Aritmetica UNI 5 TRILCE PDF

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Índice Capítulo 1 Razones y Proporciones ................................................................................... 4 Capítulo 2 Promedios y Mezclas ....................................................................................... 9 Capítulo 9 Mezcla y Aleación .........................

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Índice Capítulo 1 Razones y Proporciones.................................................................................... 4 Capítulo 2 Promedios y Mezclas........................................................................................ 9 Capítulo 9 Mezcla y Aleación............................................................................................ 14 Capítulo 4 Magnitudes proporcionales............................................................................... 19 Capítulo 5 Repaso: Magnitudes y reparto proporcional..................................................... 25 Capítulo 6 Reparto proporcional y regla de compañía ...................................................... 31 Capítulo 7 Regla de tres simple y compuesta..................................................................... 38 Capítulo 8 Regla del tanto por ciento ................................................................................ 44 Capítulo 9 Aplicaciones comerciales del tanto por ciento................................................. 49 Capítulo 10 Regla de interés simple..................................................................................... 54 Capítulo 11 Interés compuesto y continuo........................................................................... 59 Capítulo 12 Regla de descuento........................................................................................... 64 Capítulo 13 Estadística I: Estadística descriptiva.................................................................. 69 Capítulo 14 Estadística II: Medidas de centralización.......................................................... 77 Capítulo 15 Lógica proposicional......................................................................................... 84 Capítulo 16 Tanto por ciento - Interés - Descuento.............................................................. 91 Capítulo 17 Conjuntos......................................................................................................... 97 Capítulo 18 Numeración I.................................................................................................... 103

Aritmética Capítulo 19 Numeración II................................................................................................... 107 Capítulo 20 Análisis combinatorio....................................................................................... 112 Capítulo 21 Probabilidades.................................................................................................. 117 Capítulo 22 Conteo de números en P.A. por el M.C............................................................. 123 Capítulo 23 Repaso: Análisis combinatorio y de probabilidades.......................................... 126 Capítulo 24 Suma o adición (+)........................................................................................... 132 Capítulo 25 Resta o sustracción (–)...................................................................................... 137 Capítulo 26 Multiplicación y división................................................................................... 141 Capítulo 27 Divisibilidad I.................................................................................................... 146 Capítulo 28 Divisibilidad II – Criterios................................................................................. 150 Capítulo 29 Números primos y compuestos......................................................................... 155 Capítulo 30 MCD y MCM (I)................................................................................................ 159 Capítulo 31 Repaso: teoría de números en N y Z................................................................. 164 Capítulo 32 MCD y MCM (II)............................................................................................... 168 Capítulo 33 Números racionales Q (I).................................................................................. 174 Capítulo 34 Números racionales Q (II)................................................................................. 180 Capítulo 35 Potenciación y radicación................................................................................. 185

Problemas resueltos 1. Las alturas de cuatro cirios están en progresión aritmética, tienen igual diámetro y están hechos del mismo material. Se encienden simultánea- mente y al cabo de un cierto tiempo sus longitudes están en la relación de 3; 5; 7 y 9; y "m" minutos después, solo quedan tres cirios. ¿Cuántos minutos después solo quedará un cirio? 2 a) 4 b) 3 c) 3 1 4 d) e) 3 3 Resolución:

Como son del mismo diámetro y la misma calidad, al inicio las longitudes de los cirios también están en progresión aritmética:

5k

3k 1°





3°

\ Si: 3k se consume en "m" min, 4k se consumirá en

4 m 3

Rpta.: e

2. (UNI 2010–I). En una biblioteca municipal existen 72 libros de matemática y literatura, los que están en relación de 5 a 3, respectivamente. El número de libros de literatura que deben agregarse para que la relación sea de 9 a 10 es: a) 21 d) 24 Ciclo UNI 4

b) 22 e) 25



c) 23

Repartiendo los 72 libros proporcionalmente a 5 y 3 obtenemos que inicialmente eran: M = 5(9) = 45 libros de matemática L = 3(9) = 27 libros de literatura Finalmente, por cada 9 libros de matemática hay 10 libros de literatura, como la cantidad de libros de matemática no se altera, es decir, siguen siendo 45 = 9(5), entonces deberán haber 50 = 10(5) libros de literatura.

