APLIKASI MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI PDF

Preview

Summary

APLIKASI MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Makalah Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Terstruktur Mata Kuliah : Aljabar Matriks Dosen Pengampun : Herlinda Nur’afwa SofhyaM.Si Oleh: Fikri Nandiwardhana(1808105157) Kelas : D Semester : 4 JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEG...

Description

APLIKASI MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI Makalah Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Terstruktur Mata Kuliah : Aljabar Matriks Dosen Pengampun

: Herlinda Nur’afwa SofhyaM.Si

Oleh:

Fikri Nandiwardhana(1808105157) Kelas : D Semester : 4

JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS ILMU

TARBIYAH DAN KEGURUAN (FITK) IAIN SYEKH NURJATI CIREBON 2020

KATA PENGANTAR Puji dan syukur dipanjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat, kekuatan, dan kebijaksanaan dalam menyusun dan menyelesaikan penulisan makalah yang berjudul Aplikasi Matriks Dalam Kehidupan Sehari-Hari. Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas terstruktur mata kuliah Aljabar Matriks Program Studi Tadris Matematika (S1) Institut Agama Islam Negeri Syekh Nurjati Cirebon. Makalah ini diperuntukkan bagi para pembaca yang ingin mengetahui dan memperdalam pemahaman tentang aplikasi matriks dalam kehidupan sehari-hari. Penyelesaian makalah ini tidak terlepas dari bantuan, dukungan serta doa. Dengan segala kerendahan hati, penulis menyampaikan penghargaan dan rasa terima kasih yang sebesarbesarnya kepada rekan-rekan yang telah mendukung kelancaran mengerjakan dan menyelesaikan makalah ini. Disadari bahwa dalam penulisan dan penyuntingan makalah ini, masih banyak kekurangan dan keterbatasan sehingga segala saran dan kritik yang bersifat membangun demi penyempurnaan makalah ini akan diterima dengan senang hati. Akhirnya, diharapkan makalah ini bermanfaat bagi para pembaca agar dapat menyelesaikan persoalan mengenai aplikasi matriks dalam kehidupansehari-hari.

Cirebon,

Juni 2020

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.................................................................................................................... i DAFTAR ISI.................................................................................................................................. ii BABIPENDAHULUAN ................................................................................................................ 1 1.1.

LatarBelakang ................................................................................................................ 1

1.2.

RumusanMasalah ........................................................................................................... 1

1.3.

TujuanPenulisan............................................................................................................. 2

BABIIPEMBAHASAN ................................................................................................................. 3 2.1.

PengertianMatriks ......................................................................................................... 3

2.2.

Jenis-JenisMatriks ......................................................................................................... 3

2.3.

Manfaat Matriks DalamKehidupanSehari-Hari......................................................... 5

2.4.

Aplikasi Matriks Dalam KehidupanSehari-Hari ........................................................ 6

BABIIIPENUTUP ....................................................................................................................... 15 3.1.

Kesimpulan ................................................................................................................... 15

3.2.

Saran .............................................................................................................................. 15

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 16

ii

BAB I PENDAHULUAN 1.1. LatarBelakang Matriks merupakan sebuah cabang dari ilmu Aljabar Linear, yang mana merupakan salah satu bahasan penting dalam matematika. Matriks merupakan suatu kumpulan dari simbol, bilangan ekspresi yang memiliki bentuk persegi panjang dan tersusun sesuai dengan kolom dan baris. Beberapa bilangan yang ada pada matriks ini dinamakan elemen atau anggota dari matriks. Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Matriks banyak digunakan untuk penyelesaian berkaitan dengan matematika. Seperti menemukan jalan keluar dari persamaan linier dan transformasi dari linier yaitu dengan bentuk umum dari fungsi linier itu sendiri. Contohnya rotasi dalam 4 dimensi. Matriks ini juga memiliki bentuk variabel, sehingga dapat dimanipulasi, mulai dari dijumlah, dikalikan dan dikurangkan. Dengan menggunakan matriks maka sistem hitung dapat dilaksanakan jauh lebih tersusunrapi. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabelvariabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan. Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Oleh karena itu, pada makalah ini, saya akan membahas bagaimana pentingnya kita mempelajari matriks serta bagaimana aplikasi matriks dalam kehidupan sehari-hari. 1.2. RumusanMasalah 1) Apa itumatriks? 2) Apa saja jenis-jenismatriks? 3) Bagaimana manfaat matriks dalam kehidupansehari-hari? 1

