Apuntes Leiner Viquez - Folleto de cátedra de cálculo I PDF

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA MA-1001 CÁLCULO I LIC. LEINER VÍQUEZ GARCÍA APUNTES PARA EL CURSO DE CÁLCULO I LÍMITES DE FUNCIONES DEFINICIÓN: Decimos que el límite de f (x) cuando “x” tiende a “c” es igual a ”L” si a medida que los valores de “x” se aproximan a “c”, ya sea por la derecha o por la izqu...

Description

1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

MA-1001 CÁLCULO I

LIC. LEINER VÍQUEZ GARCÍA

APUNTES PARA EL CURSO DE CÁLCULO I

LÍMITES DE FUNCIONES DEFINICIÓN: Decimos que el límite de f (x) cuando “x” tiende a “c” es igual a ”L” si a medida que los valores de “x” se aproximan a “c”, ya sea por la derecha o por la izquierda , entonces los valores de f (x) se aproximan a “L” . Esto se escribe

lim f x  = L

lo que también se puede escribir como f (x)  L cuando x  c.

xc

Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la función

f x =

x2 −4 , ¿a x− 2

qué valor se aproxima f (x) si x se aproxima a 2?

2 x

1,5

1,9

1,99

1, 999

2, 001

2,01

2,1

2,5

y

3,5

3,9

3,99

3,999

4, 001

4,01

4,1

4,5

4 Lo que en la gráfica se vería así:

4

2 Observe que aunque la función no está definida para x = 2 (restricción), para valores muy cercanos a 2, tanto a la izquierda (valores menores que 2) como a la derecha (valores mayores que 2), las imágenes se aproximan a 4. Nótese que el 4 no es imagen de 2. Esto se representa mediante los límites laterales (límite lateral izquierdo) y

lim f  x  = 4 

x2

−

(límite lateral derecho). Al coincidir ambos, decimos que 4 es el

límite de f(x) cuando x tiende a 2, lo que simbólicamente se representa así:

lim f  x = 4 x2

lim f  x  = 4 x2

2

o también

x −4 = 4 lim x  2 x−2

2

EXISTENCIA DEL LÍMITE

lim f x  = L

Si f es una función y si “c” y “L” son números reales, decimos que

si y sólo si:

xc

lim f  x = lim f  x  = L xc

−

xc



EJEMPLO. Considere la función f (x)=

2 x + 3 , si x < -1 5 , si x = -1 2 x 1 , si x > -1

¿Qué sucede cuando los valores de x se aproximan a -1?

x

-1, 2

-1, 1

-1, 01

-1, 001

-1

-0, 999

-0, 99

-0,9

-0,8

y

0,6

0,8

0,98

0, 998

5

1, 998

1,98

1,81

1,64

? 5 2 1 -1 Observe que cuando los valores de x se aproximan a -1 por la izquierda (valores menores que -1), las imágenes se aproximan a 1. Lo anterior se puede representar como un límite lateral izquierdo

lim f  x = 1

. A la vez, cuando los valores de x se aproximan a -1 por la derecha (valores mayores

x −1−

que -1), la imágenes se aproximan a 2.

lim f x = 2

Esto se representan con el límite lateral derecho

. Lo anterior se cumple independientemente de que la imagen de -1 sea 5, pues f (-1)=5

x −1

Sin embargo, al ser diferentes los límites laterales, no podemos decir que

lim f  x x −1

que un límite exista, los límites laterales deben ser iguales.

exista. Así para

3 Ejemplo. De acuerdo con los datos de la figura en la que aparece representada la función f (x), determine (si existe) el valor de cada uno de las imágenes y de los límites que se le piden. En caso que una imagen o un límite no esté definido, escriba en el espacio subrayado NO EXISTE. y

