APLIKASI MATERI KALKULUS UNTUK BIOLOGI Oleh PDF

Preview

Summary

APLIKASI MATERI KALKULUS UNTUK BIOLOGI Oleh: Allen Marga Retta, M.Pd Dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas PGRI Palembang Email: [email protected] ABSTRAK Artikel ini membahas tentang aplikasi materi kalkulus khususnya integral pada Program Studi Pendidikan Biologi. Materi ...

Description

Accelerat ing t he world's research.

APLIKASI MATERI KALKULUS UNTUK BIOLOGI Oleh Margaretta Allen

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

SEMINAR PENDIDIKAN NASIONAL dessy wardiah

PEMBELAJARAN BERBASIS INKUIRI T ERBIMBING DENGAN MULT IMEDIA DAN LINGKUNGAN RIIL DIT INJA… amelia paat KOMPARASI PENGGUNAAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERAT IF T IPE T EAM GAMES T OURNAMENT (… Mira Mit rasari

APLIKASI MATERI KALKULUS UNTUK BIOLOGI Oleh: Allen Marga Retta, M.Pd Dosen Program Studi Pendidikan Matematika Universitas PGRI Palembang Email: [email protected] ABSTRAK

Artikel ini membahas tentang aplikasi materi kalkulus khususnya integral pada Program Studi Pendidikan Biologi. Materi pelajaran hakikatnya adalah pesan-pesan yang ingin disampaikan pada mahasiswa untuk dikuasai. Pesan yang disampaikan perlu dipahami oleh mahasiswa, sebab manakala tidak dipahami maka pesan tidak akan menjadi informasi yang bermakna. Agar pesan yang ingin disampaikan bermakna sebagai materi pelajaran, maka ada sejumlah kriteria yang harus diperhatikan diantaranya Novelty artinya suatu pesan akan bermakna apabila bersifat baru atau mutakhir, Proximity artinya pesan yang disampaikan harus sesuai dengan pengalaman mahasiswa, Conflict artinya pesan yang disajikan sebaiknya dikemas sedemikian rupa sehingga menggugah emosi, Humor, artinya pesan yang disampaikan sebaiknya dikemas sehingga menampilkan pesan yang menarik. Kata Kunci: materi kalkulus, Biologi

1059

A. PENDAHULUAN Matematika merupakan kebutuhan universal yang mendasari perkembangan teknologi modern dan mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin ilmu serta memajukan daya pikir manusia. Oleh karena itu matematika merupakan sarana untuk menumbuhkembangkan cara berpikir logis, cermat, dan kreatif (Soedjadi, 2000:43). Memandang arti penting matematika, maka sudah selayaknya jika setiap pembelajar harus memiliki kemampuan untuk menguasai matematika. Adapun visi Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas Sriwijaya (Unsri) untuk dapat menyelenggarakan, membina, dan mengembangkan: 1. Pendidikan yang menghasilkan tenaga kependidikan dan tenaga ahli yang profesional serta mampu bersaing secara global. 2. Penelitian di bidang kependidikan dan ilmu murni yang menghasilkan informasi dan pembaharuan kependidikan. 3. Pengabdian yang berorientasi pada perbaikan mutu pendidikan sesuai dengan perkembangan dan kebutuhan masyarakat. (FKIP Unsri, 2007: 3) Berdasarkan visi tersebut, Program Studi Pendidikan Biologi yang berada di bawah naungan FKIP telah menyusun kurikulumnya. Dalam kurikulumnya memuat mata kuliah Kalkulus yang diharapkan dapat membantu menyelesaikan masalahmasalah dalam Biologi. Namun berdasarkan silabus pada mata kuliah Kalkulus di Program Studi Pendidikan Biologi ternyata belum tersedia sepenuhnya matematika yang menunjang masalah-masalah dalam Biologi. Hal ini menyebabkan materi Kalkulus belum tersusun dengan baik. Oleh karena itu perlu dilakukan penyusunan materi Kalkulus yang dapat menyelesaikan masalah-masalah Biologi. Penyusunan materi dimaksudkan agar dapat disesuaikan dengan pembelajaran Biologi (Retta, 2012). Adapun materi Kalkulus yang digunakan dalam Biologi yaitu integral. Dalam artikel ini membahas materi Integral yang dikaitkan dengan menganalisis perkembangan populasi dalam Biologi. Oleh karena itu, perlu dikembangkan materi matematika khususnya integral agar dapat memecahkan masalah-masalah dalam Biologi. Sehingga dapat menonjolkan bahwa matematika merupakan sarana untuk menumbuhkembangkan cara berpikir logis, cermat, dan kreatif.

