Bab 4 Gelombang Transversal PDF

Preview

Summary

BAB 4 Gelombang Transversal Pada bab yang lalu telah dibahas gerakan suatu benda seperti bandul pada getaran harmonik sederhana, teredam, ada gaya yang memaksa dengan simpangan (pergeseran) merupakan fungsi waktu saja. Lain halnya kalau bandul atau massa tadi bergerak merupakan bagian dari medium ma...

Description

Accelerat ing t he world's research.

Bab 4 Gelombang Transversal defrin yks

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

MAKALAH GELOMBANG Nuril Qomariyah

DIKTAT KULIAH FISIKA DASAR II TAHAP PERSIAPAN BERSAMA IT B DIKTAT KULIAH FISIKA DASAR II TA… Triyandi Put ra Dikt at Fisika Dasar II Anida Humairah

BAB

4

Gelombang Transversal

Pada bab yang lalu telah dibahas gerakan suatu benda seperti bandul pada getaran harmonik sederhana, teredam, ada gaya yang memaksa dengan simpangan (pergeseran) merupakan fungsi waktu saja. Lain halnya kalau bandul atau massa tadi bergerak merupakan bagian dari medium maka gerakan massa menyebabkan gerakan bagian medium lainnya. Misalnya tali (string) ujung satu dipegang dan ujung lain dilepas, kemudian ujung yang dipegang dinaikkan sesaat terjadi gerakan tali, maka asumsikan titik massa m bergerak menyimpang y , benda m1 menyimpang y1 dan benda m2 menyimpang y2 , jadi y merupakan fungsi x digerakkan pada t = t → y = t(x; t), y adalah simpangan merupakan fungsi x dan t(tempat dan waktu). Perubahan dari x atau t menyebabkan perubahan y, secara matematik dinyatakan dy =



∂y ∂x



dx + t



∂y ∂t



dt = diferensial total

(4.1)

x

Kalau diuaraikan dalam ruang y → z, x → y, t → y, yang dimaksud diferensial parsial yaitu dz = dz1 + dz2 =



∂z ∂x



dx + y



∂z ∂y



dy

(4.2)

x

Secara fisis dikatakan bahwa besaran z ditentukan oleh x dan y.

4.1

Gelombang

Gerakan massa-massa tali (medium) berupa gelombang (waves). Gerakan air dari tengah laut ke pantai karena pada tengah laut tadi air mendapat gaya berupa ombak tidak lain adalah gelombang air. Juga getaran dari tali sehingga terdengar bunyi ( yang didengar orang lain), juga pada udara terkirim gelombang bunyi. Gelombang yang berjalan pada medium panjang 32

33

Gelombang

Gambar 4.1: Elemen kecil dari permukaan bola dimana tiap gradien ditentukan dengan sebuah variabel tetap

disebut progressive waves. Jadi gejala gerak medium disebut gelombang, jika medium terbatas, seperti pada tali gitar ujung tali terikat), getaran/vibrasi tali bergerak maju mundur dan terpantul sehingga berupa gelombang berdiri. Gelombang pada tali berupa gelombang transversal dengan pergeseran atau osilasi medium transversal terhadap propagasi gelombang. Jika osilasi paralel, arah propagasi gelombang disebut gelombang longitudinal. Pada medium gas hanya mungkin terjadi gelombang longitudinal. Pada medium padat dapat meneruskan gelombang longitudinal maupun gelombang transversal. Dalam medium cair seperti halnya pada padatan dapat meneruskan gelombang transversal dan longitudinal. Macam lain gelombang bidang datar dan gelombang bola. Ada tiga macam kecepatan dalam gerak gelombang yaitu

1. Kecepatan partikel, tidak lain kecepatan gerakan partikel harmonik sederhana pada posisi kesetimbangan.

2. Kecepatan fase merupakan kecepatan bidang sefase, puncak dan lembah menjalar menembus medium, sama dengan kecepatan gelombang.

