TM111213 Integral dan Aplikasi dalam Ekonomi PDF

Preview

Summary

11/12/2010 •Integral Diskripsi materi: •Integral Tak tentu & tertentu •Kaidah-kaidah integrasi •Fungsi Biaya dan fungsi penerimaan •Fungsi konsumsi dan fungsi tabungan •Surplus konsumen •Surplus produsen Matematika Ekonomi - 2010 1 KALKULUS INTEGRAL  BAB sebelumnya telah di bahas kalkulus DIFER...

Description

11/12/2010

•Integral Diskripsi materi: •Integral Tak tentu & tertentu •Kaidah-kaidah integrasi •Fungsi Biaya dan fungsi penerimaan •Fungsi konsumsi dan fungsi tabungan •Surplus konsumen •Surplus produsen

Matematika Ekonomi - 2010

1

KALKULUS INTEGRAL  BAB sebelumnya telah di bahas kalkulus DIFERENSIAL yang pada intinya mengukur tingkat perubahan fungsi .  Dalam ilmu Ekonomi seringkali perlu untuk membalik proses pendiferensialan dan mencari fungsi awal F(X) yang tingkat perubahannya (yaitu turunannya f’(X) telah

diketahui.  Ini disebut pengintegralan . Fungsi F(X) disebut INTEGRAL atau anti turunan (antiderivatif) fungsi f’(X). Matematika Ekonomi - 2010

2

1

11/12/2010

 Integral suatu fungsi f(X) secara matematis ditulis dan

dinyatakan sebagai:

 f ( X )dX  F ( X )  K       

Ruas kiri dibaca dengan : INTEGRAL fungsi X terhadap X . Lambang ∫adalah tanda INTEGRAL f(X) adalah integran atau fungsi yg ingin diintegrasikan dX adalah proses integral terhadap variabel X F(X) diruas kanan integral dari fungsi X K adalah konstanta dari proses integrasi F(X) + K disebut integral tak tentu dari fungsi X.

Matematika Ekonomi - 2010

3

Contoh:  Untuk fungsi asal F(X)= X2+5  Fungsi turunannya adalah : f(X) = 2X Jika prosesnya dibalik, maka

 Diketahui fungsi derivatif f(X)= 2X. Cari fungsi asal F(X)  Jawab: F(X)= X2 + K

Matematika Ekonomi - 2010

4

2

11/12/2010

KAIDAH INTEGRAL  Referensi: Matematika Ekonomi dan Bisnis, Josep Bintang Kalangi, Buku 2, Hal. 78-87

Jenis Integral  INTEGRAL TAKTENTU, adalah integral yang mana nilai X dari fungsi tidak disebutkan sehingga dapat menghasilkan nilai dari fungsi tersebut yang banyak.  INTEGRAL TERTENTU adalah integral yang mana nilai X dari fungsi telah ditentukan,

sehingga nilai dari fungsi integral tersebut terbatas pada nilai x yang telah ditetapkan tersebut.

Matematika Ekonomi - 2010

6

3

11/12/2010

Contoh Integral Tertentu: 3

Aturan 3: Fungsi Pangkat:

 Carilah X 2 dX  1

 Penyelesaian:  Integral tak tentu adalah 3

F ( X )   X 2 dX  1

n  X dX 

X n 1 K n 1

X 21 K  1 X3 K 3 2 1

 Nilai integral tertentu adalah 3

3

F ( X )   X dX  1 X 3 3 2

1



1

 1 (3) 3  1 (1) 3  8 2 3 3 3

Matematika Ekonomi - 2010

7

Soal: Cari nilai dari intergral berikut:



5

4 X  dX

2 5



4 4 ( X  5 X )dX  2

Matematika Ekonomi - 2010

Aturan 6:Penjumlahan atau pengurangan dua fungsi

  f ( X )  g ( X )dX   f ( X )dX   g ( X )dX 8

4

11/12/2010

Aplikasi Fungsi Integral  Fungsi Biaya Total  Fungsi Penerimaan Total  Fungsi Konsumsi dan Tabungan  Kelebihan Konsumen (surplus konsumen)  Kelebihan Produsen (surplus produsen)