4 3 2

1

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1 -2

-3 -4

lim f x  =_______

f (-3) = _________

lim f x  =__________

−



x −3

x −3

lim f  x =_______ lim f x  =_______

f (-2) = _________

lim f  x =__________

−

x −2



−

x −1

x −2

f(-1) = _________

lim f x  =__________ 

x −1

lim f x  =_______

f(0) = _________

lim f  x =__________



lim f x  =__________



lim f  x =__________

lim f x  =_______

lim f x  =__________ x 2 lim f x  =__________ 

lim f  x =__________

lim f  x =_______ x 4

lim f  x =__________ x 4

lim f  x =__________

−

x 1

−

x 2

f(3) =_________

−

x 3

f(4) =_________

lim f  x =__________

x −1



x 0

lim f x =_______ x 1 lim f x  =_______

f(2) =_________

lim f  x =__________

x −2

lim f x  =__________ lim f x =__________

−

x 0

f(1) =_________

lim f  x =__________

x −3

x 3

−



x 0 x 1

x 2 x 3

x 4

lim f  x =__________ lim f x  =__________ f(5) = _________ x 5 x 5 x 5 lim f  x lim f  x =_______ =_______ Calcule los siguientes límites AL INFINITO: x −∞ x ∞

lim f x  =_______ −



Considere la siguiente función en la que aparecen asítotas verticales y horizontales. Calcule los límites infinitos y al infinito que se le piden. y

lim f  x =______

5

x −∞

4

lim f  x =______

x ∞

3

lim f  x =_____

2

−

1

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x −2

lim f  x =_____ 

-1 -2 -3 -4

x −2

lim f  x =______

x −2

lim f x  =______ −

x 2

lim f x  =______ 

x 2

lim f x  =______ −

x 2

4

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES lim f x  = L ,

Si c, L y M son números reales tales que

lim g x = M , k es una constante real

x c

x c

cualquiera, n es un entero positivo, se cumplen las siguientes propiedades:

lim  f x±g x = lim f x  ± lim gx = L ± M

(1) El límite de una suma o resta de funciones

x c

x c

lim

(3) El límite de un cociente de funciones

x c

x c

n

 



x c

xc



x c

n

= Ln

lim  n f x =

(a) Si n es par y L es real positivo o cero

lim f  x =  L lim   f x = lim f  x =  L   n

n

x c

n

(b) Si n es impar y L es un real cualquiera

lim f  x = 25

x c

lim  k ⋅ f x  = k ⋅ lim f x = k ⋅ L

(6) El límite de un radical:

x −2

lim g x = M ≠ 0

x c

lim  f x  = lim f  x x c

x c

lim f x f  x L = xc = , si gx M lim gx 

(4) El límite del múltiplo escalar de una función

Ejemplo. Si

x c

lim  f x⋅gx = lim f  x ⋅ lim gx = L ⋅ M

(2) El límite de un producto de funciones

(5) El límite de una potencia

x c

x c

n

n

x c

x c

lim gx = −4 , calcule los siguientes límites utilizando las

y

x −2

propiedades de los límites. (a)

[

2 lim 1  f x 3 g x  −5 f x ⋅gx  5 x − 2

x − 2

[

3

5

2 f  x  5  8 gx 

]





1 f  x  lim 3 g  x 2 − lim 5 f  x⋅g  x       x −2  5 x −2

=

1 5

=

3  5⋅f  x − 0,25⋅g  x

lim x −2

2 1 lim  f  x3 lim   g x   −5 lim  f  x ⋅g x  5 x−2 x −2 x − 2

=

lim

=

=

=

(b)

]

 lim f  x 3  lim g  x   −5⋅  lim f  x ⋅lim g x  2

x − 2

x −2

x −2

x −2

1   25 3   −4 2 −5 ⋅  25 ⋅−4  5 1 ⋅ 5  3 ⋅16−5⋅ −100 5 1  48 − −500 = 549

(tarea moral)

Las propiedades anteriores nos llevan a la primer técnica para el cálculo de límites.

