Aplicaciones de la derivada PDF

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derivadas...

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Índice Introducción ........................................................................................................................................ 3 Objetivo ............................................................................................................................................... 4 Recta Tangente y Recta Normal a una curva en un punto .................................................................. 5 Teorema de Rolle y Teoremas de Valor Medio ................................................................................... 8 Función Creciente y Decreciente ...................................................................................................... 11 Máximos y mínimos de una función ................................................................................................. 12 Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos ............................................................... 14 Concavidades y Puntos de Inflexión .................................................................................................. 17 Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos ............................................................... 20 Análisis de la Variación de una Función. Graficación ........................................................................ 22 Problemas de Optimización y de Tasas Relacionadas ....................................................................... 24 Cálculo de aproximaciones usando diferenciales ............................................................................. 27 La Regla de l'Hôpital .......................................................................................................................... 29 Anexos ............................................................................................................................................... 34 Conclusión ......................................................................................................................................... 43 Bibliografía ........................................................................................................................................ 44

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Introducci Introducción ón La determinación de derivadas no se limita a puntos de vista teóricos, por lo que los estudiantes pueden comprender diferentes temas de matemáticas, y en la vida real, las derivadas tienen muchas aplicaciones importantes. Los derivados juegan un papel importante en la ingeniería, la física e incluso en los negocios y la economía. En esta investigación se verán las diferentes aplicaciones que tiene la derivada, la derivada es, La derivada de la función es la tasa de cambio instantánea y el valor de la función matemática cambia con el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se vuelve cada vez más pequeño, se calcula como el límite de la tasa de cambio promedio de la función dentro de un cierto intervalo. Por eso decimos el valor de la derivada de la función en un punto dado. • • • • • • • • • • • •

Las diferentes aplicaciones que se verán son: Recta Tangente y Recta Normal a una curva en un punto Teorema de Rolle y Teoremas de Valor Medio Función Creciente y Decreciente Máximos y mínimos de una función Criterio de la Primera Derivada Para Máximos y Mínimos Concavidades y Puntos de Inflexión Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos Análisis de la Variación de una Función. Graficación Problemas de Optimización y de Tasas Relacionadas Cálculo de aproximaciones usando diferenciales La Regla de l'Hôpital

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Objetivo Aprender a utilizar las diferentes aplicaciones de la derivada, mediante la investigación y practica de ejercicios encontrados en esta.

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Recta Tang Tangente ente y Recta N Normal ormal a una curva en un punto Una recta se dice que es tangente a una función en un punto cuando pasa por ese punto y su pendiente es f'(a). La recta normal a una función en un punto, por su parte, es la que pasa por dicho punto y tiene pendiente -1/f'(a). Rectas tangente y normal En azul, la recta tangente a la función f(x), en rojo, en x=a. En verde, la recta normal a la función en el mismo punto. Observa que ambas son perpendiculares. Ya sabes que una recta queda definida cuando conocemos dos puntos por los que pasa, pero también cuando conocemos un punto por el que pasa y la pendiente de esta. En este caso, el punto, común a ambas, es (a,f(a)). Para el cálculo de las pendientes (f'(a) y -1/f'(a) respectivamente) se hace imprescindible conocer el valor de la derivada de la función en el punto.

Figura 1.1 Recta normal y tangente

Expresión de la recta tangente Se define la recta tangente a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que pasa por (a,f(a)) y tiene por pendiente la derivada de la función en el punto, f'(a). Su expresión es: y−f(a)=f'(a) ⋅(x−a)

Demostración

Sabemos que la ecuación de una recta viene dada por y=m·x+n, siendo: • •

m la pendiente de esta. n es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y.

Por tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente debemos calcular m y n. Por la definición de recta tangente que hemos dado sabemos que: 1. La pendiente de la recta tangente en x=a coincide con el valor de la derivada en x=a, con lo que m=f'(a). 2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n. Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos: f(a) = m ⋅ a + n

m=f'(a)

f(a) = f'(a) ⋅ a + n

n = f(a) − f'(a) ⋅ a 5

Ya tenemos, por tanto, los valores de m y n que buscábamos. Sustituyendo y reagrupando obtenemos la expresión bucada: y = f'(a) ⋅ x + f(a) − f'(a) ⋅ a m

n

y−f(a)=f'(a)⋅(x−a)

Relación con la secante Tal y como veíamos al estudiar la tasa de variación instantánea a partir de la tasa de variación media, una manera alternativa de definir la recta tangente es considerarla como la recta secante que pasa por dos puntos infinitamente próximos de la función. Rectas secantes y recta tangente En verde hemos pintado la recta secante a la función en dos puntos de abscisas a y a+h. Observa que la pendiente de dicha recta viene determinada por la razón trigonométrica tangente del ángulo β que forma la recta con la horizontal. Efectivamente, 𝑚𝑠𝑒𝑐= 𝑡𝑎𝑛(𝛽) =

𝑓(𝑎+ℎ )−𝑓(𝑎) ℎ

.

