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Principios de la ley de Ampere...

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Ejercicio ley de ampere

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FUENTES DE CAMPO MAGNETICO 9.1 INTRODUCCION En el capitulo anterior se hizo un estudio de las fuerzas que ejercen los campos magnéticos sobre las cargas móviles y sobre los conductores que transportan corriente. En este capitulo se le va a dar énfasis especial a las corrientes eléctricas como fuentes de campo magnético. En 1819 Oesterd descubrió que, cuando colocaba una brújula cerca de un alambre conductor, la aguja se desviaba cuando pasaba una corriente eléctrica por el alambre. De esta forma se supo que la corriente eléctrica era la fuente de un campo magnético capaz de producir un torque sobre la aguja de una brújula. Esta observación de Oesterd era la primera experiencia que indicaba una conexión entre la electricidad y el magnetismo, que antes de esta experiencia se habían considerados como eventos separados, sin ninguna relación. Inmediatamente después de que Oesterd descubriese que la corriente eléctrica es una fuente de campo magnético, los experimentos que llevaron a cabo André Marie Ampère (1775-1836), Jean Baptiste Biot (1774-1862) y Felix Savart (1791-1841) dieron lugar a lo que en la actualidad se conoce como la ley de Biot-Savart, que determina el campo magnético creado en un punto del espacio por una corriente eléctrica o por distribuciones de corrientes eléctricas. En este capitulo con el formalismo de Biot-Savart y el principio de superposición se calculan diversos campos magnéticos para diferentes geometrías. Luego, se muestra como determinar la fuerza entre dos conductores y por ultimo llegar a la ley de Ampère y aplicarla a diferentes configuraciones simétricas de corriente. 9.2 LEY DE BIOT-SAVART. A partir del estudio experimental de los campos magnéticos en la proximidad de circuitos de diversas formas, los físicos franceses Biot y Savart dedujeron, una formula que permite calcular, salvo dificultades matemáticas el campo

de un circuito cualquiera.

El campo magnético producido por un elemento de corriente de un circuito de forma arbitraria como el de la figura 9.1, se puede concebir dividido en elementos de longitud dl, uno de los cuales se ha representado en la figura. Por el momento el resto del circuito puede ser de forma cualquiera, pues un único elemento de corriente aislado no existe en una corriente estacionaria; la carga debe entrar por un extremo y salir por el otro. Las cargas móviles del elemento crean un campo en todos los puntos del espacio y, en un punto P dado, el campo del circuito completo es el resultante de los campos infinitesimales de todos los elementos del circuito. La dirección y sentido del campo

,

creado en los puntos P y Q por el elemento de longitud dl, se muestra en la figura, apunta hacia afuera del papel en P que se representa como y hacia adentro del papel en Q que se representa como . El vector

se encuentra en un plano perpendicular a dl y es asimismo

perpendicular al plano determinado por el vector , dirigido en la dirección de la corriente y el vector que une a dl con el punto P o con el punto Q. La ley de Biot-Savart para el campo producido por el elemento infinitesimal es

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La dirección está dada por el producto vectorial

y su sentido dado por la regla de la mano

derecha. Es decir, cuando los dedos de la mano derecha se curvan desde el vector vector unitario

, el dedo pulgar señala la dirección de

donde  es el ángulo que forma el vector

con el vector

. En magnitud el valor de dB es

. La constante

la constante de permeabilidad magnética del vacío y es análoga a a la conexión entre electricidad y magnetismo, de

y

hacia el

se conoce como

en la electrostática. Debido

están relacionados entre si. El valor

en unidades SI es

.

La ecuación 9.1 debe ser integrada a lo largo de la línea que sigue la distribución de corriente. Por tanto, el campo magnético en un punto P cualquiera es la superposición lineal de las contribuciones vectoriales debidas a cada uno de los elementos infinitesimales de corriente, y se da como:

9.3

Esta ecuación se aplica como ejemplo a varios arreglos geométricos importantes. Ejemplo 1. La figura 9.2 muestra un alambre recto y delgado de longitud L que conduce una corriente constante I y que se coloca a lo largo del eje x. Hallar el campo magnético para un punto P cualquiera.

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La figura 9.2 a) muestra un elemento típico de corriente , y un punto P del espacio que se encuentra a una distancia R perpendicular al alambre y con un vector de posición sigue:

. El campo

se obtiene de la ecuación 9.1 como

Ahora bien, x,  y r no son independientes, sino que están relacionadas según el triangulo de la figura 9.2 a) por las expresiones

Por lo que

Integrando esta última expresión entre

, como se muestra en la figura 9.2b) se tiene

9.4 Con este resultado se puede encontrar el campo magnético de cualquier alambre recto si se conoce su geometría y por tanto los ángulos

.

