Bab 5 Pers Parametrik PDF

Preview

Summary

BAB 5. KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK 5.4 Persamaan Parametrik dan Panjang busur dalam persamaan parametrik Persamaan parametrik adalah persamaan yang menyatakan hubungan variabel x dan y yang dituliskan dengan 𝑥 = 𝑓(𝑡) { 𝑦 = 𝑔(𝑡) dengan a ≤ t ≤ b. Perhatikan dua persamaan berikut x = 2t; ...

Description

BAB 5. KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK 5.4 Persamaan Parametrik dan Panjang busur dalam persamaan parametrik Persamaan parametrik adalah persamaan yang menyatakan hubungan variabel x dan y yang dituliskan dengan

dengan a ≤ t ≤ b.

{

𝑥 = 𝑓(𝑡) 𝑦 = 𝑔(𝑡)

Perhatikan dua persamaan berikut x = 2t; y = t−4 Persamaan di atas dinamakan persamaan parametrik dari x dan y dengan parameter t. Jika nilai t disubtitusikan, maka nilai ini akan menentukan nilai x dan y yang merupakan koordinat dari kedudukan titik titik P(x, y). Untuk merubah persamaan parametrik ke bentuk fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan mengeliminasi 𝑥 parameter. Pada persamaan parameter di atas, jika kita subtitusikan nilai 𝑡 = ke persamaan 2 kedua akan diperoleh 𝑥 𝑥−8 𝑦 = −4→𝑦 = 2 2

yang merupakan persamaan derajat satu atau persamaan garis. Sedangkan mengubah suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) ke persamaan parametrik dengan mengambil peubah x = f(t). Contoh Diberikan persamaan parabola tentukan persamaan parametriknya: 𝑦 = 𝑥2 − 4

Jawab Untuk mengubah kedalam persamaan parametrik, misal 𝑥 = 𝑡 maka 𝑦 = 𝑡 2 − 4 Persamaan parametrik: 𝑥=𝑡 {𝑦 = 𝑡 2 − 4

Selain itu kita dapat mengambil 𝑥 = 2𝑡 − 1 maka 𝑦 = (2𝑡 − 1)2 − 4 → 𝑦 = 4𝑡 2 − 4𝑡 − 5 {

𝑥 = 2𝑡 − 1 𝑦 = 4𝑡 2 − 4𝑡 − 5

Dengan demikian fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dapat diubah ke bentuk persamaan parametrik lebih dari satu bentuk.

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

1

Selanjutnya, akan dicari panjang busur dari persamaan parametrik, misalkan diberikan dua titik yaitu: Δx = xi – xi – 1 dan Δy = yi – yi – 1, panjang ruas dari suatu grafik dinyatakan sebagai berikut. 𝑆𝑖 = √(∆𝑥𝑖 )2 + (∆𝑦𝑖 )2

Bagi dengan ∆𝑡 didapat:

(∆𝑥𝑖 )2 (∆𝑦𝑖 )2 𝑆𝑖 ∆𝑥𝑖 2 ∆𝑦𝑖 2 𝑆𝑖 √(∆𝑥𝑖 )2 + (∆𝑦𝑖 )2 √ = ↔ =√ + ↔ 𝑆 = ( ) + ( ) ∆𝑡 𝑖 (∆𝑡)2 (∆𝑡)2 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡

Panjang busur kurva y = f(x) merupakan jumlahan penggal garis S, hasil tersebut akan semakin baik apabila ||Δ|| → 0 atau n → ∞. Sehingga, panjang ruas dari grafik dalam persamaab parametrik tersebut adalah 𝑛

∆𝑥𝑖 2 ∆𝑦𝑖 2 √ 𝑆 = lim ∑ ( ) + ( ) ∆𝑡 𝑛→∞ ∆𝑡 ∆𝑡 𝑖=1

Bentuk ini merupakan jumlah Rieman untuk penggal garis sehingga dinyatakan dalam bentuk integral adalah 𝑡2

𝑆 = ∫ √( 𝑡1

𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 2 ) + ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Contoh 1. Tentukan panjang kurva 𝑥 = 2 cos 3 𝑡 ; 𝑦 = 2 sin 3 𝑡 diantara titik-titik yang bersesuaian 𝜋 dengan 𝑡 = 0; 𝑡 =

Jawab

2

𝑑𝑥 = 6 cos2 𝑡 (− sin 𝑡) = −6 cos 2 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 6 sin2 𝑡 cos 𝑡 𝑦 = 2 sin3 𝑡 → 𝑑𝑡

𝑥 = 2 cos 3 𝑡 →

√(

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 ) + ( ) = √(−6 cos 2 𝑡 sin 𝑡)2 + (6 sin2 𝑡 cos 𝑡)2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = √36 cos4 𝑡 sin2 𝑡 + 36 sin4 𝑡 cos 2 𝑡 = √36 cos2 𝑡 sin2 𝑡 (cos2 𝑡 + sin2 𝑡) 𝜋/2

= 6 cos 𝑡 sin 𝑡 𝜋/2

𝜋/2 1 𝑆 = ∫ 6 sin 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 6 ∫ sin 𝑡 𝑑(sin 𝑡) 𝑑𝑡 = 6 ( sin 𝑡) | =3 2 0 0 0 KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

2

Cycloid Roda (ban) menggelinding pada lantai, lintasan roda diperlihatkan pada gambar dibawah ini

Garis merah merupakan lintasan yang diperoleh dari suatu titik (pentil jika dalam kasus roda ban berputar) pada keliling lingkaran yang menggelinding, lintasan ini disebut cycloid. Bagaimana mendapatkan persamaan dari cycloid tersebut? Pertama adalah dengan memilih garis sebagai sumbu-x dan titik asal sebagai titik sentuh lintasan dengan sumbu x.

