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Apunte relacionado a analisis matematico. Del profesor Jorge...

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 Funciones Vectoriales de Variable Real

U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

Prof. José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de funciones vectoriales de una variable real. La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Cálculo III en Ingeniería. Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: [email protected].

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INDICE GENERAL U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

Funciones Vectoriales de Variable Real Prof. José Luis Quintero

1.1.

Vectores

1

1.2.

Cantidades escalares y vectoriales

2

1.3.

Función vectorial de una variable real

3

1.4.

Ejercicios resueltos

5

1.5.

Parametrización de algunas curvas

7

1.6.

Ejercicios resueltos

13

1.7.

Gráfica de curvas paramétricas con Graphmatica

23

1.8.

Longitud, magnitud o norma de un vector

23

1.9.

Producto escalar

25

1.10.

Ángulo entre vectores

25

1.11.

Producto vectorial

26

1.12.

Límite de una función vectorial

29

1.13.

Continuidad de una función vectorial

30

1.14.

Derivada de una función vectorial

31

1.15.

Interpretación geométrica y física de la derivada

31

1.16.

Integral de una función vectorial

32

1.17.

Longitud de arco

32

1.18.

Ejercicios resueltos

34

1.19.

Gráficas de curvas paramétricas en R2

39

1.20.

Ejercicios resueltos

46

1.21.

Vectores canónicos. Direcciones

60

1.22.

Vectores ortogonales. Proyección ortogonal

61

1.23.

Cálculo de la proyección de un vector sobre otro

62

1.24.

Formas de la ecuación del plano

63

1.25.

Sistema de coordenadas móvil

65

1.26.

Ejercicios resueltos

68

1.27.

Curvatura

70

1.28.

Curvatura para una recta. Curvatura para una circunferencia

72

1.29.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

73

1.30.

Circunferencia osculatriz y centro de curvatura

74

1.31.

Torsión

75

1.32.

Fórmulas de Frenet

75



INDICE GENERAL U.C.V.

F.I.U.C.V.

Funciones Vectoriales de Variable Real

CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

Prof. José Luis Quintero

1.33.

Ejercicios resueltos

78

1.34.

Sistema de coordenadas polares

93

1.35.

Representaciones de una curva en polares

94

1.36.

Ecuación polar de una recta

95

1.37.

Ecuación polar de una circunferencia

96

1.38.

Distancias en coordenadas polares

97

1.39.

Ecuación polar de una cónica

09

1.40.

Gráficas en coordenadas polares

99

1.41.

Intersección de curvas en polares

101

1.42.

Forma paramétrica de una curva en polares. Búsqueda de tangentes

102

1.43.

Longitud de arco y área en polares

104

1.44.

Resumen de fórmulas

105

1.45.

Ejercicios resueltos

106

1.46.

Ejercicios propuestos

120

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VECTORES U.C.V.

F.I.U.C.V.

CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 1 de 305 Prof. José Luis Quintero

1.1. VECTORES Definición 1. Un vector es un objeto de la forma x

(x1, x2 ,..., xn ) con xi

R, i

1,..., n .

Un vector es una magnitud representada por un segmento dirigido (flecha). Se caracteriza por poseer:

a. Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que se llama módulo, norma o tamaño del vector (ver figura 1).



b. Una dirección , que es la recta a la que pertenece (ver figura 2). c.

Un sentido . La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos “+” para un lado y “C” para el otro (ver figura 2).





 Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 2 de 305

VECTORES F.I.U.C.V.

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Prof. José Luis Quintero

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Los vectores pueden situarse en el plano, (dos dimensiones) (ver figura 3), en el espacio (tres dimensiones) (ver figura 4) y hasta en dimensiones mayores a tres. Los vectores que se encuentren en el plano se llamarán “pares”, mientras los que se ubiquen en el espacio se llamarán “ternas”.





1.2. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Diversas medidas como la temperatura, distancia, masa, tiempo, densidad, energía, área, altura, etc, se pueden representar mediante un solo número real, estas se llaman cantidades escalares. Otras como la fuerza que actúa sobre un objeto, velocidad y aceleración de un cuerpo, necesitan, además de la magnitud, describir una dirección y un sentido.

Estas

se

llaman

cantidades

vectoriales

y

se

logra

describirla

mediante

coordenadas. Se estudiarán con detalle algunas características de estas últimas cantidades.  



CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES U.C.V.

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CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 3 de 305 Prof. José Luis Quintero

1.3. FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL Rn , Definición 2. Se define una función vectorial de variable real como: r : I t r (t) (r1 (t),...,rn (t)) , donde I es un intervalo en R, ri con i 1,..., n es una función real de

variable real con dominio Ii . Las funciones ri se llaman funciones coordenadas de la función r. Definición 3. El dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de

las funciones coordenadas, es decir, n

D(r)

∩I

i

I.

i 1

Ejemplo 1. Dada la función r(t)

( t

3, t

3, t3 ) , encuentre su dominio.