Los casos especiales que se pueden considerar para este ejemplo son:

a) Para la figura de la derecha tanto la ecuación 9.4 se transforma como

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. Por lo

b) Si en el caso anterior, largo es:

c) Para la figura de la derecha

, o,

, se tiene que el campo magnético para este alambre

.

Por lo tanto la ecuación 9.4 se transforma como

Ejemplo 2. Una espira cuadrada de lado a, lleva una corriente I como en la figura 9.3. Encontrar el campo magnético en el centro de la espira.

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De acuerdo como esta circulando la corriente en la figura y la regla de la mano derecha, el campo magnético entra al plano del papel. Dirección que es en coordenadas de la figura.

de acuerdo al sistema de

El campo producido por uno de los alambres se halla usando la ecuación encontrada en el numeral a) del ejemplo 1. Se hace

, por lo que el campo es

Ejemplo 3. Utilizando el resultado obtenido en el caso c) del ejemplo1, calcular el campo punto P para el circuito que se muestra en la figura 9.4.

en el

Los campos magnéticos producidos por los elementos rectilíneos del circuito que van de 1 a 2 y de 4 a 5 son cero. Puesto que para un elemento dl de cada uno de ellos se tiene

Para hallar el campo magnético en magnitud y dirección en el punto P de los demás elementos, se usa el resultado obtenido en el caso c) y la regla de la mano derecha. En el resultado obtenido en el numeral c) del ejemplo 1 simplemente se reemplaza L y R. Por lo tanto

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El campo

es entonces

Ejemplo 4. Una espira circular de radio a localizada en el plano yz que conduce una corriente estable I, como se muestra en la figura 9.5. Hallar el campo magnético en un punto axial P a una distancia x del centro de la espira.

Como se muestra en la figura,

son perpendiculares entre si y la dirección del campo

producido por este elemento particular, campo

se encuentra en el plano xy. En el punto P el

es por lo tanto

Donde la magnitud dB del campo debido al elemento

es

La situación tiene una simetría de rotación con respecto al eje x, de modo que no puede haber componentes del campo total perpendiculares a este eje. Para cada elemento existe un elemento correspondiente en el lado opuesto de la espira, con dirección opuesta. Estos dos elementos simétricamente opuestos producen contribuciones a la componente x de , pero las componentes perpendiculares de estos dos elementos se anulan por ser opuestos entre si.

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Al sumar todas las contribuciones del anillo al campo en el punto P, todas las componentes perpendiculares se cancelan y sólo quedan las componentes x. Para obtener la componente x del campo total

, se integra la componente dBx. Por lo tanto

Todo en esta expresión es constante, con la excepción de dl, y se puede sacar de la integral, por consiguiente

9.6 En el centro de la espira x=0, el campo magnético es

El resultado obtenido en la ecuación 9.6 se puede expresar de una forma más sencilla en función del momento dipolar magnético tanto la ecuación 9.6 se escribe como

de la espira. El área de la espira es

. Por lo

9.8

El valor del campo magnético es máximo en el centro de la espira, para x=0, y decrece con la distancia conforme x se aleja del centro. Para puntos lejanos, donde puede aproximar el valor del campo a

,

, se

Esta dependencia del campo B con el inverso del cubo de la distancia es característico de un campo dipolar. Una espira de corriente tiene doble dualidad, puede considerarse como un dipolo magnético, que experimenta un torque dado por cuando se coloca en un campo magnético externo; genera su propio campo magnético el cual esta dado, para puntos en el eje, por las ecuaciones que se acaban de obtener en este ejemplo.

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Ejemplo 5. Usar la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético en el punto 0 de un arco circular cualquiera de radio R, corriente I, y que subtiende un ángulo  como el de la figura 9.6.

En este semicírculo

son mutuamente perpendiculares y

.

9.9

Si el segmento es un circulo de radio a y lleva una corriente I como en la figura 9.5. Hallar el campo en x=0. Para esta situación

y la dirección del campo es

. Con lo que

Como era de esperarse de acuerdo a la ecuación 9.7. Ejemplo 6. Utilizando el resultado obtenido en el ejemplo 5. Hallar el campo magnético en el punto P para el circuito mostrado en la figura 9.7.