1060

Berdasarkan uraian diatas, masalah yang akan dijawab dalam pembahasan ini adalah bagaimana materi integral dapat digunakan di Program Studi Pendidikan Biologi? 1. Hakikat Materi Pembelajaran Bahan atau materi pelajaran adalah segala sesuatu yang menjadi isi kurikulum yang harus dikuasai oleh mahasiswa sesuai dengan kompetensi dasar dalam rangka pencapaian standar kompetensi setiap mata kuliah dalam satuan pendidikan tertentu. Mata kuliah merupakan bagian terpenting dalam proses pembelajaran, bahkan dalam pengajaran yang berpusat pada materi pelajaran, materi pelajaran merupakan inti dari kegiatan pembelajaran. Menurut materi pelajaran keberhasilan suatu proses pembelajaran ditentukan oleh seberapa banyak mahasiswa dapat menguasai kurikulum. Materi pelajaran dapat dibedakan menjadi: pegetahuan (knowledge), keterampilan (skill), dan sikap (attitude). Pengetahuan menunjuk pada informasi yang disimpan dalam pikiran (mind) mahasiswa, dengan demikian pengetahuan berhubungan dengan berbagai informasi yang harus di hafal dan dikuasai oleh mahasiswa, sehingga manakala diperlukan mahasiswa dapat mengungkapkan kembali. Keterampilan (skill) menunjuk pada tindakan-tindakan (fisik dan nonfisik) yang dilakukan seseorang dengan cara yang kompeten untuk mencapai tujuan tertentu. Sikap menunjuk pada kencendrungan seseorang untuk bertindak sesuai dengan nilai dan norma yang diyakini oleh mahasiwa (Sanjaya, 2008:142). 2. Prinsip Pengemasan Materi Pembelajaran Menurut Sanjaya (2008:149) materi pelajaran hakikatnya adalah pesanpesan yang ingin disampaikan pada peserta didik untuk di kuasai. Pesan adalah informasi yang akan disampaikan baik berupa ide, data dan konsep. yang dapat berupa kalimat, tulisan, gambar, peta, ataupun tanda. Pesan bisa disampaikan melalui bahasa verbal atau nonverbal. Pesan yang disampaikan perlu dipahami oleh mahasiswa, sebab manakala tidak dipahami maka pesan tidak akan menjadi informasi yang bermakna.

1061

Menurut Sanjaya (2008:150) agar pesan yang ingin disampaikan bermakna sebagai materi pelajaran, maka ada sejumlah kriteria yang harus diperhatikan diantaranya adalah sebagai berikut: a. Novelty, artinya suatu pesan akan bermakna apabila bersifat baru atau mutakhir. Pesan yang usang atau sebenarnya telah diketahui oleh mahasiswa, maka akan mempengaruhi tingkat motivasi dan perhatian mahasiswa dalam mempelajari materi pelajaran. b. Proximity, artinya pesan yang disampaikan harus sesuai dengan pengalaman mahasiswa. Pesan yang disajikan jauh dari pengalaman mahasiswa cenderung akan kurang diperhatikan. c. Conflict, artinya pesan yang disajikan sebaiknya dikemas sedemikian rupa sehingga menggugah emosi. Memang hal ini tidaklah mudah sebab tidak semua materi pelajaran bisa dikemas seperti itu. Akan tetapi, seorang perencana yang baik mestinya berusaha ke arah itu. d. Humor, artinya pesan yang disampaikan sebaiknya dikemas sehingga menampilkan pesan yang menarik. Beberapa pertimbangan teknis dalam mengemas isi atau materi pelajaran menjadi bahan belajar diantaranya adalah: a. Kesesuaian dengan tujuan yang harus dicapai Kesesuaian antara pengemasan materi pelajaran dengan tujuan yang harus dicapai, seperti yang dirumuskan dalam kurikulum secara teknis harus menjadi pertimbangan pertama, sebab dalam pendekatan sistem tujuan adalah komponen

utama

dalam

proses

pembelajaran.