Solución.

Las funciones coordenadas vienen dadas por: r1 (t) t 3 ⇒ D(r1 )

r2 (t) r3 (t)

t 3

t

3

⇒ D(r2 )

⇒ D(r3 )

[3, ) [ 3, ) .

R

Por lo tanto, 3

D(r)

∩ D(r ) i

[3, ) .

i 1

Definición 4. El rango o imagen de una función vectorial r es un conjunto de puntos en

R n. Muchas funciones vectoriales con imagen en R2

o R 3 tienen como rango lugares

geométricos conocidos. Ejemplo 2. Dada la función

r(t)

(4 cos(t), 4sen(t)), t

[0,2 ] ,

encuentre su rango o imagen. Solución.

La imagen de la función es una circunferencia de radio 4. En efecto llamando a sus funciones coordenadas x(t) 4 cos(t), y(t) 4sen(t) , se tiene

x2  

y2

16 cos 2(t) 16sen 2(t)

16 .

 Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 4 de 305

FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL F.I.U.C.V.

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CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

Ejemplo 3. Dada la función r(t)

(2

t, 3

2t,1

2t), t

R , encuentre su rango o imagen.

Solución. Se puede observar que cada función coordenada corresponde a una ecuación paramétrica de una recta, en este caso, en R3 . El rango o imagen de una función vectorial es un conjunto de puntos en Rn , que se llama curva. Una curva puede ser representada por una o más funciones vectoriales. Ejemplo 4. Las funciones vectoriales definidas como f(t) (1 2t, 2 t) , t [0,1] y g(t) (3

2t,1

t) , t

[0,1]

tienen el mismo conjunto imagen: el segmento de recta que une los puntos (1,2) y (3,1).

Observación 1. Una función vectorial r lleva implícita dos características fundamentales: la forma de la curva (imagen de la función) y la manera como se recorre ésta (sentido de recorrido y posición).

Observación 2. Si la función r es inyectiva, es decir, t 1, t 2

I, t 1

t 2 ⇒ r(t 1)

r(t 2) la curva

no tiene puntos de autointersección, se dirá en este caso que es una curva simple. Si r(a) r(b) se dirá que la curva es cerrada en [a,b]. Ejemplo 5. La circunferencia f(t) que f(0)

(2 cos(t), 2sen(t)) con 0

t

2 , es una curva cerrada, ya

f(2 ) .

Ejemplo 6. La curva conocida con el nombre de estrofoide (ver figura 5) imagen de la función  t2 1 t 3 t  r(t)  2 , , t 1 t2 1   no es una curva simple, se autointersecta, en efecto: r(1) r( 1).

 !"" 

     Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 5 de 305

EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V.

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Prof. José Luis Quintero

CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

1.4. EJERCICIOS RESUELTOS (t, t3 ), t

1. Dada la función r(t)

R , encuentre su rango o imagen.

Solución. El rango o imagen en este caso viene dado por la gráfica de y

x3 .

2. Encuentre los valores de t para los cuales la curva  t2 t  , r(t)   1 t t2 1    se autointersecta. Solución. Sean t1 A y t2 2

B . Se tiene entonces:

2

A 1 A

B 2 2 2 A2 B B2 B2 A ⇒A2 B2 ⇒ A (1 B) B (1 A) ⇒ A 1 B ⇒ (A B)(A B) AB(B A) 0 ⇒ AB(B A) (B A)(B ⇒ (AB A B)(B A) 0 ⇒A B o AB A B

Por otro lado A B 2

A

2

1

B

1

⇒ A(B2

1)

B(A2

1) ⇒AB2

A2 B

A

B

⇒ AB(B A) (B A) 0 ⇒(AB 1)(B A) 1 ⇒B (A 1) de modo que Se puede concluir que A B 2

A 1

(A A

A

2

1) ⇒ A2 (A 2) (A 2 ⇒ A 3 2A2 A2

1)2 (1 3

A

A)⇒ A3

2A

2

2A

2A2 1

B2 A

A2 B

A)

0

AB2 ⇒

A2 B

B

0 ⇒A

B

(A2

3 A ⇒ 2A

2A

o

1)(1 2

3A

A

A

0

0

AB

1

A) 1

0

Aplicando Ruffini se tiene

1 , A2 2

A1

1

5 2

, A3

1

5 2

.

Buscando los puntos se tiene:

1 1 (No dice nada). ⇒B 2 2  1 5 1 5 1 5 punto de autointersección 1    2 2 2   A

A

1

5 2

⇒B

Se concluye que

 1 5 r   2  



 1 5 r   2  

(1, 1).



EJERCICIOS RESUELTOS U.C.V.

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Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 6 de 305 Prof. José Luis Quintero

CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

3. En la figura 6, la circunferencia de radio a es fija y para todo valor del ángulo t, 0

t

,

P es el punto de intersección de la recta vertical que pasa por A y la recta horizontal que pasa por B. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por P sabiendo que el punto A siempre se encuentra sobre la recta y 2a y el punto B siempre se encuentra sobre la circunferencia.