Cuando aproximamos a+h a a obtenemos la recta secante, en azul. En este caso, su pendiente será

Recta 1.2 Recta secante y tangente

𝑚𝑡𝑎𝑛= 𝑡𝑎𝑛(𝑎) = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ

= 𝑓 ′ (𝑎).

En ocasiones se define la recta tangente como aquella que corta a la función en un único punto. Aunque es una definición muy intuitiva, estrictamente hablando se trata de una definición errónea. Efectivamente, observa las siguientes gráficas:

Figura 1.3 Recta tangente errónea

Definiciones erróneas de recta tangente La recta azul, en 1, cumple la definición que dábamos a comienzos del apartado de recta tangente, es decir, pasa por el punto (a,f(a)) y su pendiente es f'(a), con lo que se trata de una recta tangente, a pesar de que toca a la función en más de un punto. Por otro lado, en 2, existen dos rectas que tocan la función en un único punto, la verde y la azul. Sin embargo, ninguna de ellas es la recta tangente porque se trata de un punto anguloso y no existe f'(a).

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Expresión de la recta normal Se define la recta normal a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Por tanto, pasa por (a,f(a)) y tiene por pendiente 1/f'(a). Su expresión es: 𝑦 − 𝑓(𝑎) = −

1 ⋅ (𝑥 − 𝑎) 𝑓 ′ (𝑎)

Rectas normales En verde, la recta normal a la función, representada en rojo claro, en (a,f(a)). Se trata de una recta perpendicular a la recta tangente, representada en azul claro.

Figura 1.4 Recta normal

Demostración Siguiendo un procedimiento análogo al de la recta tangente tenemos: 1. La pendiente de la recta normal en x=a es m=-1/f'(a) 2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a,f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n Sustituyendo la ecuación de 1 en 2, obtenemos:

1 1 ⋅ 𝑥 + 𝑓(𝑎) − ⏟ 𝑓 ′ (𝑎) ⋅ 𝑎 → 𝑦 − 𝑓(𝑎) = − ′ ⋅ (𝑥 − 𝑎) 𝑦=− ′ 𝑓 (𝑎) ⏟ 𝑓 (𝑎) 𝑛 𝑚

Recuerda que, si dos rectas son perpendiculares, se cumple que el producto de sus pendientes vale -1:

Donde: •

𝑚1 ⊥ 𝑚2 → 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1 m1 y m2 son las pendientes de las rectas consideradas.

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Teorema de Rolle y TTeoremas eoremas de Val Valor or Medio Comencemos recordando que, por definición, una función f alcanza un máximo relativo (respectivamente, un mínimo relativo) en un punto a si, y solo si, existe un entorno de a, (a−δ,a+δ), tal que para todo x de dicho entorno se tiene f(x) ⩽f(a) (respectivamente, f(x)⩾ f(a)).

Diremos que f alcanza un extremo relativo en el punto a cuando f alcance un máximo o un mínimo relativos en a. Un resultado de gran importancia es la condición necesaria de máximo o mínimo relativo en funciones derivables.

Si f(x) es derivable en a y tiene un máximo o un mínimo relativo en él, entonces f′(a)=0. Teorema de Rolle Antes de enunciar el teorema de Rolle vamos a reflexionar sobre su interpretación geométrica. La idea es la siguiente. Tenemos la gráfica de una función cuyo “dibujo” se puede hacer sin levantar el lápiz del papel (continua) y de manera suave, sin picos o “puntos angulosos” (derivable) y, además, toma los mismos valores en los extremos de un intervalo (o sea, empezamos y terminamos el dibujo de la gráfica a la misma altura). Entonces, sea como sea el dibujo, tiene que haber al menos un punto del interior del intervalo en el que la recta tangente en el mismo es horizontal. Esto se comprende mejor observando la siguiente figura. Figura 2.1 Interpretación geométrica del Teorema de Rolle

Demostración Según el teorema de Weierstrass sobre la continuidad de funciones (lo puedes encontrar en el artículo dedicado al teorema de Bolzano), existen dos puntos de [a,b] tales que la función alcanza respectivamente su máximo M y mínimo m absolutos.