Matematika Ekonomi - 2010

9

Fungsi Biaya Total  Fungsi biaya marginal (marginal cost)  derivatif pertama dari fungsi biaya total (TC)  Untuk mencari fungsi biaya total TC=f(Q)  mengintegralkan fungsi biaya marginal  Fungsi biaya total merupakan antiderivatif atau integral dari fungsi biaya marginal (MC)

 Jika MC=f(Q), maka:

TC   f ' (Q)dQ   MCdQ  F (Q)  K AC  Matematika Ekonomi - 2010

TC f (Q)  Q Q 10

5

11/12/2010

Contoh:  Fungsi biaya marginal suatu produk:

MC=f(Q)=500+4Q Tentukan fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) jika biaya tetap diketahui Rp.3.000,-

Matematika Ekonomi - 2010

11

 Fungsi Biaya Total:

TC   f ' (Q)dQ   MCdQ  F (Q)  K TC   (500  4Q)dQ TC  500Q  2Q 2  3.000  Fungsi Biaya Rata-rata:

AC 

TC f (Q)  Q Q

2Q 2  500Q  3.000 Q 3.000 AC  2Q  500  Q AC 

Matematika Ekonomi - 2010

12

6

11/12/2010

Soal:  Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC=1,50Q2-4Q+12. Cari persamaan biaya total dan biaya rata-rata jika biaya tetap totalnya sebesar 20

Matematika Ekonomi - 2010

13

Fungsi Penerimaan Total:  Fungsi penerimaan marginal (MR) adalah derivatif pertama dari fungsi penerimaan total (TR), maka fungsi penerimaan total dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi penerimaan marginal

TR   MRdQ  F (Q)  K AR 

K=konstanta (harus bernilai nol)

TR f (Q)  Q Q

Matematika Ekonomi - 2010

14

7

11/12/2010

Contoh:  Jika fungsi penerimaan marginal dari suatu perusahaan adalah MR=f(Q)=5-3Q. Tentukan fungsi pernerimaan toral (TR) dan fungsi penerimaan rata-rata (AR)

TR   MRdQ  F (Q)  K TR   (5  3Q)dQ AR 

TR f (Q)  Q Q

TR  5Q  3 Q 2  K 2

Matematika Ekonomi - 2010

15

 Total Pendapatan (TR) Aturan 3: Fungsi Pangkat:

TR   MRdQ  F (Q)  K

X n1  X dX  n  1  K n

TR   (5  3Q)dQ TR  5Q  3 Q 2  K 2 K = nol. Sehingga fungsi penerimaan total:

TR  5Q  3 Q 2 2 Matematika Ekonomi - 2010

• Fungsi Pernerimaan Rata-rata:

TR f (Q)  Q Q 5Q  3 Q 2 2 AR   5 3 Q 2 Q AR 

16

8

11/12/2010

Soal:  Cari persamaan fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ta jika penerimaan marginalnya MR=900-28Q

Matematika Ekonomi - 2010

17

Fungsi Konsumsi & Tabungan:  Fungsi Konsumsi:

C   MPCdY  F (Y )  K Dimana: K= konsumsi minimum jika pendapatan Y=0

 Fungsi Tabungan:

S   MPSdY  F (Y )  K Dimana: K= tabungan negatif (dissaving) jika pendapatan Y=0 Matematika Ekonomi - 2010

18

9

11/12/2010

Contoh:  Jika kecenderungan konsumsi marginal (MPC) = 0,8 dan komsumsi miminum (K)=Rp15 M pada saat pendapatan Y=0. Cari fungsi konsumsinya.  Penyelesaian:

C   MPCdY  F (Y )  K C   0,8dY  0,8Y  K C  0,8Y  15 Matematika Ekonomi - 2010

19

Soal:  Carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat jika diketahui konsumsi minimumnya sebesar Rp.30 M dan MPC=0,8

Matematika Ekonomi - 2010

20

10

11/12/2010

Surplus Konsumen  Fungsi permintaan (demand)  Mencerminkan keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati konsumen berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang  Kemampuan membeli konsumen >

equilibrium

Matematika Ekonomi - 2010

21

 Jika fungsi permintaan P=f(Q), maka: KK 

Qe



f (Q)dQ  Qe .Pe 

0

Dimana: KK=Kelebihan konssumen Qe=Jumlah keseimbangan Pe=Harga keseimbangan

 Jika fungsi permintaan Q=f(P), maka: KK 

Qe

 f ( P)dP

Pe

Matematika Ekonomi - 2010

22

11

11/12/2010

Contoh:  Jika fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh Q=40-2P dan harga keseimbangan adalah 10, cari kelebihan konsumen (gunakan kedua macam cara) dan gambar grafiknya.