4) Bagaimana aplikasi matriks dalam kehidupansehari-hari? 1.3. TujuanPenulisan 1) Untuk mengetahui apa itumatriks. 2) Untuk mengetahui jenis-jenismatriks. 3) Untuk mengetahui manfaat matriks dalam kehidupansehari-hari. 4) Untuk mengetahui aplikasi matriks dalam kehidupansehari-hari.

2

BAB II PEMBAHASAN 2.1. PengertianMatriks Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat yang diatur dalam baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota/elemen /unsur dari matriks tersebut. Ordo/ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang dimiliki oleh matriks tersebut. Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar atau horizontal dalam matriks. Sedangkan kolom pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak atau vertikal dalam matriks. Contoh: Matriks A memiliki dua buah baris dan tiga buah kolom, sehingga kita katakan matriks A berordo 2 x 3 dan ditulisA2x3. Suatu matriks diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, dan sterusnya, sedangkan anggotanya dinyatakan dengan huruf kecil. Anggota dari suatu matriks dapat pula dinyatakan dengan huruf kecil yang berindeks ganda (aij) , dengan indeks pertama menyatakan di baris mana unsur itu terletak dan indeks kedua menyatakan di kolom mana unsur itu terletak. Sebagai contoh a12 artinya unsur tersebut terletak pada baris kesatu dan kolom kedua. Begitu juga a23 artinya unsur tersebut terletak pada baris kedua dan kolom ketiga. Notasi yang digunakan untuk menyatakan matriks bisa dengan kurung kecil : ( ), kurung siku : [ ], atau dengan garis tegak dobel ‖‖. Secara umum suatu matriks dituliskan dengan Amxn dengan m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom. Dengan demikian m = 1, 2, 3, ..., m dan n = 1, 2, 3, ..., n, sehingga bentuk umumnya: 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎 𝑎22 … 𝑎2𝑛 A=[ 21 ] ⋮ … … ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 2.2. Jenis-JenisMatriks Beberapa macam jenis-jenis matriks: 1) Matriks PersegiPanjang Matriks yang memiliki banyak baris tidak sama dengan banyaknya kolom.

3

Contoh: A =[ 1 2 3] 6 5 4 2) MatriksPersegi Matriks yang memiliki banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. 3 2 Contoh: A=[ ] 4 2 3) MatriksNol Matriks yang semua unsurnya nol. 0 0 0 0 Contoh: A = [0], 0 0 0],[0 0 0] 0[ 0 0 0 0 0 0 0 4) Matriks Baris/ VektorBaris Matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh: A=[1

4 3

5]

5) Matriks Kolom/ VektorKolom Matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. 5 4 Contoh: A = [ ] 7 2 6) Matriks Satuan/MatriksIdentitas Matriks skalar yang semua unsur diagonal utamanya 1. 1 0 0 Contoh: A = [0 1 0] 0 0 1 7) MatriksDiagonal Matriks persegi yang unsur-unsur selain unsur diagonal utamanya adalah nol. 1 0 0 Contoh: A = [0 2 0] 0 0 3 8) MatriksSaklar Matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya adalah skalar k yang sama. 5 0 0 Contoh: A = [0 5 0] 0 0 5 4

9) Matriks SegitigaAtas

5

Matriks persegi yang semua unsur di bawah diagonal utamanya nol. Atau dapat dikatakan suatu matriks persegi A = [aij] adalah segitiga atas jika dan hanya jika aij = 0 untuk i > j. 4 3 2 Contoh: A = [0 5 1] 0 0 5 10) Matriks SegitigaBawah Matriks persegi yang semua unsur di atas diagonal utamanya nol. Atau dapat dikatakan suatu matriks persegi A = [aij] adalah segitiga bawah jika dan hanya jika aij = 0 untuk i < j. 4 0 0 Contoh: A = [2 5 0] 3 6 5 11) MatriksSimetri Matriks persegi yang semua unsur aij = unsur aji untuk setiap i dan j. 0 Contoh: A = [6 8

