Aplikasi Diferensial dalam Ekonomi dan Bisnis PDF

Preview

Summary

MATEMATIKA BISNIS Aplikasi Diferensial Dalam Ekonomi dan Bisnis Oleh: Ir. Ginanjar Syamsuar, ME. SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA PEBRUARI 2017 MATEMATIKA BISNIS Aplikasi Diferensial Dalam Ekonomi Teori diferensial amat lazim diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep nilai marjinal dan konsep...

Description

MATEMATIKA BISNIS Aplikasi Diferensial Dalam Ekonomi dan Bisnis

Oleh: Ir. Ginanjar Syamsuar, ME.

SEKOLAH TINGGI ILMU EKONOMI INDONESIA PEBRUARI 2017

MATEMATIKA BISNIS Aplikasi Diferensial Dalam Ekonomi Teori diferensial amat lazim diterapkan dalam konsep elastisitas, konsep nilai marjinal dan konsep optimasi. Berkaitan dengan konsep-konsep tersebut, pada sub-bab ini secara berurutan akan dibahas penerapan diferensial dalam penghitungan elastisitas, analisis marjinal dan analisis optimasi berbagai variabel ekonomi.

APLIKASI DIFERENSIAL SEDERHANA (UNIVARIATE) Pada Diferensial fungsi sederhana dapat digunakan untuk menghitung: 1. Elastisitas 1.1. Elastisitas Permintaan 1.2. Elastisitas Penawaran 1.3. Elastisitas Produksi 2. Analisis Marjinal (Marginal Analysis) 2.1. Biaya Marjinal 2.2. Penerimaan Marjinal 2.3. Utilitas Marjinal 2.4. Produk Marjinal 3. Analisis Profit Maksimum (Maximum Profit Analysis) 1. Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi y = f (x) berkenaan dengan x dapat didefinisikan sebagai: % = %

∆ ⁄ � � � � = � = ∗ ∆ ∆ → ( �� � � � ⁄ ) �

� �

=

∗

=

′

∗

Berarti bahwa elastisitas y = f (x) merupakan limit dari rasio antara perubahan relatif dalam y terhadap perubahan relatif dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol, dengan kata lain elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.

1.1. Elastisitas Permintaan Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permitan dinyatakan dengan Qd=f(p) maka elastisitas permintaannya : %∆ = %∆

= �

∆ →

∆

⁄

(∆ ⁄ )

=

� �

∗

=

∗

=

′

∗

Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat : Elastis apabila | � | > yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya.

Page | 1

Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang sama besar daripada persentase perubahan harganya. Inelastis apabila | � | < yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang diminta akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. Contoh: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qd = 25 – 3P². Tentukan elastisitas permintaan pada tingkat harga P = 5. =

=

−

′

= − ∗

′

=

∗

∗

→→

∗

′

= − −

∗

=

∗

=−

=

−

→

�

berarti bahwa apabila harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang � = diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3%.

1.2. Elastisitas Penawaran Menunjukkan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan disebabkan karena adanya perubahan harga. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang ditawarkan terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan Qs = f (P) maka elastisitas penawarannya : %∆ = %∆

= �

∆ →

∆

⁄

(∆ ⁄ )

=

� �

∗

=

∗

=

′

∗

Penawaran akan suatu barang dikatakan bersifat : Elastis apabila | � | > yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya. Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jika harga berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang sama besarnya daripada persentase perubahan harganya. Inelastis apabila | � | < yang artinya jika harga barang berubah sebesar persentase tertentu maka jumlah barang yang ditawarkan akan berubah (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. Contoh: Fungsi penawaran akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan Qs = -200 +7P² Tentukan elastisitas penawaran pada tingkat harga P = 10.

=−

+

=

′

∗

→→

′

=

=

Page | 2

=

∗

′

=

∗

∗

=

−

∗ +

∗

−

= .

+

→

�

= . berarti bahwa apabila harga naik (turun) sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%.