#$"%

Solución. Se tiene que

(t) P

(Px(t),Py(t))

(A x (t), By (t))

Las coordenadas de la curva descrita por el punto A vienen dadas por A (t) (Ax (t), Ay (t)) (2a.ctg(t), 2a) Aplicando semejanza de triángulos se tiene que Bx (t)

ctg(t).By (t) . Como B siempre se

encuentra sobre la circunferencia, entonces 2

Bx (t)

a2

 By (t) 

a

2

By (t) 2a By (t) .

Sustituyendo y elevando al cuadrado se tiene

B y(t)  2a B y(t)

2 ctg (t).  B y(t)

2

⇒2a B y(t) ⇒ B y (t)

2

ctg (t).B y(t)

2asen2(t) , By (t)

Las coordenadas de la curva descrita por el punto B vienen dadas por

B(t)

(Bx (t), By (t))

(a.sen(2t), 2a.sen2 (t))

(Px(t),Py(t))

(2a.ctg(t),2asen2 (t))

De modo que

P(t) 

0

  Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 7 de 305

PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS U.C.V.

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1.5. PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS a. Recta. La imagen de la función vectorial f (t) (x0 (x1 x0 )t, y0

(y1

y0 )t) ,t

R

es una recta que pasa por los puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1) recorrida en el sentido que va desde el punto (x 0, y 0) al punto (x 1, y 1) . Si se desea cambiar el sentido, basta con cambiar t por

t . En tal caso se obtiene la función vectorial g(t) (x0 (x0 x1 )t, y0 (y0 y1 )t) , t

R

que resulta ser una recta que pasa por los puntos (x0 , y0 ) y (x1 , y1) recorrida en el sentido que va desde el punto (x1 , y1) al punto (x0 , y0 ).

Observación 3. Si se desea parametrizar un segmento de recta de extremos (x 0, y 0) y (x1 , y1) recorrido en el sentido que va desde el punto (x 0, y 0) consigue usando la función vectorial f(t) (x 0 (x 1

x 0)t, y 0

(y 1

y 0)t) , t

b. Circunferencia. La imagen de la función vectorial f(t) (h r cos(t),k rsen(t)), t

al punto (x1 , y1 ) se

0,1 

[0, 2 ]

es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido antihorario. La imagen de la función vectorial g(t) (h

r cos(t),k

rsen(t)), t

[0, 2 ]

es una circunferencia de centro (h,k) y radio r recorrida en sentido horario. c.

Elipse. La imagen de la función vectorial f(t) (h a cos(t),k

bsen(t)), t

[0,2 ]

es una elipse de ecuación

h)2

(x

k)2

(y

a2

b2

1

recorrida en sentido antihorario. La imagen de la función vectorial g(t) (h

a cos(t),k

bsen(t)), t

es una elipse de ecuación h)2

(x a recorrida en sentido horario. 

2

k)2

(y b

2

1

[0,2 ]

 Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 8 de 305

PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS U.C.V.

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Prof. José Luis Quintero

CÁLCULO III (0253) $ TEMA 1 

d. Parábola. La imagen de la función vectorial f(t) (h 2pt,k es una parábola de ecuación (x

h)2

pt 2) , t

R

k) con sentido de recorrido de izquierda a

4p(y

derecha o de derecha a izquierda según p sea positivo o negativo respectivamente. La imagen de la función vectorial f(t) es una parábola de ecuación y

(t, at2 2

ax

bx

La imagen de la función vectorial f(t)

(at2

bt

c) , t

R

c con sentido de recorrido de menor a mayor

valor de la variable x.

es una parábola de ecuación x

2

ay

by

bt

c, t) , t

R

c con sentido de recorrido de menor a mayor

valor de la variable y. e. Hipérbola. La imagen de la función vectorial f (t) (h a cosh(t),k

bsenh(t)), t

es la rama derecha de la hipérbola de ecuación (x h)2 (y k)2

a2

b2

R

1.

Observación 4. La ecuación cartesiana (en este caso la hipérbola) contiene más puntos

de los que generan las ecuaciones paramétricas planteadas. La imagen de la función vectorial g(t) (h a sec(t), k

b t g(t)) ,

2

t

2

también es la rama derecha de la hipérbola de ecuación h)2

(x

k)2

(y

2

2

a

b

1.

La imagen de la función vectorial

f (t)

 h 

a 2 b b

 k)2 , t , t 

(t

es la rama derecha de la hipérbola de ecuación (x h)2 (y a2

k)2 b2

R

1

con sentido de recorrido de menor a mayor valor de la variable y. La imagen de la función vectorial

f (t)

 h 

a 2 b b

(t

es la rama izquierda de la hipérbola de ecuación



 2 k) , t , t 

R

 Funciones Vectoriales de Variable Real Pág.: 9 de 305

PARAMETRIZACIÓN DE ALGUNAS CURVAS U.C.V.

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