3. Kecepatan grup yaitu sejumlah gelombang berbeda frekuensi, panjang gelombang dan kecepatan kemungkinan bersuperosisi membentuk grup seperti cahaya putih terdiri dari sejumlah cahaya dengan berbeda frekuensi dan panjang gelombang. Cahaya putih mungkin dapat berdispersi menjadi komponen-komponennya. Kecepatan grup adalah merupakan juga kecepatan energi yang ditransmisikan. Teaching Grant

QUE–Project

Bab4. Gelombang Transversal

4.2

34

Persamaan Gelombang

4.2.1 Persamaan gelombang dalam tali Segmen tali sepanjang dx ditarik keatas sehingga panjang tersebut ds = dx dengan gaya tegang T pada ujung-ujungnya. T bekerja di x pada sudut θ dan di x + dx pada sudut θ + dθ. Gerakan sepotong tali ini vertikal dengan harmonik sederhana. Gaya pada elemen tali

Gambar 4.2: Elemen pergeseran dari kawat dengan tegangan T

T sin θ → T T

∂2y dx ∂x2 ∂2y ∂x2

= =



∂y ∂x



− x+d



∂y ∂x

∂2y ∂t2 2 ρ∂ y 1 ρ → 2 = 2 T ∂t c T

 

(4.3)

x

ρdx

(4.4)

Jika ξ adalah simpangan, pada nilai t tertentu maka ξ = f (x). Pada jarak a = ct maka ξ = f (x − a)

ke kanan

ξ = f (x + a)

ke kiri

(4.5)

Penyelesaian umum persamaan gelombang adalah

Gambar 4.3: Osilasi pergeseran dalam medium kontinu pada arah x-positif

Teaching Grant

QUE–Project

35

Persamaan Gelombang ξ = f (x ± ct) ∂2ξ ∂x2

(4.6)

= f1 (ct − x) + f2 (ct + x) 1 ∂2ξ = 2 2 c ∂t

(4.7)

Bentuk penyelesaian dari persamaan yang sering dipakai dalam bidang ξ(x, t) = a sin

2π (ct − x) → ξ = ξ(x, t) λ

(4.8)

Tempat kedudukan pergeseran osilator dalam medium kontinu sebagai lintasan gelombang menjalar sepanjang sumbu x dengan λ adalah jarak terpisah antara 2 osilator yang berbeda fase 2π radian  x y = a sin 2π vt − λ = a sin(ωt − kx);

(4.9) →k=

2π ωt = λ c

= a exp i(ωt − kx) Gerak gelombang tidak lain ialah perubahan pergeseran osilaotor-osilator dinyatakan dalam pergeseran

∂x ∂t

adalah kecepatan fase,

∂y ∂x

−k cos(ωt − kx) adalah gradien dari profi le gelombang. Maka nilai ∂y ∂x − ∂x ∂t .

∂y ∂x ∂y −c ∂x

adalah kecepatan partikel=ωa cos(ωt − kx) dan ∂y ∂t

=

∂y − ωk ∂x

=

= =

Arah panah menunjukkan arah gerakan partikel/osilator dan besarnya pada tiap x.Arah

∂y gerakan partikel searah gaya transversal pada gelombang yaitu T ∂x dimana T =tension.

Gambar 4.4: Besar dan arah dari kecepatan partikel pada arah x

Teaching Grant

QUE–Project

Bab4. Gelombang Transversal

4.3

36

Impedansi karakteristik suatu dawai

Dawai sebagai medium tempat gelombang menjalar mempunyai atau ditandai berapa besar impedansinya. Medium hanya berisi parameter inersia dan elastisitas(energi storing) atau tidak ada resistivitas atau tidak ada dissipasi. Jika ada energi terdissipasi berbentuk komplek, dawai mendapat gaya transversal F , impedansi karakteristik dinyatakan Z=

F tranverse force = transverse velocity v

(4.10)