R/

2 5

5

TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LÍMITES A. LÍMITES DETERMINADOS: Método de Sustitución Directa.

lim

x 2 1 x2

lim

x−4 x5

x2

x3

5x  1

lim

2

x −3

x −2

lim x5

 x4 − 1 3

 x22  1

6 B. LÍMITES INDETERMINADOS: Límites de la forma

Factorizando (ver anexo 1) 0 0

Ejemplos de límites que se resuelven factorizando.

lim

x 3x 2 −2x 3 2 x 3 x 2 x

lim

4 x 2  4 x −3 3 2 8 x −6 x  x

x −2

x

1 2

lim

x−1 x − x 2  x −1

lim

8−x3  x 2−4 x4 x3−6 x212x − 8

x1

x2

3

Racionalizando

7 Ejemplos de límites que se resuelven racionalizando: EXPRESIONES DE DOS TÉRMINOS CON RADICALES DE ÍNDICE DOS

lim x1

lim x3

lim x −2

1−x 5−x2 − 2

6x − x 3−x

x 2x−2  6x − 2

8 EXPRESIONES DE DOS TÉRMINOS EN LAS QUE APARECEN RADICALES DE ÍNDICE TRES 3

lim

x 3

lim

x3

3−  9x 2 x −9

x 2 −4 x3 3  3 x−1− 2

DOBLE RACIONALIZACIÓN

lim x  11

3 −  x−2 2− 15− x

9

lim x3

lim x1

1 −  x−2 x 6 − 3

1 − x 3 x − 1

Límites en los que se puede aplicar una sustitución adecuada. 3

lim x  64

lim

x 0

x −4 x − 8

2x 2 x1− 3 2 x 1

10 Límites que se resuelven efectuando operaciones algebraicas.

lim x1

lim x5



1 3 − 1−x 1−x 3



1 1 8 x35  2 − 3 x−5 x −125 x 5 x25

1− lim x2

2 x

1 − 1 x−1





11

LÍMITES LATERALES Límite Lateral Derecho:

Límite Lateral Izquierdo

lim f  x

“x se acerca a c por valores mayores que c”

lim f  x

“ x se acerca a c por valores menores que c”

x  c

x  c−

Ejemplos: •

lim   x−1

x  1

2 x−x 3 , si x < 1 •

Sea

f( x) =

¿Existe

lim f x  ? x 1

¿Existe

lim f  x ? x 3

2 x2 −2 , si x ≥ 1

x1 , si x ≤ 3 2 •

Sea

f( x) =

12−2 x , si x > 3 3

12

Nota: En algunos límites se requiere el análisis de valor absoluto u0

u , si

Para ello, recordemos su definición:

∣u ∣ = −u ,

Ejemplos •

2 x −1 ∣1−2 x∣

Sea

g x =

Sea

h x =

¿Existe

2

•

x −25 ∣ x− 5 ∣

¿Existe

lim gx x

1 2

?

lim h x ? x 5

si

u 0

13 Cálculo de parámetros:

 x−1

, si x > 1

mx+4

, si x ≤ 1

x−1

•

Sea f (x) =

¿Cuál debe ser el valor de m para que

lim f x  x 1

exista? Calcúlelo.

K x – 3 , si x > 1 •

Sea f (x) =

6K-x

, si x ≤ 1

¿Cuál debe ser el valor de K para que

lim f x  x 1

exista? Calcúlelo.

14

PRÀCTICA (1)Considere la siguiente gráfica de la función f(x). Calcule los siguientes límites (si existen).

En caso de que el límite no exista indíquelo escribiendo “NO EXISTE EL LÍMITE”.

5

(a) (b)

-1.5

2

3

(d)

-4

(e)

lim f x  = ________

(h)



x 2

lim f  x = ________ lim f x  = ________

−

lim f x  = ________ 

x 3

lim f  x = ________ x 3 lim f  x = _______

(k)

lim f x  = ________

x −∞

lim f  x = _______

(l)



x −3

(f) -

lim f x  = ________

x 3

(j)

x −1.5 −

(e) +

lim f  x = ________

x −3

(i)

x −3

(f)

R/ (a) -4 (b) 5 (c) no existe (d) 5

(g)

−

lim f  x = ________ x 2

(c) -3

lim f x  = ________

x 2

(g) no existe (h) -

x ∞

(i) -

(j) -

(k) -

(2)Considere la siguiente gráfica de la función f(x). Calcule los siguientes límites. y

(a)

3

2

(b)

1

(c) x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

5

lim f  x = _______

x −2

lim f x  = ________ −

x 1

lim f x  = ________ 

x 1

(d) lim f  x = ________ x 3 lim f  x = ________ (e) x 0

(f)