6 −1 2

8 2] 3

12) Matriks Anti Simetri/Simetri Miring (SkewSymetry) Matriks persegi yang semua aij = - aji untuk setiap i dan j. 0 Contoh: A=[−5 2

5 −2 0 4] 4 0

2.3. Manfaat Matriks Dalam KehidupanSehari-Hari 1) Dengan menggunakan representasi matriks dalam menyelesaikan permasalahan matematika, perhitungan dapat dilakukan dengan lebihterstruktur. 2) Dapat Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung bermacam – macamvariabel. 3) Dapat dimanfaatkan dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan , misalnya masalah operasi penyelidikan sumber – sumber minyak bumi dansebagainya. 4) Matriks dikaitkan dengan penggunaan program linear, analisis input output baik dalam ekonomi, statistik, maupun dalam bidang pendidikan, manajemen, kimia, dan bidang – bidang teknologi yanglainnya.

6

5) Dengan menggunakan Microsoft Office Excel sebagai media pembelajaran. Khususnya untuk menghitung berbagai operasi matriks ternyata cukup mudah untuk dilakukan oleh guru serta sangat efisien untuk waktu pengerjaan sebuah matriks, jika secara manual untuk menghitung sebuah matriks yang memiliki orde banyak diperlukan waktu yang sangat lama bahkan sampai berhari-hari. Tetapi dengan menggunakan fungsi matriks untuk menghitungnya dapat dilakukan hanya dengan beberapa menit saja. Apalagi dengan menggunakan Microsoft Office Excel sebagai media pembelajaran, cukup mudah dilaksanakan dan sangat efektif digunakan sebagai alat bantu untuk membuat soal-soal latihan interaktif. Hanya saja dibutuhkan keahlian dan daya imaginasi guru tersebut untuk mengembangkan media pembelajaran dengan menggunakan Microsoft Office Excel. 6) Dalam militer ternyata matriks juga dibutuhkan fungsinya, di dalam dunia spionase dan militer pesan-pesan yang dikirim seing kali ditulis dengan menggunakan kode-kode rahasia. Hanya penerima yang sebenarnya yang memiliki kuncinya sehingga dapat membuka kode tersebut. Kode atau tulisan rahasia tersebut disebut kriptogram Semakin sulit kriptogramnya maka semakin disukai oleh si pengguna. Pemakaian bilangan pengganti abjad sering dijumpai dalam kriptografi salah satu penggunaannya adalah dalam bentuk matriks. Karena matriks memiliki operasi perkalian yang melibatkan beberapa elemennya sekaligus sehingga penyidikan kode yang berbentuk kode matriks sulitdilakukan. 2.4. Aplikasi Matriks Dalam KehidupanSehari-Hari Matriks adalah salah satu cabang ilmu matematika aljabar linear yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengerahuan, aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam bidang ilmu matematika maupun ilmu terapannya. Matriks ini jika dimanfaatkan dengan baik dengan penerapan contoh matriks dalam kehidupan sehari-hari maka fungsi matriks akan terpenuhi dan memberikan suatu manfaat tersendiri bagi yang menggunakannya bahkan bagi menata kehidupan masyarakat yang jauh lebihbaik. Aplikasi matriks dalam kehidupan sehari-hari: 1) Dalam Bidang PermasalahanMatematika

