento. Par de torsión = T = F x d En el sistema métrico se expresa en Nxm y en el sistema de medida estadounidense en lbxplg o lbxpie. Potencia La potencia se define como la velocidad de transferencia de energía. Potencia = par de torsión x velocidad de rotación P=Txn Esta relación es muy útil pues si se conocen dos valores de P, n o T, se puede calcular el tercero. Unidades Potencia = energía/tiempo = joule/segundo = J/s = (Nm)/s = watt = W Sistema Internacional Las unidades de potencia son Watts; las de velocidad de rotación son radianes por segundo (rad/s) y la de torsión son Nm. Sistema estadounidense Las unidades de potencia se encuentran en caballos de fuerza (hp); l par de torsión en lbxplg; y la velocidad de rotación en rpm. 2. ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE SECCIÓN TRANSVERSAL CIRCULAR Cuando un miembro estructural se somete a un par de torsión externo, en el material del que está hecho el miembro estructural se desarrolla u par de torsión resistente interno que es el resultado de los esfuerzos generados en el material.

Para que el elemento sujeto a esfuerzo esté en equilibrio, en las caras superior e inferior del elemento deben actuar esfuerzos cortantes de la misma magnitud. Fórmula para el esfuerzo cortante torsional ‫ ﺡ‬máx = (Tc)/J donde: T: par de torsión aplicado en la sección de interés c: radio de la sección transversal J: momento polar de inercia de la sección transversal circular Momento polar de inercia de una barra circular J = ‫ת‬D4/32 donde: D: diámetro de la flecha 3. ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL Y MOMENTO POLAR DE INERCIA DE UNA BARRA CIRCULAR HUECA El esfuerzo cortante máximo ocurre en la superficie externa de la barra y el esfuerzo varía linealmente con la posición radial en el interior de la barra.

Momento polar de inercia de una barra hueca

J = (32/‫()ת‬D04 – Di4) donde: D0 : diámetro externo Di: diámetro interno

4. DISEÑO DE ELEMENTOS CIRCULARES SOMETIDOS A TORSIÓN La selección del material y la determinación de los esfuerzos de diseño son partes integrales del proceso de diseño y garantizan que las cargas que actúan en un elemento se soportarán con seguridad. En el diseño, se puede sustituir un cierto esfuerzo de diseño ‫ﺡ‬d por ‫ﺡ‬máx. ‫ﺡ‬d = sy/(2N) donde N es el factor de diseño y depende del tipo de carga aplicada.

Módulo de sección polar – flechas sólidas ZP = (‫ ת‬D3/16) donde: Zp: módulo de sección polar Módulo de sección polar – flechas huecas Zp = (‫( ת‬D04 – Di4))/(16D0) 5. COMPARACIÓN DE ELEMENTOS CIRCULARES SÓLIDOS Y HUECOS Para economizar material en la fabricación de miembros de carga se requiere que éstos se sometan a un nivel de esfuerzo próximo al esfuerzo de diseño seguro. El volumen externo de una flecha hueca es un poco más grande, pero el volumen de metal es lo que determina la masa de la flecha. Volumen de flecha sólida (V) Volumen de flecha hueca (Vh)

((‫ת‬D2)/4)L (4/‫()ת‬D02-Di2)L

Masa de flecha sólida Masa de flecha hueca

Vxρ Vh x ρ

6. CONCENTRACIONES DE ESFUERZO EN ELEMENTOS SOMETIDOS A TORSIÓN Los miembros sometidos a torsión, en especial las flechas transmisoras de potencia, se fabrican con cambios de geometría en varias posiciones. Se trata de una parte de la flecha donde se montarían un elemento de trasmisión de potencia, tal como un engrane.

Los cambios de sección transversal de un miembro sometido a torsión hacen que el esfuerzo local cerca de los cambios sea más elevado que el pronosticado por la fórmula del esfuerzo cortante. El nivel real del esfuerzo en esos casos se determina experimental mente Luego se determina un factor de esfuerzo, el cual permite calcular el esfuerzo máximo en diseños similares con la relación:

El término de τ nom es el esfuerzo nominal originado por la torsión, el cual se desarrollaría en las piezas en caso de que la concentración de esfuerzo no tuviera presente. Por lo tanto, se pueden utilizar las fórmulas de esfuerzo cortante para calcular el esfuerzo nominal. El valor de k es un factor por el cual el esfuerzo máximo es mayor que el nominal. Determinados numérica o experimental mente los factores de concentración de esfuerzos se aplican.

En donde se la calcula usando las tablas especificadas, usando las relaciones de radio de los filetes, con el diámetro de la flecha, y el diámetro de la sección en la cual más delgada de la flecha.

7. TORSIÓN – DEFORMACIÓN TORSIONAL ELÁSTICA La medida de la rigidez torsional es el ángulo de torsión de un segmento de una flecha con respecto a otro cuando se aplica un cierto par de torsión. Una indicación referida a la rigidez torsional tiene que ver con el grado de precisión que se desea, como se indica en la siguiente tabla:

Se debe recalcar que los perfiles abiertos tienen una rigidez torsional mucho más baja que los perfiles cerrados. Si se aplica un par de torsión T en un extremo de la barra circular, y el otro extremo se mantiene fijo, la flecha se torcerá entre lo dos extremos a través de un ángulo θ.Conforme se aplica el par de torsión, un elemento a lo largo de la superficie externa del miembro, inicialmente recto, gira un pequeño ángulo ( γ) . Ángulo de torsión θ = (TL)/(JG) donde: T: par de torsión L: longitud de la barra J: momento polar de inercia G: módulo de elasticidad a cortante El ángulo de torsión resultante está en radianes.

Angulo de torsión en Miembros circulares. El ángulo de torsión en elementos sometidos a torsión tiene interés en su determinación para estudiar efectos tales como:   

Control de deformaciones Análisis de vibraciones torsionales Estudio de problemas indeterminados de torsión.

Considerar el elemento diferencial de la Fig. 6 que pertenece a un elemento circular macizo sometido a una torsión Mt .

Elemento diferencial de un miembro circular sometido a torsión Asumiendo que el material tiene un comportamiento elástico lineal y que las deformaciones son pequeñas, se obtiene las siguientes relaciones geométricas

DD =Y max dx =cd ∅ d ∅ = mt dx GJ La expresión anterior permite determinar el ángulo relativo de torsión de dos secciones adyacentes separadas por una distancia infinitesimal dx. Por lo tanto. B

B

∅ B−∅ A=∫ d ∅=∫ A

A

mt dx GJ

donde φB y φA son las rotaciones angulares de las secciones B y A respectivamente. En general puede ser que torsión Mt, G y J sean función de la variable x.

EJERCICIO. El motor eléctrico ejerce un par de torsión de 800NN.m sobre el eje de acero ABCD, cuando gira a una velocidad constante. Las especificaciones de diseño giro entre A y D no excede 1.5° si se sabes que Tmas ≤ 60MPA y que G = 77GPa, determine el diámetro mínimo que puede utilizarse para ele eje.

Solución:...