1.3. Elastisitas Produksi Menunjukkan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan Pr = f (x), maka elastisitas produksinya: �

%∆ = %∆

∆

= �

⁄

=

(∆ ⁄ )

∆ →

� �

∗

=

∗

=

′

∗

Produksi akan suatu barang dikatakan bersifat : Elastis apabila | � | > yang artinya jika jumlah input berubah sebesar tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan yang lebih besar daripada persentase perubahan inputnya. Unitary elastis apabila | � | = yang artinya jumlah input berubah sebesar tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan yang sama besarnya daripada persentase perubahan inputnya. Inelastis apabila | � | < yang artinya jika jumlah input berubah sebesar tertentu maka jumlah output akan berubah (secara searah) dengan yang lebih kecil daripada persentase perubahan inputnya.

persentase persentase persentase persentase persentase persentase

Contoh: Fungsi produksi akan suatu barang ditunjukkan dengan persamaan P = 6x² - x³ Tentukan elastisitas produksi pada tingkat penggunaan faktor produksi sebanyak 3 unit. �

=

�

=

�

=

∗

=

− ∗

′

− ∗

∗

=

′

→→

′

∗

−

=

∗

=

−

= =

∗

−

→

−

�� �

�� �

berarti jika jumlah input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1 % maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebesar 1 %. �

Page | 3

2. Marginal Analysis 2.1. Biaya Marjinal (Marginal Cost) Biaya marjinal (Maginal Cost = MC) ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan suatu unit tambahan produk. Secara matematik fungsi biaya marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. Jika fungsi biaya total dinyatakan dengan C = f (Q) dimana C adalah biaya total dan Q melambangkan jumlah produk, maka biaya marjinalnya :

′

� =

Contoh:

=

Biaya total

: C = f (Q) = Q³ - 3 Q² + 4 Q + 4

Biaya Marjinal

: MC = C’ = dC/dQ = Q - 6Q + 4

Pada umumnya fungsi biaya total yang non linear berbentuk fungsi kubik sehingga fungsi biaya marjinalnya berbentuk fungsi kuadrat. C , MC C 6

C

= Q³ -3 Q² + 4Q + 4

MC

= C’ = 3Q² - 6Q + 4 (MC)’ = C” = 6Q - 6

MC minimum jika (MC)’ = 0

4

(MC)’ = 0 → 6 Q – 6 = 0 → Q = 1

MC

Pada Q = 1 → MC = 3 (1)² - 6(1) + 4 = 1

1

C = 1³ - 3(1)² + 4(1) + 4 = 6 Q 0

1

2.2. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) Adalah penerimaan tambahan yang diperoleh berkenaan bertambahnya satu unit keluaran yang diproduksi atau terjual. Secara matematik fungsi penerimaan marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. Jika fungsi penerimaan total dinyatakan dengan R = f(Q) dimana R adalah penerimaan total dan Q melambangkan jumlah keluaran, maka penerimaan marjinalnya :

� =

′

= Page | 4

Contoh: Andaikan fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh P = 16 – 2Q, maka P, R, MR

R= 16Q- 2 Q² Penerimaan total : R = P*Q = f(Q) = 16Q – 2Q² Penerimaan marjinal : MR = R’ = – 4Q Pada MR = 0, Q = 4 P= 16 – 2(4) = 8 R =16(4) – 2(4)² = 32

32

16 8

P = 16 – 2Q Q

0

4

8

2.3. Utilitas Marjinal (Marginal Utility) Adalah utilitas tambahan yang diperoleh konsumen berkenaan bertambahnya satu unit barang yang dikonsumsinya. Secara matematik fungsi utilitas marjinal merupakan turunan pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f(Q) dimana U adalah utilitas total dan Q melambangkan jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya :

�

Contoh:

=

U = f(Q) = 90Q – 5 Q² MU = U’ = – 10Q U maksimum pada MU = 0 MU = 0; Q = 9

′

= U maks = 90(9) – 5(9)² = 810 – 405 = 405

U, MU U = 90Q – 5Q²

405

90

0

MU = 90 – 10Q

9

18

Q Page | 5

2.4. Produk Marjinal (Marginal Product) Adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik fungsi produk marjial merupakan turunan pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan dengan Pr = f(x) dimana Pr adalah produk total dan X melambangkan jumlah masukan, maka produk marjinalnya

�

′

=

=

Contoh : Produksi total = Pr = f(x) = 9x² - x³ Produk marjinal = MPr = Pr’ = x – 3x² Pr maksimum pada Pr’ = yakni pada X = dengan Pr maks + 108. Pr berada pada titik belok dan MPr maks pada Pr” = MPr ’ = ; Yakni pada X = 3