7

Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika, misalnya dalam menentukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear, contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstrukrur 2) Dalam BidangEkonomi 1. Untuk mengetahui strategi manakah yang optimal dari suatuperusahaan. 2. Sebagai AnalisisMasukan-Keluaran Penggunaan matematika terbukti sangat menunjang kemajuan teori ekonomi. Analisis ekonomi saat ini semakin spesipik, akurat dan efisien. Asumsi-asumsi ekonomi yang abstrak, yang bila diverbalkan membutuhkan berlembar-lembar kertas, dengan model matematika dapat dijelaskan secara eksplisit dengan menjabarkan beberapa persamaan saja. Tidak mengherankan bila dewasa ini penggunaan matematika dalam analisis ekonomi semakin intensif digunakan. Berbeda halnya dengan matematika murni, yang menggunakan simbol-simbol yang umum digunakan yaitu x, y, z, simbolsimbol dalam matematika ekonomi dan bisnis sesuai dengan variabel ekonominya, misalnya harga = P (price), biaya = C (cost), kuantitas = Q (quantity), tabungan = S (saving) dan lain sebagainya. Matriks merupakan salah satu konsep matematika yang digunakan dalam bidang ekonomi. Salah satu perkembangan yang menarik dari penerapan aljabar matriks dalam bidang ekonomi adalah analisis masukan–keluaran (input–output analysis), yang telah diperkenalkan dan dikembangkan pertama kali pada tahun 1936 oleh Wassily W. Leontief dari Harvard University. Analisis masukan– keluaran merupakan suatu model matematika untuk menelaah struktur perekonomian yang saling kait mengait antar sektor atau kegiatan ekonomi. Model ini lazim diterapkan untuk dapat menganalisis sistem perekonomian secara makro, nasional ataupun regional. Analisis masukan–keluaran bertolak dari anggapan bahwa suatu sistem perekonomian terdiri atas sektor-sektor yang saling berkaitan, masing-masing sektor menggunakan keluaran dari sektor lain sebagai masukan bagi keluaran yang akan dihasilkannya, kemudian keluaran yang dihasilkan merupakan masukan pula bagi sektor lain. Sudah barang tentu, selain menjadi masukan bagi sektorlain, terdapat pula 8

keluaran dari sesuatu sektor yang menjadi masukan bagi sektor itu sendiri dan sebagai barang konsumsi bagi pemakai akhir. Dengan demikian apabila suatu data input-output dari berbagai sektor dikumpulkan dan ditabelkan maka akan diperoleh tabel yang berbentuk matriks, dan tabel demikian dalam analisa input-output dinamakan tabel transaksi. Langkah awal dalam analisis masukan-keluaran adalah menyusun suatu tabel yang dinamakan matriks transaksi atau matriks masukan-keluaran. Dari tabel matriks transaksi tersebut akan diperoleh sebuah persamaan yang mengambarkan hubungan masukan-keluaran antarsektor. Nilai setiap unsur dalam matriks transaksi akan menghasilakan suatu rasio yang dinamakan koefisien teknologi. Jika semua koefisien teknologi yang ada dihitung dan hasil-hasilnya disajikan di dalam suatu matriks, maka diperolehlah sebuah matriks teknologi. Jika ditulis secara ringkas dengan notasi matriks, hasil dari matriks transaksi adalah : U dan X masing-masing adalah vektor-kolom permintaan akhir dan vektor-kolom secara keluaran total, I adalah matriks satuan, sedangkan A adalah matriks teknologi yang dibentuk berdasarkan matriks transaksi. Jika matriks I – A nonsingular, yakni jika , maka ia akan mempunyai balikan. Dalam hal ini U = (I – A) X dapat ditulis menjadi Ini berarti bahwa jika matriks A dan vektor U diketahui, maka vektor X dapat dicari secara langsung menurut kaidah perkalian matriks. Dengan kata lain jika masing-masing koefisien masukan antar sektor dan permintaan akhir untuk setiap sektor diketahui datanya, maka dapatlah

dihitung

keluaran total dari tiap masing-masing sektor. Lebih lanjut, dengan dapat dihitungnya keluaran total sektoral akan dapat pula dihitung keluaran total nasional (GDP atau GNP). 3) Dalam BidangKriptografi Di dalam dunia spionase dan militer pesan-pesan yang dikirim seringkali ditulis dengan menggunakan kode-kode rahasia. Hanya penerima yang sah yang memiliki kuncinya sehingga dapat membuka sandi itu. Tulisan rahasia semacam ini biasa disebut kriptogram. Seandainya pesan tersebut jatuh ke tangan lawan, rahasia akan tetap terjamin jika lawan gagal mendapatkan kuncinya. Oleh sebab itu makin rumit kriptogram itu makin disukaipenggunaannya. Pemakaian bilangan sebagai pengganti abjad kerap dijumpai dalam kriptografi. Salah satu cara penggunaannya adalah dalam bentuk matriks. Mengapa matriks? 9