Teorema de Rolle Sea f:[a,b]→R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) verificando que f(a)=f(b). Entonces existe un punto c del intervalo (a,b) tal que f′(c)=0.

Distinguiremos dos casos. Si estos puntos son los extremos del intervalo, entonces f(a)=f(b)=m=M, luego la función es constante en todos los puntos de [a,b], por lo que f′(c)=0 en cualquier punto de (a,b). Si f alcanza el máximo o el mínimo absoluto en un punto c del interior del intervalo (distinto de los extremos), tenemos que dicho máximo o mínimo absoluto también será máximo o mínimo relativo, con lo que, por la condición necesaria de máximo o mínimo relativo vista más arriba, tenemos que f′(c)=0. 8

Hay que tener presente que, si en el teorema de Rolle suprimimos alguna de las hipótesis, no podemos asegurar que el teorema se cumpla. Asi, en las tres funciones siguientes tenemos que la primera no es continua en [a,b], aunque es derivable en (a,b) y f(a)=f(b). La segunda no es derivable en (a,b), aunque es continua en [a,b] y f(a)=f(b). La tercera es continua en [a,b] y derivable en (a,b), aunque f(a)≠f(b). En ninguna de ellas hay un punto c ∈ (a,b) tal que f′(c)=0.

Figura 2.2 Ejemplo

Teorema del valor medio El teorema del valor medio también se conoce con el nombre de teorema del valor medio de Lagrange o teorema de los incrementos finitos. Al igual que hemos hecho anteriormente, nos aproximaremos al teorema del valor medio mediante su interpretación geométrica. La idea consiste en que una curva continua y sin picos que va de A hasta B tendrá algún punto intermedio en el que su recta tangente sea paralela al segmento തതതത 𝐴𝐵 . También se comprende mejor si observamos la siguiente figura. Figura 2.3 Interpretación geométrica del teorema de Valor Medio

Demostración Sea f : [a,b] → R la función definida por: g(x)=(f(b)−f(a))x−(b−a)f(x), ∀x∈[a,b]

Claramente g es continua en [a,b] y derivable en (a,b) con: g′(x)=(f(b)−f(a))−(b−a)f′(x), ∀x∈(a,b)

Teorema del valor medio Sea f:[a,b]→R una función continua en [a,b] y derivable en (a,b). Entonces existe un punto c del intervalo abierto (a,b) tal que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a).

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Además, es fácil comprobar que g(a)=g(b). Por el teorema de Rolle existe un c ∈(a,b) tal que g′(c)=0, esto es, tal que: f(b)−f(a)=f′(c)(b−a) Fijémonos otra vez en la figura anterior. Supongamos que la recta que pasa por A=(a,f(a)) y B=(b,f(b)) es y=mx+n. Entonces, precisamente por pasar por los puntos A y B tenemos que: 𝑓

𝑏+𝑛

(𝑏)=𝑚 𝑙𝑓(𝑎)=𝑚𝑎+𝑛 → 𝑓 (𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑚𝑏 − 𝑚𝑎 →

→ 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑚(𝑏 − 𝑎 ) → 𝑚 =

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎

O sea, que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B es f(b)−f(a)b−a. Pero el teorema del valor medio afirma que existe c ∈(a,b) tal que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a), o sea, tal que 𝑓 ′ (𝑐) = 𝑓 𝑐𝑜𝑠 −𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎

. Lo que viene a decir que la pendiente de la recta tangente en un punto intermedio es

igual que la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, es decir, que ambas son paralelas.