Pada gambar di atas, jari-jari lingkaran yang menggelinding dalah a dan titik P(x,y) sebagai titik penelusur. Pada posisi di atas, CP membentuk sudut θ dengan garis vertikal. Jika lingkaran mengge-linding maka diperoleh panjang OB dan PB. Jadi

Perhatikan segitiga △PDC

OB = arcPB = aθ

x = OA = OB − PD = aθ − asinθ y = AP = BC − DC = a − acosθ

Oleh karena itu, persamaan parametrik dari cycloid adalah x = a(θ – sin θ) y = a(1 – cos θ)

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

3

Panjang busur satu cycloid 𝑑𝑥 𝑥 = (𝑎𝜃 − 𝑎 sin 𝜃) → = (𝑎 − 𝑎 cos 𝜃); 𝑑𝜃 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝜃) → = 𝑎 sin 𝜃 ; 𝑑𝜃 √(

𝑑𝑥 2 ( ) = (𝑎 − 𝑎 cos 𝜃)2 𝑑𝜃 𝑑𝑦 2 ( ) = 𝑎2 sin2 𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 2 ) + ( ) = √𝑎2 − 2𝑎2 cos 𝜃 + 𝑎2 cos 2 𝜃 + 𝑎2 sin2 𝜃 = √2𝑎2 − 2𝑎2 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝜃

𝜃

= √2𝑎2 (1 − cos 𝜃) = 𝑎√2 √1 − (cos2 − sin2 ) 2

= 𝑎√2 √1 − cos 2

2𝜋

= 𝑎√2 √2 sin2

𝑆 = ∫ 2𝑎 sin 0

2

𝜃 𝜃 𝜃 𝜃 + sin2 = 𝑎√2 √sin2 + sin2 2 2 2 2

𝜃 𝜃 𝜃 = 𝑎√2 (√2) sin = 2𝑎 sin 2 2 2

𝜃 𝜃 2𝜋 𝑑𝜃 = 2𝑎 (−2 cos ) | = −4𝑎(−1 − 1) = 8𝑎 2 2 0

5.5 Garis Singgung dan Panjang Busur dalam Koordinat Kutub  Garis Singgung pada Persamaan Parametrik Pada koordinat kutub kita telah mengetahui bahwa: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

Sedangkan: 𝑟 = 𝑓(𝜃)

Jadi persamaan parametrik dapat ditulis: 𝑥 = 𝑓(𝜃) cos 𝜃 ;

𝑦 = 𝑓(𝜃) sin 𝜃

𝑑𝑟 𝑑𝑥 = −𝑓(𝜃) sin 𝜃 + 𝑓 ′ (𝜃) cos 𝜃 = −𝑟 sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑟 𝑑𝑦 = 𝑓(𝜃) cos 𝜃 + 𝑓 ′ (𝜃) sin 𝜃 = 𝑟 cos 𝜃 + sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃

Berdasarkan aturan rantai:

𝑑𝑟 𝑟 cos 𝜃 + sin 𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝜃 𝑑𝑦⁄𝑑𝜃 𝑑𝜃 = = = 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝑥⁄𝑑𝜃 −𝑟 sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃 KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

4

Contoh 2. Tentukan arah garis singgung dari lingkaran 𝑟 = 4 cos 𝜃 di titik 𝜃 = 𝜋⁄4

Jawab

𝑟 = 4 cos 𝜃 →

𝑑𝑟 = −4 sin 𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑟 2 2 𝑟 cos 𝜃 + sin 𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝜃 = 4 cos 𝜃 cos 𝜃 + sin 𝜃 (−4 sin 𝜃) = 4(cos 𝜃 − sin 𝜃) = 𝑑𝑟 −4 sin 𝜃 cos 𝜃 + cos 𝜃 (−4 sin 𝜃) 𝑑𝑥 −8 sin 𝜃 cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃 =

cos 2𝜃 0 | = =0 −2 sin 2𝜃 𝜃=𝜋/4 −2

Arah garis singgungm m = 0 artinya sejajar sumbu horisontal

Contoh Tentukan arah garis singgung dari Kardioida 𝑟 = 1 − cos 𝜃 ; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 dengan arah horisontal, vertikal dan titik singular Jawab

𝑟 = 1 − cos 𝜃 →

𝑑𝑟 = sin 𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑟 𝑟 cos 𝜃 + sin 𝜃 (1 − cos 𝜃) cos 𝜃 + sin 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑦 𝑑𝜃 = = 𝑑𝑟 −(1 − cos 𝜃) sin 𝜃 + cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑥 −𝑟 sin 𝜃 + cos 𝜃 𝑑𝜃