El campo magnético producido en P por los segmentos rectos de 2 a 3 y de 4 a 1 son cero, debido a que para cada segmento el elemento

es paralelo o antiparale

lo a , por lo que

Para los segmentos de 1 a 2 y 3 a 4 el campo en magnitud en el punto P es el dado por la ecuación 9.9 y la dirección la dada por la regla de la mano derecha. Haciendo que los campos de los segmentos de arco son:

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se tiene

El campo total es

9.3 FUERZAS ENTRE CONDUCTORES PARALELOS. La figura 9.8 a) y 9.9 b) muestran una porción de dos alambres largos conductores,rectilíneos y paralelos, separados por una distancia d, y que transportan corrientes cuyas intensidades respectivas son I 1 y I2, ambas del mismo sentido.

Puesto que cada conductor se encuentra en el campo magnético creado por el otro, experimenta una fuerza. La figura 9.9 muestra alguna de las líneas de campo creada por la corriente I 1 y que pasa por el alambre que transporta la corriente I2. El valor del campo sobre el alambre de corriente I 2 como se muestra en la figura 9.9 b), y de acuerdo con la ecuación 9.7 es

En virtud de la ecuación 8.15, la fuerza ejercida sobre la porción de alambre de longitud L que lleva la corriente I2, es

El resultado indica que la corriente I1 atrae a la corriente I2 con una fuerza por unidad de longitud de

Si se considera el caso contrario, o sea, la fuerza producida por el campo del alambre que lleva la corriente I2 sobre el alambre que lleva la corriente I1 da como resultado una fuerza de igual magnitud y dirección, pero de sentido opuesto y, nuevamente, representa atracción. Por tanto, se encuentra que “conductores paralelos que conducen corrientes en la misma dirección se atraen entre sí con una fuerza inversamente proporcional a su separación, como resultado de su interacción magnética, en tanto que conductores paralelos que conducen corrientes en direcciones opuestas se repelen entre sí”. La atracción o la repulsión entre dos conductores rectos y paralelos por los que circulan corrientes es la base de la definición oficial del ampere en el SI.

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“Un ampere es la corriente que al pasar a la vez por dos alambres largos (infinitos), rectos y paralelos, separados una distancia de 1m, produce sobre cada una fuerza por unidad de longitud de exactamente 2x10-7Nm-1. Como consecuencia de la definición de la unidad de corriente podemos dar una nueva definición de la unidad de carga: “Se define el culombio como la cantidad de carga que pasa en un segundo por un punto de un circuito en el que existe una corriente estacionaria de un amperio. Este procedimiento de medir y definir primero la unidad de corriente y a partir de allí definir la unidad de carga, se debe a que resulta experimentalmente mucho más fácil y fiable medir la fuerza magnética entre corrientes que la fuerza eléctrica entre cargas. El instrumento completo capaz de medir corrientes con un alto grado de precisión se conoce como balanza de corriente. Ejemplo 7. Dos largos alambres paralelos, cada uno con una masa por unidad de longitud , se soportan en un plano horizontal por cuerdas de longitud b, como se ve en las figuras 9.10 a) y b). Cada alambre conduce la misma corriente I, lo que ocasiona que se repelan entre sí de tal modo que el ángulo entre las cuerdas de soporte es . Determinar la magnitud de cada corriente. De acuerdo al enunciado del problema I 1=I2=I y apuntan en sentido contrario, por lo que la fuerza magnética es la fuerza de repulsión que ejerce el alambre que lleva la corriente demarcada como I1 sobre el alambre que lleva la corriente I 2. En la figura 9,10 b) se muestran las fuerzas que actúan sobre el alambre 2 de longitud arbitraria L para que el sistema se encuentre en equilibrio.

La fuerza neta sobre el alambre 2 es

En componentes cartesianas es

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La relación

es

La separación entre los alambres es conocida y está dada por que el sistema este en equilibrio es