\ se agregaron: 50 – 27 = 23 libros de literatu-

ra.

Rpta.: c

3. (UNI 2005–II). Si la suma de los cuadrados de dos números positivos es a la diferencia de los cuadrados de los mismos, como 29 a 21, ¿qué porcentaje del mayor es el número menor?

4°

De la información brindada se concluye que el primer cirio se consume en "m" minutos y para que solo quede un cirio deberá consumirse lo que queda del tercero que es una longitud de: 7k – 3k = 4k.



2°

9k

7k



Resolución:

a) 40% d) 70

b) 50 e) 80

c) 60

Resolución:

Si:

a2 + b2 29 = a2 – b 2 21

Aplicando propiedades de proporciones:

(a2 + b2) + (a2 – b2) 29 + 21 = 2 2 2 2 29 – 21 (a + b ) – (a – b )

a2 25 a 5 → = = 2 b 4 b 2



¿Qué tanto por ciento de "a" es "b"?



2 × 100% = 40% 5



Rpta.: a Colegios

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Aritmética 4. (UNI 2006–I) "W" y "Z" realizaron una obra juntos y se observó que sus rendimientos estaban en la relación de 3 a 2. Por otro lado, "Z" y "M" juntos hicieron otra obra idéntica y sus rendimientos estaban en la relación de 2 a 5. Si hubieran trabajado los tres juntos habrían culminado la obra en 30 horas. Determine el número de horas que emplearía "W" para culminar la misma obra pero trabajando solo. a) 60 d) 100

b) 75 e) 120

c) 90

5. (Primer examen parcial CEPREUNI 2010). Un estadio tiene capacidad para albergar 3 120 espectadores que ingresan por 3 puertas: "A", "B" y "C". Se ha observado que por la puerta "A" ingresan cada minuto 5 varones y 2 mujeres, y por la puerta "B" ingresan cada minuto 3 varones y 1 mujer. Se sabe que el estadio se llena totalmente al cabo de 2 horas, obteniéndose una razón de varones a mujeres de 9 a 4 en ese instante. Calcule la cantidad de varones y mujeres que ingresan cada minuto por la puerta "C".

Resolución:

a) 5 y 3 d) 10 y 5

b) 6 y 3 e) 10 y 8

c) 8 y 5



Los rendimientos de estas tres personas están en la relación de 3; 2 y 5.

Resolución:



Consideremos que en cada hora hacen:





W = 3m Z = 2m M = 5m

Repartiendo 3 120 proporcionalmente se obtiene que entraron en total 2 160 hombres y 960 mujeres, respectivamente.



Reduciéndolo entre 2 horas = 120 minutos.



Como toda la obra se termina en 30 horas trabajando los 3 juntos.



En cada minuto por las tres puertas entraron:



2 160 ÷ 120 = 18 hombres, y



\ Obra = (3 + 2 + 5) × 30 = 300 m



960 ÷ 120 = 8 mujeres



W, para culminar la obra trabajando solo demorará 300 ÷ 3 = 100 h.





