Assignment withsolutions 3 biotsavart ampere faraday 2010 2011 PDF

Preview

Summary

ΣΧΟΛΗ ΗΜΜΥ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) 3η Σειρά Ασκήσεων – Νόµοι των Biot-Savart, Ampere και Faraday ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 Το κύκλωµα ΑΒΓ∆ αποτελείται από δύο ηµικύκλια ΑΒ και Γ∆ µε κοινό κέντρο Κ και ακτίνες R1 και R2 αντιστοίχως. Το κύκλωµα διαρρέεται από ρεύµα Ι όπως δείχνει το σχήµα.
Να βρείτε το µα...

Description

ΣΧΟΛΗ ΗΜΜΥ ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) 3η Σειρά Ασκήσεων – Νό!οι των Biot(Savart, Ampere και Faraday ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

3.1 Το κύκλωα ΑΒΓ αποτελείται από δύο ηικύκλια ΑΒ και Γ ε κοινό κέντρο Κ και ακτίνες R 1 και R 2 αντιστοίχως. Το κύκλωα διαρρέεται από ρεύα Ι όπως δείχνει το σχήα.  Να βρείτε το αγνητικό πεδίο  στο σηείο Κ χρησιοποιώντας τον νόο των BiotSavart.

I

R2 I

R1 A



Κ

Γ

B

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Το αγνητικό πεδίο στο κέντρο υπολογίζεται ως επαλληλία από τα διαφορετικά τήατα του      B = + B ΑR2 Β + B ΒΓ + B ΓR1  + B Α ρευατοφόρου αγωγού   Τα ευθύγραα τήατα συνεισφέρουν ηδενική ένταση, BΒΓ = BΑ = 0 , λόγω του ηδενισού       I (r ′ ) dr ′ × ( r − r′ ) 0 = B (r ) του εξωτερικού γινοένου στον νόο των Biot1Savart   3 4π ΑΒΓΑ r − r′

∫

Η συνεισφορά των ηικυκλικών τηάτων προκύπτει από τον ίδιο νόο, όπου:    r = 0, r′ = R(1,2) rˆ, dr′ = ( R(1,2) dφ ) φˆ , (οι δείκτες, κατά περίπτωση, για την αντίστοιχη ακτίνα) 2  R 2 ( − φˆ × rˆ) d φ   0 I  Β ( rˆ × φˆ ) d φ  ( rˆ× φˆ ) d φ   0 I  R ( − φˆ × rˆ) d φ + + oπότε: B(0) =  =   , όπου 3 3 4π  ΑΒ R R R2 R1  4π  A Γ Γ  το φˆ στα δύο ολοκληρώατα έχει αντίθετη φορά, ε αποτέλεσα το εξωτερικό γινόενο να είναι, αντίστοιχα, ίσο ε − zˆ και zˆ , (όπου, το zˆ είναι κάθετο στο σχήα, ε φορά προς των αναγνώστη).   I1 1  Τελικά: B (0) = zˆ 0  −  4  R1 R 2 

∫

∫

∫

∫

3.2 Το αγώγιο σύρα του σχήατος έχει άπειρο ήκος, διαρρέεται από ρεύα Ι, και κάπτεται διαγράφοντας ηικύκλιο ακτίνας R, έχοντας τους δύο κλάδους του παράλληλους εταξύ τους, και κάθετους στη διάετρο του ηικυκλίου. Να υπολογίσετε το αγνητικό πεδίο Β στο κέντρο του ηικυκλίου, κατά έτρο, διεύθυνση και φορά. ΑΠΑΝΤΗΣΗ B

Γ

A

Κ

Ε

∆

 dr′ 1

 dr′2

 r′1

 r′2

Στο κέντρο (Κ) του ηικυκλίου, το αγνητικό πεδίο υπολογίζεται ως επαλληλία από τα διαφορετικά τήατα     B( K ) = BΑΒ ( K ) + BΒΓ ( K ) + BΕ ( K ) Η συνεισφορά καθ’ ενός από τα δύο ηιάπειρα τήατα ΑΒ και Ε έχει την ίδια διανυσατική κατεύθυνση zˆ (όπου, το zˆ είναι κάθετο στο σχήα, ε φορά προς των αναγνώστη), όπως προκύπτει από τον νόο Biot1Savart. Το κάθε ηιάπειρο τήα συνεισφέρει το ισό πεδίο από το αντίστοιχο ευθύγραο ρεύα άπειρου ήκους. Αυτό συβαίνει διότι το πεδίο υπολογίζεται σε σηείο που βρίσκεται επί της καθέτου στο ένα