. La corriente para

LEY DE AMPERE. Poco después de los descubrimientos de Oesterd, de Biot y de Savart, Ampère encontró una relación útil entre las corrientes eléctricas y los campos magnéticos. Esta relación se puede aplicar en situaciones de una alta simetría para encontrar el campo magnético con más facilidad que haciendo los cálculos con la ley de Biot-savart. En cualquier caso, el resultado es el mismo. A este respecto, utilizar la ley de Ampère es algo semejante a encontrar el campo eléctrico usando la ley de Gauss mejor que la ley de Coulomb. En casos de la falta de simetría apropiada, la ley de Ampère no es fácil de aplicar. Siempre es válida, aun cuando la ley de Biot-Savart es necesaria algunas veces para cálculos del campo magnético. La ley de Ampère se puede deducir para el caso especial del campo creado por uno o más conductores paralelos. La figura 9.11 muestra un plano normal a un alambre conductor largo que transporta una corriente de intensidad I. El vector campo magnético en un punto cualquiera está en el plano de la figura y es perpendicular al vector que va desde el conductor al punto. El valor de

en magnitud debido al alambre conductor en ese punto y dado por la ecuación 9.5 es

El vector

forma el ángulo  con un elemento

de una trayectoria cerrada que rodea al

conductor, y la componente de en la dirección de es pequeño “triangulo” rectángulo cuya hipotenusa es dl, se deduce que ,

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. Sí se considera el

o bien, . Por tanto,

La integral curvilínea de

a lo largo de la trayectoria cerrada de la figura 9.11 es

ya que el ángulo  se incrementa en 2 cuando se recorre una vez la trayectoria. La integral curvilínea no depende de la forma de la trayectoria ni de la posición del conductor respecto a esta. Si la corriente en el alambre es opuesta a la que semuestra en la figura, la integral tiene el signo opuesto. Pero si la integral no contiene al alambre, el cambio neto en  alrededor de la trayectoria es 0; , ya que el valor de  será el mismo al comienzo y al final de cualquier recorrido completo sobre la trayectoria. Por tanto, si hay presentes otros conductores que no atraviesan una trayectoria dada, estos pueden contribuir al valor de cada punto, pero las integrales curvilíneas de sus campos son nulas.

en

Si varios conductores rectilíneos atraviesan la superficie limitada por la trayectoria, la integral curvilínea es igual a la suma algebraica de las corrientes dada por

Al calcular esta suma se utiliza la regla de signos para las corrientes que, en nuestro caso es negativa para corrientes entrando y positiva para corrientes saliendo. La sumatoria en la ecuación 9.13 se puede sustituir por I neta, que es la suma de las corrientes contenidas en la trayectoria de integración o encerradas por ella. La suma se estima utilizando la regla de signos que se acaba de describir, por ejemplo para la figura 9.12 es

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La sumatoria solamente incluye las corrientes encerradas. Para el caso ilustrado en la figura 9.12, las corrientes I4 e I5 no están encerradas por la trayectoria y por lo tanto no se incluyen en la suma. El signo de cada corriente se determina mejor utilizando la regla de la mano derecha, que se puede enunciar como sigue: “Se curvan los dedos de la mano derecha de forma que sigan la dirección de integración a lo largo del camino cerrado; el pulgar extendido como se muestra en la figura a) señala el sentido de la corriente que contribuye positivamente”.

El enunciado de la ley de Ampère es entonces

Aunque la ecuación 9.14 se dedujo para el caso especial del campo creado por cierto número de conductores rectilíneos paralelos, la ley de Ampère se cumple para conductores y trayectorias de forma cualquiera. La deducción general no es muy diferente de la deducción anterior, pero resulta más complicado geométricamente. La ecuación 9.14 también se puede expresar en términos de la densidad de corriente simetrías radiales se expresa como

y para

Como aplicación de la ley de Ampère se presentan algunos ejemplos. Ejemplo 8. Utilizar la ley de Ampère para encontrar la magnitud y dirección del campo en el punto P a una distancia r, producido por un alambre conductor largo y recto por el que circula una corriente I.

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Como se ilustra en la figura 9.13 b), se elige como trayectoria, llamada amperiana un circulo de radio r. A partir de la simetría del problema,

depende únicamente de r. La elección de esta

línea amperiana permite deducir que la magnitud de trayectoria.

es constante en todos los puntos de la

De acuerdo con la ecuación 9.14

La integral dl a lo largo de la trayectoria es simplemente , la longitud del circulo amperiano. El lado derecho corresponde a la corriente encerrada por la trayectoria y es positiva de acuerdo con la regla de la mano derecha. La ley de Ampère da

o sea

Para cualquier punto a una distancia r del alambre conductor. Para el punto P y de acuerdo al sistema de coordenadas de la figura 9.13 b) el vector campo

es

Este resultado es idéntico a la ecuación 9.5, un resultado que se obtuvo con mucho más esfuerzo usando la ley de Biot-Savart. Ejemplo 9. Por un conductor cilíndrico largo de radio R como el de la figura 9.14 a) circula una...