Pada ujung dawai gaya Fo exp(iωt) bekerja vertikal ke atas. Dawai dan gaya terletak pada bidang kertas, T=gaya atau tension pada dawai. Pada ujung dawai tercapai keseimbangan   ∂y Fo exp(iωt) = −T sin θ ≈ −T tan θ = −T ;θ ≈ 0 (4.11) ∂x Pergeseran gelombang y = Aei(ωt−kx) pada x = 0 terpenuhi   ∂y Fo  c  Fo Fo exp iωt = −T (4.12) = = ikT A exp i(ωt − kx) → A = ∂c x=0 ikT iω T Fo  c  exp i(ωt − kx) (4.13) y = iω T Fo T Fo  c  exp i(ωt − kx); v = ; Z= = ρc (4.14) v = y′ = iω T Z c dengan Z=impedansi, nilai c besarnya ditentukan oleh inersia (Z, s) dan elastik (L, m) juga nilai Z.

Gambar 4.5: Kawat sebagai sebuah osilator gaya vertikal F0 eiωt

4.4

Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan

Gelombang menjalar pada dawai yang dihubungkan secara halus pada x = 0 dan disini terjadi ρ1 c1 = Z1 dawai kiri dan ρ2 C2 = Z2 pada dawai disebelah kanan.

Teaching Grant

yi = A1 exp i(ωt − k1 x) = gelombang datang

(4.15)

yr = B1 exp i(ωt + k1 x) = gelombang refleksi

(4.16)

yt = A2 exp i(ωt − k2 x) = gelombang transmisi

(4.17) QUE–Project

37

Refleksi dan Transmisi gelombang pada dawai diperbatasan

Gambar 4.6: Gelombang refleksi dan transmisi dengan impedansi ρ1 c1 pada batas x=0 dimana kawat mengalami perubahan impedansi ρ2 c2

Syarat batas : 1. Pada batas di x = 0 pergeseran tidak mengalami diskontinuitas, kondisi geometri y i +yr = yt 2. Kondisi dinamis yaitu terjadi kontinuitas gaya transversal T ∂ (yt ) yr ) = T ∂x





∂y ∂x x=0

∂ (yi + sedemikian T ∂x

Dari syarat batas(1) diperoleh yi + yr = yt

(4.18)

A1 exp i(ωt − k1 x) + B1 exp i(ωt + k1 x) = A2 exp i(ωt − k2 x) A1 + B1 = A2 ;

(x = 0)

syarat batas(2) diperoleh ∂ (yi + yr ) ∂x T (−ik1 A1 + ik1 B1 ) ω ω − T A1 + T B1 c1 c1 Z1 (−A1 + B1 ) T

∂ (yt ) ∂x = iT A2 k2 ω = − T A2 c2 = −Z2 A2 = T

(4.19)

substitusi persamaan(4.18) dan (4.19) dihasilkan B1 A1 A2 A1

= =

Z1 − Z2 = koefisien refleksi Z1 + Z2 2Z1 = koefisien transmisi Z1 + Z2

(4.20) (4.21)

Kedua koefisien tersebut tidak tergantung pada ω dan f dan merupakan bilangan riil, jika bernilai negatif berarti berbeda fase π. Jika Z 1 = ∞ artinya ujung tetap dan tidak ada transmisi yaitu B1 A1

= −1 artinya refleksi total dan berbeda fase π antara gelombang datang dan refleksi. Pada

Z = 0 adalah ujung bebas yaitu Teaching Grant

B1 A1

= 1 dan

A2 A1

= 2. QUE–Project

Bab4. Gelombang Transversal

4.5

38

Refleksi dan Transmisi Energi

Berapa energi yang ditransmisikan dan direfleksi bila gelombang melewati bidang batas? Energi total E =

1 2 2 2 2 ρ A cω

dengan k atau c kecepatan gelombang maka energi yang terbawa

sepanjang dawai adalah energi x kecepatan= 21 ρ2 A2 cω 2 . energi yang sampai pada batas x = 0 dan energi yang meninggalkan batas, yaitu : 1 2 ρ c1 ω 2 A21 2 1 1 Z1 ω 2 A21 2 A21 × Energi A21