Rpta.: d

Si quitamos a los hombres y mujeres que entraron por las puertas "A" y "B" se concluye que por "C" entraron:



18 – 5 – 3 = 10 hombres, y



8 – 2 – 1 = 5 mujeres



Rpta.: d

Problemas para clase 1. En una reunión, el número de hombres y mujeres está en la relación de 3 a 2, pero luego llega una cierta cantidad de parejas y la nueva relación es equivalente a 15/11. ¿Cuántos hombres habían inicialmente, si el número de mujeres inicialmente excede en 25 al número de hombres que llegaron? a) 20 d) 65

b) 40 e) 85

c) 60

2. La suma, diferencia y producto de dos números son entre sí como los números 5;1 y 30. Entonces, la suma de los cuadrados de dichos números es: a) 225 d) 300 Central: 6198-100

b) 250 e) 325

c) 100

3. Una tubería de 16 cm de radio arroja 640 L/min. ¿En qué tiempo llenará un depósito de 54 m3 otra tubería de 12 cm de radio? a) 1 h 40 min b) 2 h 30 min c) 3 h 20 min d) 2 h e) 5 h 4. Dos jugadores "P" y "Q" al empezar una partida tienen cantidades de dinero proporcionales a 25 y 29. Después de unas partidas "Q" ha perdido S/. 18 050 y lo ha ganado "P", y ahora lo que le queda a "Q" es los 13/23 de lo que tiene "P". ¿Cuánto tiene ahora "P"? a) S/. 47 500 b) S/. 55 100 c) S/. 65 550 d) S/. 77 550 e) S/. 84 550

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5. Una persona debía preparar 150 litros de bebida mezclando vino y agua en la relación de 15 a 1, por error empleó 1 litro de agua por 5 litros de vino. ¿Cuánto necesitará adicionar de vino a esta mezcla para establecer la proporción deseada? a) 375 litros b) 200 d) 150 e) 100

c) 250

6. Manuel le da a Carlos 10 metros de ventaja para una carrera de 100 metros y Carlos le da a Pedro una ventaja de 20 m para una carrera de 180 m. ¿Cuántos metros de ventaja debe dar Manuel a Pedro para una carrera de 200 m? a) 40 d) 55

b) 45 e) 20

c) 30

7. Un comerciante tiene lapiceros rojos y azules en razón de 7 a 4. Si vende los 2/5 del total de lapiceros de los cuales 3/5 son rojos y el resto azules, ¿cuál es la nueva relación de lapiceros rojos y azules? 3 4 5 a) b) c) 2 11 7 7 109 d) e) 11 56 8. Si se tiene un aula con tres filas: "A", "B" y "C" donde la cantidad de varones con la cantidad de mujeres. En la fila "A", en la fila "B" y en la fila "C" están en la relación de 2 a 3, de 3 a 4 y de 5 a 2, respectivamente. Hallar el total de alumnos, si los varones de la fila "A" son tanto como las mujeres de la fila "C", y además la cantidad de mujeres de la fila "B" es menor en 12 que la cantidad de varones de la fila "C". En la fila "A" y "B" la cantidad de alumnos está en la relación de 10 a 7. a) 62 d) 85

b) 65 e) 80

c) 70

10. Las velocidades de 3 automóviles: "A", "B" y "C" son proporcionales a 9; 4 y 8, respectivamente. "A" y "B" parten juntos de "M" al encuentro de "C", quien parte de "N" al mismo tiempo y al encuentro de los primeros. Si "C" se encuentra primero con "A" y después de recorrer 50 km se encuentra con "B", ¿qué espacio total recorrió "B" hasta encontrarse con "C"? a) 28 km d) 29

b) 18 e) 85

c) 19

11. Raúl nació 8 años antes que Luis. Raúl señala: "Hace "n" años la relación de nuestras edades era de 7 a 5". Luis responde: "Pero hace "m – n" años era 7 a 11. A lo que Raúl le replica: Dentro de "m" años será de 23 a 19. ¿En qué relación estarán sus edades dentro de "m + n + 2" años? a) 14 a 17 d) 13 a 11

b) 9 a 11 e) N.A.

c) 12 a 14

12. Se tiene una proporción geométrica continua donde el primer término es 1/16 del cuarto término. Hallar el término medio de dicha proporción, sabiendo que la suma de las raíces cuadradas de los extremos es 10. a) 12 d) 18

b) 20 e) 15

c) 16

13. Se tiene una proporción aritmética continua donde la suma de los cuatro términos es 112 y la diferencia de sus extremos es 18. Hallar dichos extremos. a) 37 y 19 d) 53 y 35

b) 44 y 26 e) 45 y 27

c) 40 y 22

14. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua, si la suma de los 4 términos es 36 y la razón entre la suma y diferencia de los 2 primeros términos es 3?