-2

(g) -3

-4

-5

lim f  x = ________ lim f  x = ________

x −∞

x ∞

(h)

f (3) = ________

(i)

f (1) = ________

(j)

f (0) = ________

-6

R/ (a) -

(b) 2 (c) -1 (d) -2

(e) 3

(f)

(g) -

(h) -3 (i) 2 (j) 3

(j) 0

15 (3) Calcule los siguientes límites. (a)

4 x 24 x −3 8 x 3−6 x2 x

lim x

1 2

3

(b)

R/ 8

2

x −7 x 13 x−6 3 x −8

lim x2

R/

−1 4

2

(c)

4 x −1 2 4 x 8 x3

lim x −

1 2

5

(d)

4

4

3

lim

4

3

− 2

∣ 3 x−2 ∣

5 64

R/

11 17

lim

2 x3 − 5 x2 − 2 x − 3 4 x 3 − 13 x 2  4 x − 3

(k)

lim



4 x 2 8 x2 − 2 x −2 x 2 x −8 3

(m)



x 20

R/ 2

2

6 x  4 x −14 x 4 6 x 4 11 x3 −3 x 2 −2 x

lim

1 4

R/

(j)

x −2

R/

x3 − 2x2  x − 2 x 5 − 16 x

lim

(l) lim

27 8

3 2

(i)

x 2

R/

R/

x − 3

x 3

15 2

 x4 − 1 3 − 3−2x

lim

x 2

R/

2

2 x 2−2 x4

lim x − 2

(h)

2

x 2 x −5 x −3 x9 2 x −2 x−15

lim x −3

(g)

R/ −4

x 3 x −8 x −12 x16 2 x −16

x − 4

(f)

2

3 x − 2 x −8 x 4 3 2 6 x −3 x 2 x

lim x 0

(e)

R/ −1

4  x  5 − 5 x − 4 x 2 − 400

R/

R/

−21 25 −9 1600

16 (n)

lim

(ñ)

lim

−2 x 4  7 x3  53 x2 − 148x  60 x5 − x3 − 216 x2  216

x 6

x

10  x − 3 x2  4 − 3x −  −6 x − 1

−5 3

(o)

10 x2 − 4  lim 2 4x  1 −  x 2  5 x − 1 −  11 − x

(p)

lim

(q)

lim x − 2

R/ 22

–2

x − 7x  7x − 6 4 2 −x  37 x − 36

R/

−31 420

x 2x−2  6x − 2

R/ –12

2

3

(r)

lim x  27

(s)

3− x  x9−6

R/

−4 9

 2 x−2 3  4 x−2

R/

3 2

lim x2

(t)

lim x3

(u)

−121 945

R/

3

x6

R/

lim x 5

2  4 x−3−12 x 3

 x−2

− 1  6 x−5− x

 2 x−2−2 3

R/ 1 R/

−12 5

3

(v) lim x 3

(x) lim

h 0

(y)

lim h 0

(z)

lim h 0

 2 x−5 − 1  4 x−3 − 3

R/ 1

[ 3 x h2−2x h−7 ] − [3 x 2− 2 x −7 ] h

R/ 6x – 2

[ 2 x h 24 x h−1] − [ 2x 24 x −1] h

R/ 4x + 4

 xh h

−

x

R/

1 2x

17 (3) Calcule

si:

lim f x

si x < -2

2

2 x −3 x−6

x − 2

f (x) = 7 x−4 2 x6

si x ≥ -2 R/ no existe el límite

si x < 2

2

3 x −4

(4) Si

f (x) =

si

5

x=2

lim f  x

Calcule

x 2

3 x6 3

si

x>2 R/ no existe el límite

2

4 x  4 x−3 3 2 8 x −6 x x (5) Sea

1 2

si

x≥

si

1 x 2

f (x) =

definida en su dominio máximo. 2

m x 2 m x 3 (a)calcule

lim f  x y 1

lim f  x (b)Si el lim f  x 1 1



x

−

x

2

x

2

R/ (a)

(6) Considere la función

f(x) = Calcule: f x (a) xlim 7 −

(b)

...