Matematika Ekonomi - 2010

23

 Penyelesaian:  Keseimbangan Pasar:

Q  40  2 P P  10  Q  20 Jadi keseimbangan pasar terjadi pada E(20,10)

 Titik potong dengan sb Q  P=0

Q  20 Jadi titik potong pada sumbu Q adalah (5,0)

 Titik potong dengan sb P  Q=0

P  20 Jadi titik potong pada sumbu P adalah (0,20)

Matematika Ekonomi - 2010

24

12

11/12/2010

Q  40  2 P

 Surplus Konsumen:

P  20  0,5Q

Cara 1:

KK 

Qe

 f (Q)dQ  Q .P  e

e

0

20

KK   (20  0,5Q)dQ  (20.10) 0

KK  20Q  0,25Q 2



20 0

 200

 



KK  20(20)  0,25(20) 2  20(0)  o,25(0) 2  200 KK  400  100  0  200 KK  100 Matematika Ekonomi - 2010

25

Q  40  2 P

 Surplus Konsumen: Cara 2:

KK 

P  20  0,5Q

Qe

 f ( P)dP

Pe

20

KK   (40  2 P)dP 10

KK  40 P  P 2



20 10

 

KK  40(20)  (20) 2  40(10)  (10) 2



KK  400  300 KK  100 Matematika Ekonomi - 2010

26

13

11/12/2010

Matematika Ekonomi - 2010

27

Surplus Produsen  Fungsi penawaran  Keuntungan lebih atau surplus yang dinikmati produsen berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.  Selisih jumlah hasil penjualan barang dengan jumlah yang penjualan direncanakan

Matematika Ekonomi - 2010

28

14

11/12/2010

 Jika fungsi penawaranP=f(Q), maka: KP  Qe .Pe  

Qe

 0

f (Q)dQ

Dimana: KP=surplus produsen Qe=Jumlah keseimbangan Pe=Harga keseimbangan

 Jika fungsi penawaran Q=f(P), maka: KP 

Pe

 f ( P)dP B

Dimana: KP=surplus produsen B = titik potong sumbu P jika Q=0 Pe=Harga keseimbangan

Matematika Ekonomi - 2010

29

Contoh:  Jika fungsi penawaran suatu produk ditunjukkan oleh P=0,50Q+3. Dan harga keseimbangan adalah 10. Cari surplus produsen dan gambar grafiknya.

Matematika Ekonomi - 2010

30

15

11/12/2010

 Penyelesaian:  Keseimbangan Pasar:

 Titik potong dengan sb Q  P=0

P  0,5Q  3

Q  6

P  10  Q  14

Jadi titik potong pada sumbu Q adalah (-6,0)

Jadi keseimbangan pasar terjadi pada E(14,10)

 Titik potong dengan sb P  Q=0

P3 Jadi titik potong pada sumbu P adalah (0,3)

Matematika Ekonomi - 2010

31

P  0,5Q  3

 Surplus Produsen: Cara 1:

KP 

Q  6  2 P

Qe

 f (Q)dQ  Q .P  e

e

0

14

KP  (14.10)   (0,5Q  3)dQ 0

 KP  140  0,25(14)



14

KP  140  0,25Q 2  3Q 0 2

 



 3(14)  0,25(0) 2  3(0)

KP  140  91  0 KP  49 Matematika Ekonomi - 2010

32

16

11/12/2010

P  0,5Q  3

 Surplus Konsumen: Cara 2:

KP 

Q  6  2 P

Pe

 f ( P)dP B

10

KP   (6  2 P)dP 3

KP  6 P  P 2



10 3

 

KP   6(10)  (10) 2   6(3)  (3) 2



KP  40  (9) KP  49 Matematika Ekonomi - 2010

Matematika Ekonomi - 2010

33

34

17

11/12/2010

Soal:  Jika fungsi penawaran Q=-30+5P dan fungsi permintaan Q=60-4P.

Diminta:  Carilah posisi market equiibrium(ME)  Hitunglah Surplus Konsumen  Hitunglah Surplus Produsen  Gambar grafiknya. Matematika Ekonomi - 2010

35

18...