9. En una fábrica, el personal está clasificado en a) 4 b) 12 c) 8 3 grupos: "A", "B" y "C". El personal del grupo d) 18 e) 15 "A" es al de "B" como 2 es a 5, mientras que el de "B" es al de "C" como 3 es a 7. Por las navidades son despedidas algunas personas de cada 15. Hallar la suma de los cuatro términos de una grupo en la relación de 3; 6 y 8, respectivamenproporción geométrica continua. Se sabe que te, quedando personal en la relación de 60, 171 la suma de sus términos extremos es a su difey 483. ¿Qué fracción del total fue despedido? rencia como 17 es a 15 y la diferencia entre el 1 1 1 4º término y la razón es 3. c) a) b) 4 7 3 a) 175 b) 164 c) 324 2 5 d) e) d) 223 e) 195 9 7 Ciclo UNI 6

Colegios

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Aritmética 16. En una proporción geométrica continua, se suma el primer antecedente con su consecuente y también el segundo antecedente con su respectivo consecuente. Se efectúa el producto de ambas sumas y el resultado es igual a 36 veces la media geométrica. Hallar la suma de las raíces cuadradas de los extremos de dicha proporción. a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

17. En una fiesta se observa que, en cierto momento, el número de varones que no bailaba es al número de personas que está bailando como 7 es a 2, y el número de varones que baila es al número de damas como 1 es a 4. Hallar cuántas personas no bailaban, sabiendo que en total asistieron 384 personas. a) 320 d) 200

b) 300 e) 352

c) 240

18. Un mozo del restaurante Panteras debe preparar un cocktail de gaseosa, vino y naranja en la proporción de 5; 3 y 7, respectivamente. Para ello le faltan 5 litros de gaseosa y 8 litros de naranja, los cuales se reemplazan por vino, siendo la proporción final de 3; 5 y 4, respectivamente. ¿Cuántos litros de vino se utilizó ? a) 15 d) 12

b) 25 e) 28

c) 20

19. Los antecedentes de una proporción están en la relación de 8 a 5 y la suma de los consecuentes es 156. Calcule la suma de los términos medios, si los extremos están en la relación de 4 a 3. a) 130 d) 110

b) 140 e) 176

c) 146

20. Dos móviles "A" y "B" salen de la ciudad "M" a las 6:00 a.m. al encuentro del móvil "C" que sale de la ciudad "N" hacia "M" a las 8:00 a.m. El móvil "C" tarda 40 min desde su primer encuentro hasta el segundo encuentro. ¿A qué hora se encontró "C" con el más lento? Se sabe que las velocidades de los móviles "A", "B" y "C" son 80; 60 y 120 km/h. a) 8:40 a.m. d) 1:20 p.m.

b) 12:00 a.m. c) 12:40 a.m. e) 8:40 p.m.

Tarea domiciliaria 1. Dos números están en la relación de 2 a 5. Si se añade 175 a uno y 115 al otro se hacen iguales. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números? a) 15 d) 60

b) 30 e) 24

c) 18

2. La razón aritmética de dos números diferentes es "d" y su razón geométrica es "q". El menor de ellos será: d d a) b) dq c) q + 1 q – 1 d d e) d) q q + 2 3. Las edades de Lizbeth, Sebastián y Paola son proporcionales a los números 2; 3 y 4. Dentro de 9 años sus edades serán proporcionales a 7; 9 y 11, respectivamente. Hallar la edad actual de Sebastián. a) 16 años d) 19 Central: 6198-100