  άκρο του, οπότε, σε σχέση ε το ευθύγραο ρεύα άπειρου ήκους, για κάθε συνδυασό ( r1′, dr1′ ) ,   υπάρχει αντίστοιχος συνδυασός ( r2′, dr2′) , (βλέπε σχήα), των οποίων η συνεισφορά στο ολοκλήρωα Biot1Savart είναι ίδια κατά έτρο και φορά. Για τους ίδιους λόγους, το ηικύκλιο συνεισφέρει την ισή ένταση πεδίου από εκείνη ολόκληρου του ηικυκλίου (βλ. και προηγούενη άσκηση 3.1), οπότε, συνολικά:      I  2 I I I  B( K ) = BΑΒ ( K ) + BΒΓ ( K ) + BΕ ( K ) = zˆ  0 + 0 + 0  = zˆ 0 1 +  4R  π   4π R 4 R 4π R 

3.3 Ευθύγραος αγωγός που διαρρέεται από ρεύα Ι εκτείνεται κατά ήκος του άξονα z ενός τρισορθογώνιου συστήατος αναφοράς Oxyz. Το ρεύα έρχεται από το z = ∞ , και στο σηείο z = 0 διαοιράζεται σε δύο ρεύατα ίσης έντασης (Ι/2 το καθένα), τα οποία διαρρέουν ευθύγραους αγωγούς που εκτείνονται κατά ήκος των αξόνων Ox και Oy, ως το x = ∞ και y = ∞ αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το συνολικό αγνητικό πεδίο στο σηείο ( x = 0, y = 0, z = − D ) .

z

I I/2

y

I/2 z= 1D x

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν είναι Ο η αρχή του συστήατος αναφοράς, όπου γίνεται ο διχασός των ρευάτων:     B(0, 0, −D) = BOx (0,0, −D) + BOy (0, 0, −D) + BOz (0, 0, − D) . Το τήα Oz έχει ηδενική συνεισφορά, λόγω ηδενισού του εξωτερικού γινοένου, ενώ τα άλλα δύο «ηιάπειρου» ήκους ρεύατα (Οx, Oy) συνεισφέρουν το καθένα το ισό του πεδίου που θα προκαλούσε ένα ευθύγραο ρεύα άπειρου ήκους (βλέπε και την προηγούενη άσκηση 3.2). Τελικά:      (I / 2) B(0, 0, −D) = BOx (0,0, −D) + BOy (0, 0, −D) + BOz (0,0, − D) = 0 ( yˆ − xˆ ) + 0 4πD

3.4 Μια άπειρη πλάκα πολύ ικρού πάχους δ, που βρίσκεται στο επίπεδο xz και εκτείνεται από το x = − a έχρι το x = +a , διαρρέεται από συνολικό οογενές ρεύα I , προς τα θετικά z. Βρείτε το αγνητικό πεδίο στο εξωτερικό της πλάκας, σε ένα σηείο πάνω στον άξονα των y, σε απόσταση a από την πλάκα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ  dB1

 Στο y = a , υπολογίζουε το αγνητικό πεδίο, dB1  και dB2 , από δύο στοιχειώδη ρεύατα εύρους

y θ

y

 dB 2

2a

dx1 = dx 2 = dx ,

θ

r1

σηεία  x 1 = −x 2 = − x , αντίστοιχα. Η συνισταένη των dB1    dI και dB2 είναι: dB = − xˆ2 cos θ 0 , όπου : 2πr 1 I a 2 2 2 r = x + a dI = dx , cos θ = , και 1 2a x2 + a2 2

r2

x

x

dx1



dx2

που

(

z

Ολοκληρώνοντας:    0 Idx  I ⇒ B = − xˆ 0 dB = − xˆ 2 2 2π 2π x + a   I B = − xˆ 0 Τελικά: 8a