Artinya

apapun

yang

direncanakan termasuk pengemasan materi pelajaran diarahkan untuk mencapai tujuan pembelajaran secara optimal. Oleh sebab itu, sebelum dilakukan pengemasan materi pelajaran sebaiknya ditentukan terlebih dahulu tujuan yang harus dicapai baik tujuan dalam bentuk perubahan perilaku yang bersifat umum (goals), maupun perilaku terukur dalam bentuk indikator hasil belajar (objectives). b. Kesederhanaan Materi

pembelajaran

dikemas

dengan

tujuan

untuk

mempermudah

mahasiswa belajar. Dengan demikian, kesederhanaan pengemasan merupakan

1062

salah-satu pertimbangan yang harus diperhatikan. Pengemasan tersebut bukan hanya tercerminkan dari bentuk pengemasannya itu sendiri, akan tetapi juga dilihat dari bentuk penyajiannya, misalnya bahasa yang komunikatif dan mudah ditangkap maknanya atau mungkin kesederhanaan dalam perintah penggunaan bahan ajar yang lebih praktis. c. Unsur-unsur desain pesan Dalam setiap kemasan sebaiknya terdapat unsur gambar dan caption. Pengemasan materi yang hanya terdiri dari atas gambar atau caption saja akan mengurangi makna penyajian informasi. Walaupun bahan pelajaran dikemas dalam bentuk visual misalnya, unsur caption harus menjadi bagian dari teknik penyajian, sebab salah satu kriteria keberhasilan pengemasan adalah apakah pengemasan pesan atau informasi yang disajikan itu mudah dipahami atau tidak. Agar mudah dipahami, maka penyajian pesan dan informasi harus menyertakan unsur gambar dan caption. d. Pengorganisasian bahan Materi

pelajaran

sebaiknya

disusun

dalam

bagian-bagian

menuju

keseluruhan. Materi pelajaran akan lebih mudah dipahami manakala disusun dalam bentuk unit-unit terkecil atau dalam bentuk pokok-pokok bahasan yang dikemas secara induktif. Selesai mahasiswa mempelajari unit tertentu segera berikan umpan balik, demikian seterusnya sampai mahasiswa menguasai materi secara keseluruhan secara tuntas. e. Petunjuk cara penggunaan Dalam bentuk apapun pengemasan materi harus disusun petunjuk cara penggunaannya. Hal ini sangat penting, apalagi seandainya bahan ajar dikemas untuk pembelajaran mandiri seperti modul. 3. Model matematika Menurut Chandra (2008) secara sederhana model matematika dapat didefinisikan sebagai suatu konstruksi matematis yang didesain untuk mempelajari suatu fenomena tertentu di dunia nyata. Konstruksi tersebut dapat berupa konstruksi grafis, simbolik, simulasi, dan eksperimen. Model simbolik dapat merupakan suatu rumus atau persamaan.

1063

Selanjutnya, dengan menyajikan suatu garis besar prosedur yang menolong dalam penyusunan model matematika. Langkah 1. Mengidentifikasi masalah. Langkah ini merupakan langkah yang sulit karena sering mengalami kesulitan dalam menentukan apa yang harus dikerjakan. Dalam situasi dunia nyata tidak ada seseorang yang memberikan kepada kita suatu problema matematika untuk diselesaikan. Biasanya kita harus memilih di antara sejumlah besar data dan mengidentifikasi suatu aspek tertentu yang ingin kita pelajari. Selanjutnya, kita harus secara tepat merumuskan masalah sehingga dapat menterjemahkan pernyataan verbal yang menggambarkan masalah dalam simbol matematika. Langkah 2. Membuat asumsi. Ada dua kegiatan utama dalam langkah ini, yaitu sebagai berikut. a. Mengklasifikasikan variabel. b. Menentukan hubungan di antara variabel-variabel yang sudah dipilih. Langkah 3. Menyelesaikan atau mengintrepretasikan model. Pada langkah ini, sering kali tidak dapat menemukan penyelesaian model. Dalam hal ini harus kembali ke langkah 2 untuk membuat asumsi tambahan untuk menyederhanakan. Atau harus kembali ke langkah 1 untuk mendefinisikan kembali masalah. Langkah 4. Memeriksa kebenaran model. Sebelum menggunakan model, kita harus menguji model tersebut. Ada beberapa pertanyaan yang dapat diajukan sebelum melaksanakan pengumpulan data. Pertama, apakah model menjawab masalah yang diidentifikasi pada langkah 1 atau model tersebut menjadi terpisah dari isu utama pada saat kita menyusun model. Kedua, apakah model dapat digunakan secara mudah, misalnya apakah kita dapat mengumpulkan data yang diperlukan untuk melaksanakan model?. Ketiga, apakah model tersebut masuk akal? Apakah kita tidak membuat kesalahan matematika dalam langkah 3 atau membuat kesalahan asumsi pada langkah 2? Jika pertanyaan-pertanyaan tersebut sudah dijawab dengan memuaskan maka dapat menguji model dengan menggunakan data tersebut. Kita juga harus berhati-hati dalam menarik kesimpulan tentang hasil pengujian model. Langkah 5. Mengimplementasikan (Melaksanakan) model. Suatu model tidak akan berguna jika tidak dilaksanakan. Kita harus dapat menggunakan dan