Matriks memiliki operasi perkalian yang melibatkan beberapa elemennya sekaligus, sehingga penyidikan terhadap kunci sandinya yang juga berbentuk matriks mustahil dilakukan. Berikut ini contoh pesan dalam bentuk matriks S yang dikirimkan oleh markas besar angkatan bersenjata kepada pasukannya di garis depan. 14 5 5 −10 3 12 S= −5 1 10 −11 5 −7 [4 −12 9] Panglima pasukan di garis depan memiliki kunci sandinya berupa matriks K di bawah ini 1 K = [0 1

0 −1 2

3 1] 0

Begitu diterima, pesan itu langsung diterjemahkan dengan mengalikannya dengan matriks kunci. Tentu saja perkalian dengan K ini harus dilakukan dari belakang karena matriks S berorde 5 ´ 3 sedangkan K berorde 3 ´ 3. Hasil kalinya adalah matriks P: 14 −10 P = S .K= −5 −11 [4

5 3 1 5 −12

19 5 47 21 2 2 = 5 19 15 11 10 1 [13 1 0 ]

5 12 1 10 . [0 −7 1 ] 9

0 −1 2

3 1] 0

19 5 18 21 2 2 5 19 15 11 10 1 [13 1 0]

𝑆 𝐸 𝑅 𝐵 𝑈 𝐵 𝐸 𝑆 𝑂 𝐾 𝐽 𝐴 [𝑀 1 0]

Konversi bilangan ke abjad menggunakan cara yang sederhana sekali yaitu 1 = A sampai 6 = Z, tetapi masih menggunakan apa yang disebut sebagai modulus 29. Bilangan 47 pada baris 1 kolom 3 harus dikurangi 29 dulu sebelum dikonversikan ke abjad. Semua bilangan yang tidak berada dalam range 1-26 harus ditambah atau dikurangi dengan kelipatan 29. Dari konteks kalimatnya 2 bilangan terakhir tidak perlu dikonversikan, lagipula bilangan 0 memang tidak dapat dikonversikan. Jadi pesan dari 10

markas besar berbunyi : SERBU BESOK JAM10.

11

Sekarang mari kita lihat bagaimana pesan abjad pada matriks P diubah ke dalam matriks S sebelum dikirimkan. Tentu saja di sini berlaku operasi matriks: P.K-1= S.K.K-1 S = P.K-1 Matriks K-1adalah invers matriks K, matriks inilah yang dipakai si pengirim untuk membuat kriptogramnya. Jadi K dan K-1adalah sepasang matriks kunci yang memang diberikan kepada mereka yang berhak. Dengan mudah anda dapat mencari K-1. Perkalian biasa antara P dan K-1jelas akan menghasilkan bilangan yang besarbesar pada matriks hasil perkaliannya. Oleh sebab iu dipakai teknik modulus 29 di atas. Bagi si pengirim, semua bilangan pada P yang lebih besar daripad a 15 terlebih dulu dikurangi dengan 29, P menjadi P’. Kemudian P’ ini yang dikalikan dengan K-1menghasilkan S’. Bilangan besarbesar yang ada di S‘ sekali lagi dikenali modulus 29 supaya lebih enak dilihat, maka muncullah matriks S yang dikirimkan tadi. Terasa sekali bahwa aplikasi matriks dalam hal ini sangat efektif. 4) Dalam Bidang IlmuKimia Penggunaan matriks dalam ilmu kimia dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan reaksi. Penulisan persamaan reaksi secara umum dapat dicari menggunakan invers matriks sehingga dapat dirancang reaksi kimia yang terdiri dari reaktan dan produk sesuai dengan yang diharapkan. Persamaan reaksi dapat ditulis menggunakan entri invers matriks pada kolom terakhir. ...