Arah garis singgung horisontal:

𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝜋 4𝜋 = 0 dan ≠ 0 ; (1 − cos 𝜃) cos 𝜃 + sin 𝜃 sin 𝜃 = 0 ; 𝜃 = ; 𝑑𝜃 𝑑𝜃 3 3 Arah garis singgung Vertikal: 𝑑𝑥 𝜋 5𝜋 𝑑𝑦 ≠ 0 dan = 0 ; −(1 − cos 𝜃) sin 𝜃 + cos 𝜃 sin 𝜃 = 0 ; 𝜃 = ; 𝜋 ; 𝑑𝜃 3 3 𝑑𝜃

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

5

Titik Singular titik yang tidak ada arah garis singgung pada kardioida titik pangkal yang lancip 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0 dan = 0 ; 𝜃 = 0 ; 2𝜋 𝑑𝜃 𝑑𝜃

 Panjang Kurva Persamaan Kutub Panjang busur kurva dalam persamaan parametrik 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

dinyatakan dengan: 𝜃2

𝑆 = ∫ √(

Perhatikan: (

𝜃1

𝑑𝑦 2 𝑑𝑥 2 ) + ( ) 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2 𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 2 ) + ( ) = (−𝑟 sin 𝜃 + cos 𝜃 ) + (𝑟 cos 𝜃 + sin 𝜃 ) 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 2 + cos 𝜃 ( ) = 𝑟 sin 𝜃 − 2𝑟 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 2

2

𝑑𝑟 𝑑𝑟 2 2 + 𝑟 cos 𝜃 − 2𝑟 sin 𝜃 cos 𝜃 + cos 𝜃 ( ) 𝑑𝜃 𝑑𝜃 2

2

= 𝑟 2 (sin2 𝜃 + cos 2 𝜃) + (cos2 𝜃 + sin2 𝜃) (

𝑑𝑟 2 = 𝑟2 + ( ) 𝑑𝜃

Sehingga: 𝜃2

𝑆 = ∫ √𝑟 2 + ( 𝜃1

𝑑𝑟 2 ) 𝑑𝜃

𝑑𝑟 2 ) 𝑑𝜃 𝑑𝜃

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

6

Contoh 3. Tentukan panjang busur dari spirak: 𝑟 = 𝑒 𝜃 ; 𝜃 = 0 ; 𝜃 = 𝜋 Jawab

𝑑𝑟 𝑑𝑟 2 = 𝑒 𝜃 ; √𝑟 2 + ( ) = √(𝑒 𝜃 )2 + (𝑒 𝜃 )2 = √2(𝑒 𝜃 )2 = √2 𝑒 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝜋 𝜋 𝑆 = ∫ √2 𝑒 𝜃 𝑑𝜃 = √2𝑒 𝜃 | = √2(𝑒 𝜋 − 1) 0 0

𝑟 = 𝑒𝜃 →

Contoh 4. Tentukan panjang busur dari seluruh busur Lingkaran: 𝑟 = 2 cos 𝜃 Jawab

Keliling satu lingkaran, batas integral: 𝜃 = 0 ; 𝜃 = 𝜋

𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 2 √ = −2 sin 𝜃 ; 𝑟 + ( ) = √4 cos 2 𝜃 + 4 sin2 𝜃 = 2 𝑟 = 2 cos 𝜃 → 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝜋

𝑆 = ∫ 2 𝑑𝜃 = 2𝜃 | 0

𝜋 0

= 2𝜋

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

7

Contoh 5, Tentukan panjang busur dari seluruh busur Kardioida: 𝑟 = 3 + 3 cos 𝜃 Jawab

𝑟 = 3 + 3 cos 𝜃 →

𝑑𝑟 = −3 sin 𝜃 𝑑𝜃

Batas integral: 𝜃 = 0 ; 𝜃 = 2𝜋 , Karena simetri terhadap sumbu x maka panjang busur dikalikan 2 batas integral: 𝜃 = 0 ; 𝜃 = 𝜋 𝜋

𝑆 = 2 ∫ √(3 + 3 cos 𝜃)2 + (−3 sin 𝜃)2 𝑑𝜃 0

𝜋

𝜋

= 2 ∫ √9 + 18 cos 𝜃 + 9 cos2 𝜃 + 9 sin2 𝜃 𝑑𝜃 = 2 ∫ √18 + 18 cos 𝜃 𝑑𝜃 0

𝜋

𝜋

0

𝜋

𝜃 𝜃 = 2 ∫ √18(1 + cos 𝜃) 𝑑𝜃 = 2√18 ∫ √2 cos 2 𝑑𝜃 = 6√2 ∫ √2 cos 𝑑𝜃 2 2 0

0

1 𝜃 𝜋 = 6√2 (√2) [ sin ] = 24(1 − 0) = 24 2 2 0

KOORDINAT KUTUB DAN PERSAMAAN PARAMETRIK

0

8...