1064

menjelaskan model dengan menggunakan istilah-istilah yang dapat dimengerti oleh pengguna model. Langkah 6. Memperbaiki model. Ingat kembali model diturunkan dari masalah khusus yang diidentifikasi dalam langkah 1 dan dari asumsi yang dibuat dalam langkah 2. Oleh karena itu penting untuk dilihat kembali apakah masalah semula mengalami perubahan, atau suatu faktor yang sebelumnya dihilangkan sekarang menjadi faktor yang penting. Apakah salah satu dari submodel perlu diubah? Jika hal tersebut perlu dilakukan maka kita harus memperbaiki model tersebut. 4. Materi Integral dalam Pemodelan Mangsa-Pemangsa Tidak ada makhluk hidup yang dapat hidup terisolasi atau hidup tersendiri. Setiap makhluk hidup pasti akan membutuhkan makhluk hidup lainnya. Makhluk hidup di alam merupakan suatu sistem (individu-populasi-komunitas-ekosistem). Setiap

spesies

makhluk

hidup

saling

berinteraksi

antarindividu

maupun

antarpopulasi. Interaksi ini menciptakan kesatuan ekologi yang disebut ekosistem. Dalam ekosistem terjadi proses makan dan dimakan agar menjadikan ekosistem tersebut tetap seimbang. Peristiwa ini memberikan ide untuk membuat model matematika, yang dapat dipelajari dengan mudah. Salah satu ekosistem antara dua spesies yang dimodelkan secara matematika pertama kali melibatkan antara pemangsa dan mangsanya. Dengan menggunakan model matematika tersebut, Anda dapat menentukan perbandingan predator (pemangsa) dengan prey (mangsa) agar ekosistem tetap seimbang. Pada modul ini Anda akan mempelajari interaksi ekosistem di laut antara hiu dan ikan kecil pemakan plankton. Ikan kecil tersebut merupakan sumber makanan hiu. Misal: F = Populasi ikan (sumber makanan hiu) di wilayah laut tertentu. S = Populasi hiu di wilayah yang sama. �� �� � ��

= Kecepatan perubahan populasi ikan pemakan plankton dalam kurun waktu tertentu. = Kecepatan perubahan populasi hiu dalam kurun waktu tertentu.

1065

Diasumsikan disuatu wilayah laut yang terbatas menyebabkan antara ikan pemakan plankton dan hiu tidak dapat berinteraksi. Sehingga dapat dinyatakan: �� = � �, ��

;

� = ℎ �, ��

Sebelum merumuskan model yang lebih spesifik, Anda harus mengetahui pengaruh yang akan Anda jadikan sebuah model. Karena suatu model matematika tidak dapat diinterpretasikan dengan baik tanpa mengetahui parameter yang terdapat pada model tersebut. Sebagai contoh, jika nelayan tidak memancing ikan pemakan plankton selama beberapa tahun, maka populasi ikan dipastikan meningkat. Setelah populasi ikan meningkat, maka hiu akan mendapat tambahan makanan yang dapat membuat populasi hiu meningkat pula. Jika populasi hiu meningkat maka populasi ikan pemakan plankton akan menurun. Akibatnya hiu tidak bisa memakan ikan pemakan plankton dan mengharuskan untuk menurunkan jumlah populasi hiu. Ini akan mengakibatkan populasi ikan pemakan plankton akan menjadi seperti semula. Kemungkinan ini bisa terjadi apabila prosesnya terus berlangsung dalam jangka waktu yang tidak terbatas antara predator (pemangsa) dan prey (mangsa). Dalam perkembangan sebuah model ekosistem menjelaskan interaksi antara dua spesies. Jika dalam suatu ekosistem tersebut tidak terjadi interaksi antara dua spesies. Maka Anda akan menanyakan persamaan apa yang tepat dari suatu populasi hiu jika tidak ada ikan atau sebaliknya. Diasumsikan bahwa jika hiu tidak ada, dan ikan pemakan plankton berproduksi dalam laju yang sebanding dengan populasinya serta tidak dipengaruhi oleh kepadatan populasinya, disimpulkan bahwa jumlah pertumbuhan ikan pemakan plankton adalah konstan. �� = � ��

Jika tidak ada ikan pemakan plankton, maka sumber makanan hiu tidak ada. Dalam hal ini, populasi hiu yang mati melebihi populasi hiu yang lahir karena tidak ada ikan yang menjadi sumber makanannya. Maka Anda dapat mengasumsikan bahwa: � =− ��

1066

Karena tidak ada ikan pemakan plankton, maka spesies hiu akan punah dalam jangka waktu yang singkat. Maka Anda dapat menentukan dengan h(0,S) = - kS.