(

)

a

∫(x 0

+a

2

)

στα

(

)

a

dx 2

βρίσκονται

 I 1 x  I π  = − xˆ 0  arctag  = − xˆ 0  − 0 2π  a 2πa  4  a 0

)

3.5 Τέσσερα ακριά χάλκινα σύρατα είναι παράλληλα εταξύ τους και τα σηεία τοής τους ε επίπεδο κάθετο προς αυτά σχηατίζει τετράγωνο πλευράς 10 cm. Ρεύα 0,5 Α διαβιβάζεται  στο καθένα ε φορά που φαίνεται στο σχήα. Να βρείτε το αγνητικό πεδίο  στο κέντρο Ρ του τετραγώνου.

P

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν ορίσουε δύο οναδιαία διανύσατα xˆ και yˆ , όπως φαίνονται στο A

B

xˆ

yˆ

σχήα, και λάβουε υπόψη ας ότι PΑ = PΒ = PΓ = P = a 2 / 2 τότε :      0 I Bολ ( P) = BΑ ( P) + BΒ ( P ) + BΓ ( P ) + B (P ) = ( xˆ + yˆ + xˆ + yˆ) 2π a 2 / 2

(

P

∆

Γ

)

  I Bολ ( P) = 0 2 ( xˆ + yˆ ) πa

Τελικά:

3.6 Πολύ λεπτός κυκλικός δίσκος ακτίνας R, είναι οοιόορφα φορτισένος ε ολικό φορτίο Q. Ο δίσκος περιστρέφεται ε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Υπολογίστε το αγνητικό πεδίο σε ένα σηείο του άξονα, σε απόσταση z από το κέντρο του δίσκου. Υπόδειξη: Θεωρήστε ένα δακτύλιο του δίσκου εταξύ των ακτινών r και r + dr . Βρείτε το ρεύα ε το οποίο ισοδυναεί το περιστρεφόενο φορτίο του δακτυλίου αυτού και το αγνητικό πεδίο που προκαλεί πάνω στον άξονα του δίσκου. Είναι γνωστό ότι το αγνητικό πεδίο δακτυλίου ακτίνας r, που διαρρέεται από ρεύα Ι, σε σηείο του άξονά του που απέχει απόσταση z από το I r2 κέντρο του, είναι ίσο ε B = 0 . 2 ( z 2 + r 2 )3 / 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στο σηείο (0,0,z), ο διαφορικός δακτύλιος εταξύ των ακτινών r και r + dr , συνεισφέρει αγνητικό πεδίο  dq  dI r2 = , όπου dq το φορτίο dB = zˆ 0 3 , ε dI 2 z2 +r2 2 dt

z

z

(

r′

)

το οποίο διέρχεται από ία διατοή του διαφορικού δακτυλιδιού, κατά το χρονικό διάστηα dt . Η τιή του y r dI πορεί να υπολογιστεί θεωρώντας την γωνία dφ που διανύεται στο χρονικό διάστηα dt , οπότε η αντίστοιχη ω στοιχειώδης επιφάνεια είναι dS = rdφdr , και x dq dq dS rdrd φ dφ dI = rdr ⇒ dI = σω rdr = =σ =σ dt dS dt dt dt Ισοδύναα, (λόγω του σταθερού ρυθού περιστροφής), το dI πορεί να υπολογιστεί έσω του φορτίου dQ = σ ( 2πrdr ) ολόκληρου το διαφορικού δακτυλιδιού που διέρχεται από ία διατοή του κατά τη διάρκεια ίας ολόκληρης περιόδου T = 2π / ω , οπότε dI = dQ / T = σω rdr . Αντικαθιστώντας το dI στην αρχική σχέση:   dI r2  0 σω rdr r2 0 σω r 3dr ˆ ˆ = = dB = ˆz 0 z z 3 2 z 2 + r 2 32 2 2 z 2 + r 2 32 z2 + r2 2 R

dr

(

)

(

)

R

  σω B = zˆ 0 2

∫( 0

(

)

R

r 3dr z2 +r2

)