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Función Cr Creciente eciente y Decrecie Decrecien nte DEFINICIÓN: Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ¦(x) también se incrementa, se dice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta disminuye ¦(x), decimos que la función decrece. -Lo podemos observar con un breve ejemplo: Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, X1 < X2 → f(x1) < f(x2). Una fución f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, X1 < X2 → f(x1) > f(x2). Las funciones que nunca decrecen siempre aumentan su valor o se mantienen (las funciones crecientes). Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando x se hace grande. Todas las funciones del tipo f(x)=ax+b cuando a>0 son funciones crecientes, y en particular, son funciones estrictamente crecientes. No obstante, cuando tomemos a 0 tal que •

a es un mínimo relativo de f si existe ε > 0 tal que 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥)

∀𝑥 ∈ (𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀) •

a es un máximo relativo de f si existe ε > 0 tal que 𝑓(𝑎) ⊇ 𝑓(𝑥)

∀𝑥 ∈ (𝑥 − 𝜀, 𝑥 + 𝜀)

•

a es un extremo relativo de f si es un mínimo relativo o un máximo relativo.

Extremos absolutos: Si a es un mínimo (o un máximo) para todo x del dominio de f, se dice que es un mínimo absoluto (o un máximo absoluto). Formalmente, •

a es un mínimo absoluto de f si

•

a es un máximo absoluto de f si

•

a es un extremo absoluto de f si es un mínimo absoluto o un máximo absoluto.

𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥

Ejemplo El vértice de una parábola siempre es un extremo absoluto. Por ejemplo, la siguiente parábola tiene un mínimo relativo en (−1,1):

Figura 4.4 Ejemplo

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Criterio de la Primera Deriva Derivada da Para M Máximos áximos y Mínimos PRIMERA DERIVADA: Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c. TEOREMA

Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue. 1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c) ). 2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c) ). 3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) un mínimo ni un máximo relativo.

no es ni

EJERCICIOS: Hallar sus extremos locales. Dada la ecuación:

Desarrollamos la primera derivada en, y para determinar los puntos críticos igualemos a cero.

Para los valores máximos y mínimos se evalúa en la función original, reemplazando los puntos críticos.

Ø

El valor máximo local es en el extremo de:

Ø

El valor mínimo locas es en el extremo de:

2) Dada la función, hallar sus extremos locales

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Ø En x=3, hay un mínimo local, que es y=0 Ø En x=1, hay un máximo local, que es y=16 SEGUNDA DERIVADA: se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que, si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0, f'(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c)= 0 debe ser un máximo relativo de f . Teorema Sea f una función tal que f'(c)= 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c 1.

TEOREMA Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)). Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c) ). Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c, f'(c) ) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada. EJERCICIOS: 1) Trace una gráfica de una función y= f(x) que tenga las siguientes características. Su gráfica pasa por los puntos:

Figura 5.1 Grafica

2) Dada la ecuación, grafique la siguiente función. Continuando con el primer ejercicio de la primera deriva.

Primera derivada:

Puntos críticos de la 1° derivada:

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Los puntos críticos: x = 0 v x = -2 Segunda derivada:

Determinando los puntos críticos: f'' (x) = 0

6x + 6 = 0

El punto crítico es: x=-1 OBSERVACIÓN: • • •

f (- 2) = 5 f (- 1) = 3 f (0) = 1

"PUNTO DE INFLEXIÓN"

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Concavidad Concavidades es y Puntos de Inflexión Concavidad y convexidad Se dice que una función 𝑓(𝑥) es convexa si al unir dos puntos cualesquiera de la gráfica, el segmento trazado queda por encima de la gráfica:

Figura 6.1 Grafica convexa

En esta imagen podemos observar con distintos colores diferentes segmentos que unen dos puntos de la gráfica y que quedan por encima de ella. Ejemplo Un ejemplo de función no convexa es:

Figura 6.2 Grafica no convexa

ya que encontramos segmentos que unen dos puntos de la gráfica y que pasan por debajo de ésta. Por otro lado, se dice que una función 𝑓(𝑥) es cóncava si la función −𝑓(𝑥) es convexa, es decir, si los segmentos que unen los puntos de la gráfica 𝑓(𝑥) están todos situados por debajo de la gráfica.

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Ejemplo Veamos un ejemplo de función cóncava: Vulgarmente, podemos decir que las funciones convexas son funciones curvas que presentan primero un descenso y luego un ascenso y las funciones cóncavas funciona al revés, primero un ascenso y luego un descenso.

Figura 6.3 Función cóncava

Las funciones, pero, pueden presentar partes cóncavas y partes convexas en una misma gráfica, por ejemplo, la función −𝑘𝑥 ′ = (𝑥 + 1)3 − 3(𝑥 + 1)2 + 2 presenta concavidad en el intervalo (−∞, 0) ...