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Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

Herramientas Matemáticas II: análisis

Aplicaciones de las funciones exponenciales Las funciones exponenciales tienen una aplicación determinada en los procesos de crecimiento y en los procesos de deterioro (decaimiento). Entre los ejemplos de los procesos del primer tipo case señalar el crecimiento de la población, la evaluación de activos, la inflación, el crecimiento de la tasa en que se usan determinados recursos (entre ellos la energía) y el crecimiento del producto nacional bruto. Los ejemplos de los procesos de decaimiento incluyen el valor de decrecimiento de ciertos activos como la maquinaria, la disminución de la incidencia de ciertas enfermedades a medida que se perfeccionan la tecnología y la investigación médica, la disminución del poder adquisitivo de los consumidores y el deterioro de la eficiencia de una maquina conforme envejece. (Budnick, 2007, p. 285).

Cuando el proceso de crecimiento se caracteriza por un crecimiento porcentual constante de valor, se le da el nombre de proceso de crecimiento exponencial. Cuando el proceso de declinación se caracteriza por una disminución porcentual constante del valor, recibe el nombre de proceso de decaimiento exponencial.

Interés compuesto La ecuación S (n)  P.1  i n puede emplearse para determinar la cantidad S, que aumentará una inversión de P dolares, si recibe interés de i % por período compuesto para n períodos de interés compuesto1. S se llama interés compuesto, y P recibe el nombre de capital. Ejemplo 1 Calcular el interés compuesto para un capital de $1000 con una tasa de interes 8% por año al cabo de 5 años P = $1.000; i= 0,08; n = 5 años.

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Suponiendo que se reinviertan los intereses acumulados. 2

Entonces, la ecuación queda determinada como sigue:

S  1. 000.1  0,085 5

S  1.000.1,08 S  $1.469,32

Interés compuesto: capitalización continua “Los bancos se valen a menudo de modelos de capitalización continua en las cuentas de ahorro a fin de promover su negocio”. (Budnick, 2007, p. 290). La capitalización continua significa que la capitalización se realiza de modo constante, la ecuación para este modelo es la siguiente:

S (t)  P.eit . En el Ejemplo 1, se calculó la cantidad a, que ascenderá a una inversión de $1.000 si se invierte a 8 % anual durante 5 años, capitalizable anualmente. Si los $1.000 ganan 8 % por año capitalizando continuamente, la inversión crecerá y alcanzará la siguiente suma.

S  1.000.e 0,08.5 S  1.000.e 0, 4 S  $1.491,82

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Figura 1: S( t)  1000.e0,08t

Fuente: Imagen de elaboración propia a base del software Geogebra 5.0. Geometría dinámica (Markus Hohenwarter, 2001).

Proceso de crecimiento exponencial: población Los procesos de crecimiento exponencial se caracterizan por un incremento porcentual constante del valor con el tiempo. Tales procesos se describen mediante la función general V (t )  V0 .e kt donde V es el valor de la función en el tiempo t, V0 indica el valor de la función cuando t = 0, k denota la tasa porcentual de crecimiento, y t es el tiempo medido en las unidades apropiadas (horas, días, semanas, años, etc.) Ejemplo: “La población de un país fue de 100 millones en 1970. Ha estado creciendo desde ese año en forma exponencial y a una tasa constante del 4 % por año. ¿Cuál es la población proyectada para 1995?”. La función que describe el tamaño de la población V (en millones) es: t V (t )  100.e0,04 . Teniendo en cuenta que t = 0 (1970), y 1995 corresponde con t = 25 años, obtenemos

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V (25)  100.e 0, 04.25 V (25)  100.e 1 V (25)  271,83(millones ) (Budnick, 2007, p. 293).

Proceso de decaimiento exponencial Un proceso de decaimiento exponencial se caracteriza por una disminución porcentual constante del valor con el tiempo. Tales procesos se describen mediante la función general V (t )  V0 .e kt , donde V es el valor de la función en el tiempo t, V0 indica el valor de la función cuando t = 0, k denota la tasa porcentual de decaimiento (algunas veces conocida como constante de decaimiento), y t es el tiempo medido en las unidades apropiadas (horas, días, semanas, años, etc.). Ejemplo: “El valor de reventa V de un equipo industrial se comporta conforme con la ecuación V( t)  750.000.e 0, 05t donde t = años transcurridos desde la compra original”. Se desea saber: ¿cuál era el valor original del equipo?, ¿cuál es el valor esperado de reventa después de 5 años? Solución El valor original es el valor V cuando t = 0, entonces  V (0)  750.000.e 0, 05.0 V (0)  750.000 el valor original es V0=$750.000. El valor esperado de reventa luego de 5 años es:  V (0)  750.000.e 0, 05. 5 V (0)  $584.100,58 (Budnick, 2007, p. 293).

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Aplicaciones de las funciones logarítmicas Vida media Una función de decaimiento exponencial tiene la forma general V (t )  V0 .e  kt , donde V es el valor de la función en el tiempo t, V0 indica el valor de la función cuando t = 0, k denota la tasa porcentual de decaimiento (algunas veces conocida como constante de decaimiento) y t es el tiempo medido en las unidades apropiadas (horas, días, semanas, años, etc.).

Muchos procesos naturales se caracterizan por este comportamiento, uno de ellos es el proceso de desintegración de algunas sustancias radiactivas. Una medida frecuentemente citada al examinarla es su vida media. Es el tiempo que una cantidad de sustancia tarda en ser reducida por un factor de ½. Supongamos que la cantidad de una sustancia radiactiva se calcula por medio de V (t )  V0 .e kt . La cantidad de sustancia se reducirá a la mitad V cuando  0,5 o cuando ekt  0,5 . V0 Tomando el logaritmo natural de ambos lados de esta ecuación, obtenemos ln ekt  ln 0,5 , aplicando propiedades de los logaritmos:  kt  ln 0,5 t

ln 0,5 k

Ejemplo: La constante de desintegración del estroncio 90 es k=0,0244, donde t se mide en años. Una cantidad de estroncio 90 se reducirá a la mitad de su tamaño ln 0,5 t  0,0244 t  28,4años

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Referencias Budnick, F. (2007). Funciones matemáticas. En: Matemáticas aplicadas para Administración, economía y Ciencias Sociales. México D.F. Editorial Mc Graw Hill Interamericana.

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