  σω ˆ 0 3 , και για z = 0 : B = z 2 2

∫ 0

dr = ˆz

 0σω R 2

3.7 Μονωένος λεπτός αγωγός τυλίγεται σε επάλληλες κυκλικές σπείρες, ξεκινώντας από έναν αρχικό κύκλο ακτίνας R1 , και συνεχίζοντας προς τα έξω (ε κάθε σπείρα να ακουπά στην προηγούενη). Το τελικό σύστηα έχει την ορφή ενός επίπεδου κυκλικού δακτυλίου, ε εσωτερική ακτίνα R1 και εξωτερική R 2 , και σταθερή επιφανειακή πυκνότητα σπειρών  d*   dr = σταθ.  . Αν διέρχεται από τον αγωγό σταθερό ρεύα Ι, να υπολογίσετε το αγνητικό πεδίο   στο κέντρο συετρίας του συστήατος. Υπόδειξη: Θεωρήστε ότι σε ένα δακτύλιο, εταξύ των ακτινών r και r + dr , η επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος προέρχεται από ία συνεχή κατανοή σπειρών, και βρείτε το αντίστοιχο ρεύα dI . Είναι γνωστό ότι το αγνητικό πεδίο δακτυλίου ακτίνας r, που διαρρέεται από ρεύα dI , σε σηείο του άξονά του που απέχει απόσταση z από το κέντρο του, είναι ίσο ε  dI r2 . dB = 0 2 ( z 2 + r 2) 3/2

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θεωρώντας ότι σε ένα δακτύλιο, εταξύ των ακτινών r και r + dr , η επιφανειακή πυκνότητα ρεύατος προέρχεται από ία συνεχή κατανοή σπειρών, βρίσκουε το αντίστοιχο ρεύα dI : * d* *I dI = dr , όπου * : ο συνολικός αριθός των σπειρών, έτσι ώστε = = n = σταθ. R2 − R1 dr R2 − R1

  dI r2 dB = zˆ 0 2 z2 + r 2

(

  nI B = zˆ 0 2

και για z = 0 :

R2

∫ R1

)

3 2

 nI r2 dr = zˆ 0 2 z2 + r 2

(

)

3 2

  nI ⇒ B = zˆ 0 2

R2

∫ (z R1

r2 dr 2

+ r2

y Γ

I ∆

A

I

B

R1

I R2 x

K I

3 2

 dr  nI ⇒ B = zˆ 0 ln  R2  r 2  R1 

3.8 Το κύκλωα ΑΒΓ αποτελείται από ένα τεταρτηόριο κύκλου(ΑΒ) και από τρία τεταρτηόρια κύκλου (Γ) ε κοινό κέντρο Κ και ακτίνες R 1 και R 2 αντιστοίχως, καθώς και από δύο ευθύγραα τήατα ΒΓ και Α, κάθετα εταξύ τους. Το κύκλωα διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύα Ι ε τη φορά που  δείχνει το σχήα. Να βρείτε το αγνητικό πεδίο  στο σηείο Κ, χρησιοποιώντας τον νόο των BiotSavart. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

)

y I I

R2

R1

x K

I

I

     B ολ (K ) = B ΑΒ (K ) + B ΒΓ (K ) + B Γ (K ) + B Α (K ) Τα ευθύγραα τήατα ΓΒ και Α δεν συνεισφέρουν στο αγνητικό πεδίο, λόγω ηδενισού του εξωτερικού γινοένου στον Ν. Biot1Savart. Τα τόξα κύκλου ΑΒ και Γ συνεισφέρουν αντιστρόφως ανάλογα ως προς την ακτίνα του και ε ποσοστό βάρους το ποσοστό του κύκλου στον οποίον αντιστοιχούν, ενώ διανυσατικά συνεισφέρουν κάθετα στο σχήα (προς την σελίδα)    1  0I 3  0I   0I  1 3 B (K ) = (−zˆ )  +  ⇒ B (K ) = (−zˆ )  +  8  R1 R2   4 2 R1 4 2 R2 