= = =

1 2 1 ρ1 c1 ω 2 B12 + ρ2 c2 ω 2 A22 2 2 1 1 2 2 dan Z1 ω B1 + Z2 ω 2 A22 2 2 ! 1 1 2 2 2 2 2 Z1 ω B1 + 2 Z2 ω A2 A21 A21    2 ! Z1 − Z2 2 1 2 2Z1 1 2 + ω Z2 A21 ω Z1 2 Z1 + Z2 2 Z1 + Z2   1 1 2 2 (Z1 + Z2 ) 2 ω A1 Z1 = Z1 ω 2 A21 2 (Z1 + Z2 ) 2 dan

(4.22) (4.23)

(4.24)

jumlah energi refleksi + energi transmisi=energi datang. Maka koefisien refleksi dan transmisi adalah Z1 B12 R= Z1 A21 Z2 A22 T = Z1 A21

= =



B1 A1

2

=



Z1 − Z2 Z1 + Z − 2

4Z1 Z2 (Z1 + Z2 )2

2

(4.25) (4.26)

kondisi Z1 = Z2 disebut impedansi match

4.6

Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap

Suatu dawai dengan panjang l akan direfleksikan total di Z = ∞ dengan beda fase π, sedangkan dawai dengan panjang tertentu, kedua ujungnya diklem akan terjadi gelombang berdiri. Diasumsikan adanya gelombang monokromatik dengan frekuensi ω dan amplitudo a menjalar sepanjang x positif dan amplitudo b pada arah negatif sehingga pergeseran dawai pada sembarang titik dapat dinyatakan y = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx)

(4.27)

syarat batas di y = 0; x = 0 dan x = l sepanjang waktu. Pada kondisi x = 0 0 = aei(ωt−kx) + bei(ωt+kx) = eiωt (a + b) → a = −b

(4.28)

arti fisisnya gelombang pada suatu arah tertentu dengan ujung impedansi tak hingga, secara lengkap akan direfleksikan dengan beda fase π (amplitudonya negatif). Dalam bentuk umum untuk gelombang dan frekuensinya menjadi y = aeiωt e−ikx − eikx ) = (−2i)aeiωt sin kx Teaching Grant

(4.29) QUE–Project

39

Gelombang berdiri pada dawai dengan panjang tetap

Gambar 4.7: Impedansi dari Z1 dan Z3 dari dua kawat yang disesuaikan oleh panjang kawat dengan impedansi Z2 . Gelombang datang dan refleksi ditunjukkan pada bidang batas x=0 dan x=l

Pernyataan ini adalah suatu gelombang berdiri yang terjadi kapan saja (tidak tergantung waktu) dan memenuhi persamaan ∂2y + k2 y = 0 ∂x2 Harga

∂2y ∂t2

= −2i(i2 ω 2 )eiωt a sin kx = −ω 2 y dan

(4.30)

1 ∂2y c2 ∂x2

2

= − ωc2 y = −k 2 y =

1 ∂2y c2 ∂x2

merupakan

persamaan gelombang. Jika kondisi y = 0; x = l 0 = −2ieiωt a sin kl; kl = nπc l

ω cl

→ sin kl = 0 → sin ωc l = 0. Bila

→ νn =

nc 2l .

νn =frekuensi dan l =

nc 2νn

ωl c

=

= nπ nλ 2 .

k=

2π λ

(4.31) nπc l nπ x. l

n = 0, 1, 2, 3, · · · . ωn =

Maka sin kx = sin

ωn x c

= sin

→ 2πνn = ωn =normal

frekuensi (mode vibration atau eigen frequency). n = 1 → ν = 1 = Frekuensi harmonik 1 n = 2 → ν = 2 = Frekuensi harmonik 2 n = 3 → ν = 3 = Frekuensi harmonik 3 ↓ n = N → ν = N = Frekuensi harmonik N Pada suatu gerakan dawai semua mode normal ini ada dan pregeseran ialah superposisi dari pergeseran pada tiap frekuensi. Sehingga pernyataan pergeseran yang mencakup n harmonik adalah ωn x yn = 2a(−i)(cos ωn t + i sin ωn t) sin c
ωn x = An cos ωn t + Bn sin ωn t sin c Teaching Grant