Pr, MPr 108

Pr = f(x)

54 27

X 0

3

6

MPr

3. Analisis Profit Maksimum (Maximum Profit Analysis) Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum dapat disidik dengan pendekatan diferensial. Karena baik penerimaan total (Revenue, R) maupun biaya (Cost, C) sama-sama merupakan fungsi dari jumlah keluaran (output) yang dihasilkan/terjual (Quantity, Q), maka di sini dapat dibentuk suatu fungsi baru yaitu fungsi keuntungan π . Ada dua syarat agar diperoleh suatu keuntungan maksimum (maximum profit): 1. π’ = 0 2. π’’ < 0 dimana:

π=R–C

Page | 6

Contoh 1: R = – 2Q2 + 1000Q

Diketahui:

C = Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000

Ditanyakan: a. Berapa tingkat produksi yang menghasilkan keuntungan maksimum? b. Berapa biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan keuntungan maksimum? c. Berapa besarnya penerimaan pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? d. Berapa harga jual per unit pada saat perusahaan mencapai keuntungan maksimum? e. Berapa besarnya keuntungan maksimum tersebut? Penyelesaian: a. π = R – C = (– 2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2000) π = – Q3 + 57Q2 – 315Q – 2000 π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 Agar keuntungan maksimum: Syarat . π’ =

π’ = – 3Q2 + 114Q – 315 = 0 .

=

− ±√

−

 (Rumus ABC)

Maka didapat Q1 = 3 dan Q2 = 35 (dengan rumus abc maupun dengan pemfaktoran) Syarat 2. π’’ < 0, (syarat maksimum) Q1 = , π’’ = – 6Q + 114 = – 6.3 + 114 = 96

Q2 = 35, π’’ = – 6Q + 114 = – 6.35 + 114 = – 96  (

���

=

<

>

 (Turunan kedua)  (Turunan kedua)

Page | 9

Contoh 2: Selidikilah apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini adalah titik maksimum atau titik minimum ? : p = 3q² – 18q + r ² – 8r + 50 Jawab: Fq = 6q – 18 Fr = 2r – 8 6q – 18 = 0 q=3 2r – 8 = 0 r=4 p = 3 (3)2 – 18(3) + 42 – 8(4) + 50 p = 27 – 54 + 16 – 32 + 50 p=7 Fqq = 6 > 0 Frr = 2 > 0 Karena Fqq dan Frr > 0, titik ekstrimnya adalah titik minimum dengan P min = 7 2. Aplikasi Bisnis Ekonomi Pendekatan deferensiasi parsial untuk diterapkan pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari suatu variabel bebas, dalam hal ini kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap variabel terikatnya. 2.1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya, maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut. Dengan kata lain jika harga barang A dan barang B mempunyai hubungan pengunaan, maka; Qda = f (Pa’ Pb) dan Qdb = f (Pa’ Pb)

Derivatif, pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi-fungsi permintaan marjinalnya, dimana: � � �

� � � � � �

� � �

adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pa adalah permintaan marjinal akan A berkenaan dengan Pb adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pa adalah permintaan marjinal akan B berkenaan dengan Pb

Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut, dapatlah dihitung elastisitas permintaan parsialnya. Ada 2 macam elastisitas permintaan, yaitu: a) Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga sendiri (elastisitas harga permintaan) b) Elatisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain (elstisitas silang permintaan) Page | 10

RUMUS ∈ = ∈ = ∈ =

∈ =

∈

∈

%∆ %∆

=

%∆ %∆

%∆ %∆

×

=

×

=

×

=

%∆ %∆

dan ∈

×

= elatisitas harga permintaan

dan ∈

= elatisitas silang permintaan

1. Jika ∈ dan ∈ keduanya negatif (∈ < dan ∈ < ) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah komplementer (saling melengkapi), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan kenaikan permintaan atas barang lainnya 2. Jika ∈ dan ∈ keduanya positif (∈ > dan ∈ > ) untuk Pa dan Pb tertentu, berarti hubungan antara barang A dan B adalah kompetitif/substitutif (saling menggantikan), sebab penurunan salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya. Contoh Soal: Fungsi permintaan barang A dan B masing-masing ditunjukkan oleh Qda . . – 1 = 0 dan Qdb . .Pb – 1 = 0. Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut? Jawab: Diketahui; Qda . . – 1 = 0 Qdb . .Pb – 1 = 0

Qda =

Qdb =

.