3.9 (α) Τήα αγωγού που διαρρέεται από ρεύα Ι έχει σχήα ηικυκλίου ακτίνας a ε διάετρο  ευθεία ΑΒ. Το ηικύκλιο βρίσκεται έσα σε αγνητικό πεδίο B που είναι κάθετο στο επίπεδό του. Βρείτε τη δύναη που ασκείται πάνω στο ηικύκλιο και δείξετε ότι είναι ίση ε τη δύναη που θα ασκούσε το πεδίο πάνω σε ευθύγραο αγωγό κατά ήκος της ευθείας ΑΒ, που διαρρέεται από το ίδιο ρεύα. (β) ιερευνήστε κατά πόσο το ίδιο ισχύει για αγωγό οποιουδήποτε σχήατος εταξύ των  σηείων Α και Β, ο οποίος βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στο B . ΛΥΣΗ  Στοιχείο ήκους αγωγού d l , στην κατεύθυνση του ρεύατος Ι που το διαρρέει, υφίσταται έσα σε     αγνητικό πεδίο B δύναη df = Idl ×B .

(α)

Το στοιχείο ήκους του αγωγού γράφεται ως

 d l = xˆ dx + yˆ dy . Εδώ, το αγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο  επίπεδο xy. Έστω ότι είναι B = − Bzˆ . Τότε    d f = Id l × B = I ( xˆ dx + yˆ dy) × (− Bzˆ ) = IB( yˆ dx− xˆ dy) .

Για ολόκληρο το ηικύκλιο, ολοκληρώνουε από το σηείο Α στο σηείο Β:

(

)

 B B fη = IB ˆy∫ dx − ˆx∫ dy = IB ( ˆy(xB − xA ) − ˆx( yB − yA )) A

A

 fη = IB ( yˆ (AB) − xˆ (0 − 0)) = IByˆ (AB) .

Η δύναη που ασκείται πάνω στο ευθύγραο τήα ΑΒ είναι ίση ε:

Εποένως,

  f AB = I (AB) xˆ × B = I (AB) xˆ × (− Bzˆ ) = IB (AB) yˆ .   fη = fAB . 

 

(β) Γενικά, είναι d f = Id l × B . Η δύναη πάνω σε αγωγό οποιουδήποτε σχήατος ανάεσα στα σηεία Α και Β είναι   B  fκαπ .AB = I ∫ d l × B = I A



( ∫ dl )× B = I (r − r )× B B

A

B

A



όπου rA και rB είναι τα διανύσατα θέσης των σηείων Α και Β, αντιστοίχως. Η δύναη πάνω στο ευθύγραο τήα ΑΒ είναι       f ευθ .AB = I (AB) ×B = I ( rB − rA ) × B .

Εποένως, γενικά

  f καπ.AB = f ευθ. AB .

Προκύπτει ότι ο καπύλος αγωγός από το Α στο Β δεν χρειάζεται να βρίσκεται πάνω σε ένα επίπεδο.

3.10 Ένας αγωγός ε άπειρο ήκος εκτείνεται κατά ήκος του άξονα των x, από x = −∞ έχρι x = 0 , στη θέση x = 0 διαγράφει έναν κύκλο ακτίνας R, στο επίπεδο yz, ε κέντρο το σηείο (0, 0, R), και συνεχίζει κατά ήκος του άξονα των x, για x > 0 . Ο αγωγός διαρρέεται από ηλεκτρικό  ρεύα Ι, όπως δείχνει το σχήα. Να υπολογιστεί το αγνητικό πεδίο  στο σηείο (0, 0, R) , που είναι το κέντρο του κύκλου. ΛΥΣΗ

z I

I

I

R I

I

y

Το αγνητικό πεδίο οφείλεται στο ρεύα Ι που διαρρέει τον ευθύγραο αγωγό κατά ήκος του άξονα των x και τον κύκλο ε κέντρο στο (0, 0, R) και ακτίνα R που βρίσκεται στο επίπεδο yz. Το πεδίο του ευθύγραου αγωγού στο σηείο (0, 0, R) είναι:  I α = 0 ˆ . 2π R Στο ίδιο σηείο, το πεδίο που οφείλεται στον κυκλικό βρόχο είναι:  I κ = − 0 ˆ . 2R