(4.32) QUE–Project

Bab4. Gelombang Transversal

40

Gambar 4.8: Empat harmonik dari gelombang berdiri pada kawat yang ujungnya dijepit tetap

Amplitudo modus yang ke–n=(A2n + Bn2 )1/2 = 2a Dalam gelombang berdiri, titik-titik simpul(node) adalah titik-titik diam pada dawai, yaitu titik pada nπ x = rπ l

(r = 0, 1, 2, 3, · · · , n)

(4.33)

r = 0 → x = 0 dan r = n → x = l, maksudnya bila n = 1; r = 0, 1 →

nπ l

pada x = 0 dan x = l terjadi simpul. Bila n = 2 → r = 0, 1, 2 → x =

= rπ → x = rl, rl n

= 0, l, l/2 dan

seterusnya. Terjadi titik-titik simpul bila amplitudo gelombang datang dan direfleksikan sama, tetapi bila tidak sama akan menghasilkan

B1 A1

< 1. Amplitudo total maksimum A1 + B1 dan

minimum A1 − B1 , maka dapat didefinisikan SW R(Standing Wave Ratio) =

A1 + B1 1+R B1 = ;R = A1 − B1 1−R A1

(4.34)

bila R = 1 → SW R = ∞ artinya terjadi simpul dan R=koefisien refleksi amplitudo.

4.7

Energi dawai bervibrasi

Energi kinetik dari elemen dawai dx dengan rapat massa ρ ialah sebesar 12 ρy˙ 2 dx. Energi kinetik Rl total adalah 12 0 ρy˙ 2 dx. Energi potensial adalah kerja yang dilakukan oleh gaya tegang T dalam

elemen dx menjadi ds ialah Ep = ≃ Teaching Grant

Z

T (ds − dx) = Z t  2 dy 1 dx T 2 dx 0

Z

 T (dx2 − dy 2 )1/2 − dx =

Z n

T 1+

o dy
1/2 − 1 dx (4.35) dx (4.36)

QUE–Project

41

Grup gelombang dan kecepatan grup

artinya untuk elemen dx, panjangnya berubah menjadi bervibrasi dipandang dari gerak harmoniknya En (kinetik) = En (potensial) =

1 2

Z


1 dy 2 2 dx dx.

Selanjutnya untuk dawai

l

ρy˙ 2 dx 0 Z  2 dy 1 dx T 2 dx

(4.37) (4.38)

Untuk gelombang berdiri dengan parameter yn = y˙ n = dyn dx

=


ωn x An cos ωn t + Bn sin ωn t sin c
ωn x − An ωn sin ωn t + Bn ωn cos ωn t sin c
ωn ωn x An cos ωn t + Bn sin ωt cos c c

(4.39) (4.40) (4.41)

Maka persamaan (4.37) dan (4.38) menjadi

En (kinetik) = En (potensial) = = dengan T = ρc2 dan

Rl

2 0 sin

Z l ωn x 1 2 2 ρω (−An sin ωn t + Bn cos ωn t) dx sin2 2 n c 0 Z l ωn x 1 T ωn2 (An cos ωn t + Bn sin ωn t) cos2 dx 2 c c 0 Z l ωn x 1 2 cos2 ρωn (An cos ωn t + Bn sin ωn t) dx 2 c 0

ωn x c dx

=

energi potensial adalah

En (kinetik+potensial) =

Rl 0

cos2

ωn x c dx

(4.42) (4.43)

= 21 l. Maka jumlah energi kinetik dengan

1 1 2 ρωn l(A2n + Bn2 ) = mωn2 (A2n + Bn2 ); 4 4

m = ρl

(4.44)

dengan A2n + Bn2 adalah jumlah kuadrat amplitudo. Energi total pada dawai ialah En (total) = E1 + E2 + E3 , · · · , En