−

Qda = � � �

∈ =

∈ =

� � �

=−

×

×

−

.

= −

− −

=− =-

.

� � �

−

. − −

� � �

−

.

.

−

. −

×

×

− −

. −

. −

−

Qdb = =-

= -2

=−

−

−

−

. −

.

.

−

= -1 Page | 11

∈ =

∈ =

×

×

=−

=−

−

.

−

.

− −

. .

−

. −

= -3

−

. −

= -3

Barang A adalah barang elastis karena ∈ >

Barang B adalah barang unitary-elastic karena ∈ =

(Ingat dalam menafsirkan elastisitas harga permintaan cukup dengan melihat besarnya angka perhitungan. Tandanya tidak perlu diperhitungkan). Adapun hubungan antara A dan B adalah bersifat komplementer karena ∈ < dan ∈ <

2.2. Perusahaan dengan Dua Macam Produk dan Biaya Produksi Gabungan

Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam produk itu merupakan biaya gabungan (joint production cost), maka keuntungan yang diperolehnya dapat diselesaikan dengan pendekatan deferensiasi parsial. Metode ini juga digunakan untuk menganilisis kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam produk yang biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan. Andaikan perusahaan memproduksi dua macam barang A dan B, dimana fungsi permintaannya akan masing-masing barang di cerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksinya C = f (Qa, Qd) maka: Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = f (Qa) Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = f (Qb) Penerimaan total: R = Ra + Rb = f (Qa) + f (Qb) Biaya Total: C = f (Qa, Qb) Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C = f (Qa) + f (Qb) - f (Qa, Qb) = g (Qa, Qb) ∏ maksimum bila ∏’ = ∏ Qa =

∏ Qb =

�∏ �

�∏ �

= 0 ........................... persamaan 1 = 0 ........................... persamaan 2

Dari persamaan (1) dan (2) nilai Qa dan Qb . Selanjutnya nilai ∏ bisa dihitung...

Contoh Soal: Biaya total yang dikeluarkan sebuah perusahaan yang memproduksi dua macam barang, A dan B, ditunjukkan oleh C = + + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang per unit adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing-masing harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besar keuntungan maksimum tersebut. Page | 12

Jawab: Penerimaan dari memproduksi A : Ra = Qa. Pa = 7 Qa Penerimaan dari memproduksi B : Rb = Qb. Pb = 20 Qb Penerimaan total: R = Ra + Rb = 7 Qa + 20 Qb Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C

= 7 Qa + 20 Qb -

-

- Qa . Qb

∏ maksimum bila ∏’ = �∏

= 0 → 7 -2 Qa - Qb = 0 persamaan 1

�∏

= 0 → 20 -6 Qb – Qa = 0 persamaan 2

∏Qa = �

∏Qb = �

Dari (1) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3

Fungsi Keuntungannya: ∏ = R – C

= 7 Qa + 20 Qb -

+

+ Qa . Qb

= 7 (2) + 20 (3) – (2)2 - 3 (3)2 – (2) (3) = 37

Jadi keuntungan maksimum perusahaan harus memproduksi 2 unit A dan 3 unit B dengan keuntungan sebesar 37. Kasus dimana perusahaan memproduksi lebih dari satu macam barang dengan biaya produksi gabungan, dapat pula diselesaikan melalui nilai-nilai marjinalnya yakni: -

Dengan memformulasikan penerimaan marjinal masing-masing barang yang sama dengan biaya marjinal barang yang bersangkutan. MR = MC Berkenaan soal diatas, ∏ maksimum akan diperoleh bila; MRa = MCa dan MRb = MCb R = 7 Qa + 20 Qb MRa = R’a = 7 MRb = R’b = 20

C= + + Qa . Qb. MCa = C’a = 2 Qa + Qb MCb = C’b = 6 Qb + Qa

MRa = MCa → 7 = 2 Qa + Qb

Page | 13

7 - 2 Qa - Qb = 0 ............. persamaan 1 MRb = MCb → 20 = ...