b) 17 e) 20

4. Dos cirios de igual calidad y diámetro, difieren en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento determinado, la longitud de uno es el cuádruplo de la del otro y media hora después se termina el más pequeño. Si el mayor dura 4 horas, ¿cuál era la longitud del menor? a) 24 d) 12

b) 20 e) 16

c) 18

5. Un león persigue a un venado que le lleva 90 saltos de ventaja y da 4 saltos, mientras que el venado da 5. Además, como 7 saltos del venado equivalen a 5 del león, se desea saber cuántos saltos tendrá que dar el león para alcanzar al venado. a) 200 d) 450

b) 300 e) 500

c) 600

c) 18

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6. En una reunión social se observó, en un momento determinado, que el número de varones y el número de mujeres estaba en la relación de 7 a 8, mientras los que bailaban y no bailaban fueron unos tantos como otros. Si hubo en ese momento 51 mujeres que no bailaban, ¿cuántos varones no estaban bailando? a) 51 d) 42

b) 17 e) 26

c) 39

7. Tú tienes "x" soles y yo tengo "y" soles. Si te doy S/. (x + 5) y tú me das S/. (y – 2) lo que tú tienes es a lo que yo tengo como 1 es a 6. Hallar "x + y", sabiendo que son los menores números enteros que cumplen con esta condición. a) 12 d) 13

b) 14 e) 15

c) 16

8. Dos móviles parten en el mismo instante. El primero del punto "A" y el segundo del punto "B" marchando el uno hacia el otro con movimiento uniforme sobre la recta AB. Cuando se encuentran en "M", el primero ha recorrido 30 m más que el segundo. Cada uno de ellos prosigue su camino. El primero tarda 4 minutos en recorrer la parte "MB" y el segundo tarda 9 minutos en recorrer "MA". Hallar la distancia "AB". a) 100 m d) 300

b) 150 e) 320

c) 200

9. La diferencia entre la razón aritmética y la razón geométrica de dos números enteros positivos es 7,8. Calcular la suma de dichos números si esta es la menor posible y la razón geométrica es menor que la unidad. a) 16 d) 10

b) 18 e) 12

c) 8

10. En una fiesta se observa que, en cierto momento, el número de varones que no bailaba es al número de personas que está bailando como 3 es a 4 y el número de varones que baila es al número de damas como 1 es a 5. ¿Cuántas damas no bailan si en total asistieron 180 personas? a) 60 d) 96

Ciclo UNI 8

b) 72 e) 84

11. En una carrera de 100 m "B" da a "A" una ventaja de 10 m, pero pierde por 25 m. En una carrera de 120 m "C" da a "B" una ventaja de 10 m y gana por 20 m. ¿Qué ventaja deberá dar "C" a "A" en una carrera de 200 m para ganar por 12 m? a) 12 d) 10

b) 11 e) 8

c) 9

12. Se tiene una proporción aritmética continua, donde la suma de sus cuatro términos es 160. Hallar el valor de la razón aritmética, sabiendo que los extremos son entre sí como 11 es a 5. a) 12 d) 20

b) 6 e) 24

c) 15

13. Sean "a", "b", "c" y "d" números enteros tal que: 1  0. ¿Cuál de las siguientes expresiones es verdadera? 2ab ab ≤ 2ab b) a) ab < a+b a + b 2ab 2ab d) ab > c) ab – a = a + b a + b 2ab e) ab ≥ a+b 15. Para tres números A < B < C. Se sabe que MA 3 B 9 . La MA (A, B, C) = B + 1; MG(A, B, C) = 2 de los 2 menores números es igual a uno de ellos AC . más la unidad. Determinar el valor de B a) 5,5 d) 24

b) 22,5 e) 20,5

c) 21,5

16. Un ciclista recorre la Panamericana norte con rapidez constante, se cruza con un bus cada "a" minutos y es alcanzado por otro cada "b" minutos. Si MA(a; b) = 16 y MG = (a; b) = ...