� ��

= ℎ �,

,

Sekarang Anda akan memodelkan interaksi yang kompleks antara ikan pemakan plankton dan hiu. Diasumsikan bahwa populasi ikan pemakan plankton lebih banyak dari populasi hiu. Sehingga, ikan pemakan plankton dapat menyebabkan meningkatnya jumlah pertumbuhan hiu, dalam model matematika yang sederhana, Anda dapat mengasumsikan bahwa populasi pertumbuhan hiu akan meningkat sebanding dengan populasi ikan pemakan plankton. Begitu pula sebaliknya. Maka,

Dengan,

� =− ��

+ �� ;

�� = �− ��

�

k = Koefesien laju kematian populasi hiu. i

= Konstanta proporsi yang mengukur keuntungan dari populasi hiu yang memangsa ikan pemakan plankton.

a = Koefesien laju pertumbuhan populasi ikan pemakan plankton. b = Konstanta proporsi yang mengukur banyaknya interaksi hiu dan ikan pemakan plankton yang mana ikan pemakan plankton di mangsa. Dalam model di atas dapat Anda lihat bahwa dalam sistem tersebut

� ��

dan

�� ��

dipengaruhi oleh S dan F. Perhatikan tanda (+) atau (-) dalam sistem tersebut. Oleh karena i positif, maka suku “iFS” tak negatif, hal ini mengindikasikan peningkatan jumlah populasi ikan pemakan plankton meningkatkan jumlah populasi hiu. Begitu juga karena b positif, maka suku

“-bSF” tak positif, hal ini mengindikasikan

peningkatan banyaknya hiu mengurangi populasi ikan pemakan plankton. 5. JUMLAH POPULASI PEMANGSA DAN MANGSA Dalam model matematika yang sudah dijelaskan sebelumnya. Perlu di catat bahwa tingkat kestabilan antara populasi predator atau pemangsa dengan prey atau mangsa bisa dihitung dengan mudah. Misal

1067

5.1

Diasumsikan persamaan dengan waktu tertentu pada predator S,

Dibagi dengan S, maka

� = − + �� �� � = − + �� ��

� = − + �� ��

Jika persamaan ini diintegralkan dari waktu awal ke waktu sembarang, maka, �

�

�

∫ � = ∫ − �� + ∫ �� ��

�

� �

�

�

�

= − �−�

�

+ � ∫ � � �� �

Misal, Anda integralkan secara periode, bahwa t = t1, dengan t1-t0 = T populasi predator (S) S(t)

T

t(waktu)

t0

t1 Gambar 1.

Grafik populasi pemangsa terhadap waktu. Periode osilasi T diindikasikan dalam gambar 2.3 diatas. Maka populasi periodiknya. S(t1) = S(t0), Dengan mengevaluasi persamaan diatas dimana t = t1, maka =−

�

+ � ∫ � � �� �

1068

�

= � ∫ � � �� �

� +

∫ � � �� =

�

�

5.2 Diasumsikan persamaan dengan waktu tertentu pada mangsa F. �� = �− � �� �� =� − ��

Dibagi dengan F, maka

�� = � ��

−

Jika persamaan ini diintegralkan dari waktu awal ke waktu sembarang, maka, �

�

�

∫ �� = ∫ �� − ∫ � �

�

�

� � � = � �

�−�

−

�

∫

�

�� �

Misal, Anda integralkan secara periode, bahwa t = t1, dengan t1-t0 = T Populasi periodiknya F(t1) = F(t0), Dengan mengevaluasi persamaan diatas dimana t = t1, maka ∫

� ��

=− ∫

� ��

= −

−

� +

∫

�

�

�

�

�

� �� =

1069

Jumlah populasi mangsa adalah

� , �

dan jika Anda hitung untuk

jumlah populasi pemangsa, maka akan diperoleh , sehingga sistem ini benar-benar seimbang. Dengan kata lain cukup banyak mangsa untuk menunjang kekonstanan populasi pemangsa yang . Setiap spesies rata-rata lahir secara eksak sama dengan ratarata kematiannya dan populasi ini bertahan untuk jangka waktu yang tidak terbatas. Oleh karena itulah, sistem ini dikatakan seimbang.

Contoh Soal Suatu kelompok tikus di No...