4.8

(4.45)

Grup gelombang dan kecepatan grup

Pada umumnya di alam, gelombang terjadi dari campuran banyak gelombang dengan komponen frekuensi masing-masing. Seperti cahaya putih merupakan komposisi cahaya, dengan ◦

◦

panjang gelombang 3000A − 7000A yaitu dari warna biru sampai warna merah. Gelombang menjalar dengan kecepatan grup. Pada bagian ini akan dibahas mengenai kecepatan grup hasil superposisi dua buah gelombang yang berbeda sedikit frekuensi dan bilangan gelombang k−nya dengan amplitudo sama yaitu y1 = a cos(ω1 t − k1 x) dan y2 = a cos(ω2 t − k2 x) Teaching Grant

(4.46) QUE–Project

Bab4. Gelombang Transversal

42

hasil superposisi y = y1 + y2 adalah y = y1 + y2 = 2a cos

ω + ω ω − ω k1 − k2  k1 + k2  1 2 1 2 t− x cos t− x 2 2 2 2

gelombang superposisi ini berupa gelombang dengan amplitudo 2a frekuensi

(4.47)

ω1 +ω2 2

≈ ω1 ≈

ω2 dan termodulasi dalam ruang dan waktu dengan “envelope” yang amat lambat dengan frekuensi ω1 −ω2 k1 −k2

k1 −k2 2 .

Sistem ini seperti osilator terkopel dengan kecepatan c =

ω1 k1

=

ω2 k2

atau

= c.

Gambar 4.9: Superposisi dari dua buah gelombang yang mempunyai beda frekuensi ω1 dan ω2 yang kecil

Kecepatan grup, komponen-komponen frekuensi menjalar dengan kecepatan sama dengan c dan profile dari kedua kombinasi tetap konstan selama penjalarannya. Amplitudo maksimum 2a terjadi dua kali setiap perioda, frekuensi yang termodulasi (ν 1 − ν2 ) intensitas maksimum bila maplitudo 2a. “Beat” atau pelayangan dengan frekuensi (ν 1 − ν2 ) menyatakan berapa kali fluktuasi intensitas maksimum terjadi. Kalau gelombang grup adalah gelombang bunyi, maka pada amplitudo kecil (amplitudo bervariasi 0 → 2a), suara lemah dan bila gelombang yang termodulasi amplitudo, gelombang y = A cos(ωt − kt), A=amplitudo termodulasi berbentuk A = a + b cos ω ′ t yaitu y = a cos(ωt − kx) +

i bh cos((ω + ω ′ )t − kx) + cos((ω − ω ′ )t − kx) 2

(4.48)

frekuensi ω ± ω ′ adalah frekuensi sideband atau tones. Amplitudo modulasi terjadi pada transmisi radio dengan sideband terdengar pada dua frekuensi yang berdekatan yaitu ω ± ω ′ . Kemudian bila kedua gelombang yang bersuperposisi berbeda kecepatan fasenya

ω1 k1

6=

ω2 k2 ,

kecepatan grup yaitu kecepatan gelombang atau kecepatan pada puncak maksimum bergerak vg =

ω1 −ω2 k1 −k2

=

∆ω ∆k

dan vg berbeda dengan kecepatan masing-masing yaitu

ω1 k1

dan

ω2 k2 ,

profilenya

berubah-ubah terhadap waktu. Medium yang kecepatan fasenya tergantung frekuensi (atau Teaching Grant

QUE–Project

43 nilai

Gelombang grup dan teorema lebar band ω k

tidak tetap) disebut medium dispersif. Hubungan antara ω dan k disebut hubungan

dispersif. Bila grup berbentuk banyak komponen dengan frekuensi berdekatan ∆ω ∆k =

dω dk

dan

kecepatan grup vg =

d(kv) dv dv dω = =v+k =v−λ ; dk dk dk dλ

k=

2π λ

(4.49)

Sekali ...