I x







Το ολικό πεδίο είναι:  = α + κ =

0 I  ˆ   − ˆ  . 2R  π 

3.11 Συπαγής κυλινδρικός αγωγός απείρου ήκους και ακτίνας R διαρρέεται από ρεύα Ι, οοιόορφα κατανεηένο στη διατοή του. Στην επιφάνεια του x κυλινδρικού αγωγού τοποθετείται, παράλληλα προς τον άξονα του I κυλίνδρου, ευθύγραος λεπτός αγωγός απείρου ήκους που R διαρρέεται από ρεύα ίσης έντασης Ι, αλλά αντίθετης z κατεύθυνσης. Ο ευθύγραος αγωγός είναι κατάλληλα ονωένος I από τον κύλινδρο. Επιλέγοντας σύστηα αναφοράς ε αρχή στον y άξονα του κυλίνδρου, υπολογίστε το συνολικό αγνητικό πεδίο από τα δύο ρεύατα σε όλα τα σηεία του χώρου. Υπάρχουν σηεία όπου το συνολικό πεδίο γίνεται ηδέν; ΛΥΣΗ Για τον ευθύγραο αγωγό: B A =

 0I 2π rA

Για τον κύλινδρο, ο νόος του Ampère δίνει: r≤R

2π rB (r ) = 0 I

r≥R

2π rB (r ) = 0 I

ιανυσατικά:

r2 R2

B=

0 I r 2π R 2

B=

0 I 2π r

 x I  y  = B( ˆ sin θ − ˆ cos θ) = 0 2 r  ˆ − ˆ  2π R  r r  I  = 0 2 ( ˆy − ˆx ) 2π R

r≤R

 x  I y  = B( ˆ sin θ − ˆ cos θ) = 0  ˆ − ˆ  2πr  r r   I ( ˆ y − ˆ x ) = 0 2π x 2 + y 2

r≥R

 I  y x −R  A = BA ( − ˆ sinφ + ˆ cosφ ) = 0  − ˆ + ˆ  2π rA  rA rA    I −ˆ y + ˆ ( x − R ) . A = 0 2π ( x − R ) 2 + y 2

Ολικό πεδίο: Για r ≤ R

  I  ˆ y − ˆ x − ˆ y + ˆ (x − R )  + ολ = 0   2π  R 2 ( x − R) 2 + y 2 

Για r ≥ R

  I  ˆ y − ˆ x − ˆ y + ˆ (x − R )  + ολ = 0  2  2π  x + y2 ( x − R )2 + y2 

Πού ηδενίζεται το αγνητικό πεδίο;  ολ = 0

Για r ≥ R

2

x=

R 2

και για y = 0 δίνει

x2 + y2 = ( x − R)2 + y2

και

x x−R = 2 x +y ( x − R) 2 + y 2

Η συνιστώσα y δίνει:

Αυτή, για

ˆy − ˆx − ˆy + ˆ(x − R ) + =0 x2 + y2 ( x − R) 2 + y 2

y y = 2 x +y ( x − R) 2 + y 2

Η συνιστώσα x δίνει:

Λύσεις: y = 0

⇒

⇒

2

R2 + y2 = 0 4

δίνει 1 1 = x x− R

ή

x=

R . 2

x( x − R) 2 + xy 2 − x( x 2 + y 2 ) + R( x 2 + y 2 ) = 0

το οποίο είναι αδύνατον,

το οποίο επίσης είναι αδύνατον.

Το αγνητικό πεδίο δεν ηδενίζεται πουθενά στο εξωτερικό του αγωγού. Για r ≤ R

 ολ = 0

Η συνιστώσα x δίνει:

⇒

ˆy − ˆx − ˆy + ˆ(x − R ) + =0 R2 ( x − R) 2 + y 2

y y = 2 R ( x − R )2 + y2

⇒

(x − R ) 2 + y 2 = R 2

ή

y= 0

Η συνιστώσα y δίνει: Αυτή, για Για y = 0

x x− R = 2 R ( x − R )2 + y2

(x − R )2 + y 2 = R 2

δίνει

x = x −R ,

δίνει

x 1 = 2 x−R R

⇒

που είναι αδύνατον.

x 2 − Rx − R 2 = 0 ,

η οποία έχει λύσεις:

1+ 5 η οποία απορρίπτεται γιατί είναι x > R , ενώ πρέπει να είναι r ≤ R . R, 2 1− 5 η οποία είναι αποδεκτή και δίνει την ευθεία πάνω στην οποία (ii) x = R = − 0,618 R , 2  είναι ολ = 0

(i)

x=

3.12 Ένα οοαξονικό καλώδιο που αποτελείται από δύο λεπτούς (αελητέου πάχους) κυλινδρικούς εταλλικούς σωλήνες απείρου ήκους ε ακτίνες R1 και R2 (R 1< R2 ), διαρρέεται από το ίδιο ρεύα Ι το οποίο κατανέεται οοιόορφα, αλλά έχει αντίθετες κατευθύνσεις στους δύο σωλήνες. (α) Υπολογίστε το αγνητικό πεδίο σε όλα τα σηεία του χώρου. (β) Υπολογίστε τη αγνητική ενέργεια ανά ονάδα ήκους του καλωδίου. (γ) Υπολογίστε την αυτεπαγωγή του καλωδίου ανά ονάδα ήκους του.

R2 I

I R1

ΛΥΣΗ (α) Θα εφαρόσουε τον νόο του Ampère σε κύκλους ε κέντρα πάνω στον άξονα του καλωδίου και επίπεδα κάθετα σε αυτόν. Τα ρεύατα που διαρρέουν αυτούς τους κύκλους: για R1 < r< R2, Iπερικλ. = I και για r > R2 , I περικλ. = I − I = 0 . για r < R1 , I περικλ. = 0 , για r < R1 και για r > R2 :

Ο νόος του Ampère δίνει, εποένως

B =0

για 0 I R1 < r < R 2 : 2 π rB( r) = 0 I B= και . 2 πr (β) Το κυλινδρικό κέλυφος ε εσωτερική ακτίνα r, εξωτερική r + dr ( R1 < r < R2 ) και ήκος l , έχει όγκο dυ = 2π lrdr . Η πυκνότητα της αγνητικής ενέργειας στην απόσταση αυτή από τον άξονα του κυλίνδρου, είναι: 2

dW M 1 2 1  0 I  B = =   . 2 0 2 0  2πr  dυ

0I 2  0 I 2 dr d l . = υ 8π 2 r2 4π r Αυτή η ενέργεια βρίσκεται όνο στην περιοχή R1 < r < R2 . Η ενέργεια που αντιστοιχεί σε κύλινδρο ήκους l είναι:

Εποένως dWM =

WM =

∫

R2 R1

R   0 I2 dr  0 I 2 l = l ln  2  . 4π 4π r  R1 

Το αγνητικό πεδίο εκτός του κυλίνδρου είναι ίσο ε ηδέν και δεν συνεισφέρει την ενέργεια.

WM =

(γ) Αν L είναι η αυτεπαγωγή του ήκους l του συστήατος, θα είναι: και εποένως

L=

0

2π

 R l ln  2   R1 

και

R  1 0 I 2 l ln  2  = LI 2 4π  R1  2

L 0  R 2  ln   . = l 2π  R1 

3.13 Συπαγής κυλινδρικός αγωγός έχει ακτίνα a εκτείνεται σε όλο το ήκος του άξονα των z, ο δε άξονάς του συπίπτει ε τον άξονα των z. Ο αγωγός διαρρέεται από ολικό ρεύα Ι, του οποίου η  a πυκνότητα δίνεται από τη σχέση  ( r ) = J 0 ˆ , όπου r είναι η απόσταση από τον άξονα του r κυλίνδρου, και J 0 ια θετική σταθερά. (α) Αν το ολικό ρεύα που διαρρέει τον αγωγό είναι Ι, να υπολογίσετε την τιή του J 0 συναρτήσει των a και Ι.  (β) Να υπολογισθεί το αγνητικό πεδίο  σε όλα τα σηεία του χώρου, συναρτήσει των Ι και της απόστασης x από τον άξονα του κυλίνδρου, και να παρασταθεί γραφικά το έτρο του ω...