Bab 5 INTERPOLASI PDF

Preview

Summary

52 V. INTERPOLASI Metode interpolasi yang paling banyak digunakan adalah interpolasi polynomial. Persamaan polynomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variable x berpangkat bilangan bulat (interger). Bentuk umum persamaan polynomial order n adalah : f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...

Description

52

V. INTERPOLASI

Metode polynomial.

interpolasi Persamaan

yang

paling

polynomial

banyak

adalah

digunakan

persamaan

adalah

aljabar

interpolasi

yang

hanya

mengandung jumlah dari variable x berpangkat bilangan bulat (interger). Bentuk umum persamaan polynomial order n adalah : f(x) = a0 + a1x + a2x2 +…… + anxn

5.1.

Untuk n + 1 titik data, hanya terdapat satu polynomial order n atau kurang yang melalui semua titik. Miasalnya hanya satu garis lurus (polynomial order 1) yang menghubungkan dua titik (gb 5.1.a). Demikian juga tiga buah titik dpt dihubungkan oleh parabola ( polynomial order 2), sedang untuk empat titik dpt dilalui kurva polynomial order tiga, seperti terlihat dlm gb. 5.1.b dan c. Sebelum mempelajari bentuk umum interpolasi polynomial, terlebih dahulu akan dijelaskan metode tersebut untuk order satu dan dua yang dpt memberikan penjelasan lbh sederhanan. Pada polynomial berderajat satu, maka memperoleh bentuk interpolasi linier yang sudah banyak kenal. Selanjutnya akan dipelajari inetrpolasi linier polynomial dengan derajat lebih besar dari satu, sehingga perkiraan fungsi tidak lagi linier.

y

y

x a. Order 1 menghub 2 titik



y

x



x

b. Order 2 menghub 3 titik c. Order 3 menghub 4 titik

Gambar 5.1. Interpolasi polinomial

53 5.2. Interpolasi Linier / Polinomial order 1 Bentuk paling sederhana dari inetrpolasi adalah menghubungakan dua buah titik data dengan garis lurus. Metode ini disebut metode interpolasi linier yg dpt dijelaskan dengan menggunakan gb. 5.2 Diketahui nilai suatu fungsi di titik x0 dan x1, yaitu f(x0) dan f(x1). Dengan metode inetrpolasi linier akan dicari nilai fungsi di titik x, yaitu f1(x). Indeks 1 pada f1(x) menunjukkan bahwa interpolasi dilakukan dgn interpolasi polynomial order 1.

f(x) E

f(x1) C

f1(x) f(x0)

A

x0

B

x

D

x1

x

Gambar 5.2. Interpolasi linier

Dari dua segitiga sebangun ABC dan ADE seperti tampak dlm gambar 5.2, terdapat hubungan berikut : BC DE  AB AD

f1 ( x)  f ( x0 ) f ( x1 )  f ( x0 )  x  x0 x1  x0

f1 ( x)  f ( x0 ) 

f ( x1 )  f ( x0 ) ( x  x0 ) x1  x0

5.2

54 Persamaan 5.2 adalah rumus interpolasi linier, yang merupakan bentuk inetrpolasi polynomial

order

satu.

Suku

f ( x1 )  f ( x0 ) x1  x0

adalah

kemiringan

garis

yang

menghubungkan dua titik data dan merupakan perkiraan beda hingga dari turunan pertama. Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan akan semakin baik. Contoh 1. Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 =1,7917595. Hitung juga nilai tsb berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718. Penyelesaian . Dengan menggunakan persm. 5.2. inetrpolasi linier dari x0 = 1 sampai x1 = 6

f1 ( x)  f ( x0 )  f1 (2)  0 

f ( x1 )  f ( x0 ) ( x  x0 ) x1  x0

1,7917595  0 (2  1)  0,35835190 6 1

Besar kesalahan interpolasi adalah

Et 

0,69314718  0,35835190 x100%  48,3% 0,69314718

Dengan interval lebih kecil, x0 = 1 dan x1 = 4 f1 (2)  0 

1,3862944  0 (2  1)  0,46209813 4 1

Besar kesalahan inetpolasi adalah

Et 

0,69314718  0,46209813 x100%  33,3% 0,69314718

Dari contoh tersebut terlihat bahwa dengan menggunakan interval yang lebih kecil diperoleh hasil yang lebih baik (kesalahan lebih kecil)

55 - f(x) nilai benar

-

ln x

1f1(x)

nilai perkiraan

-

0

1

2

3

4

5

6

7

x

5.3. Interpolasi kuadrat / Polinomial order 2 Kesalahan yang terjadi dlm contoh 1 adalah karena kurva darifungsi didekati oleh garis lurus. Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi maka perkiraan dilakukan dengan menggunakan garis lengkung yang menghubungngkan titik-titik data. Apabila terdapat tiga titik data, maka perkiraan dpt dilakukan dengan polynomial order dua, persamaannya adalah : f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0) (x-x1)

5.3

Meskipun tampaknya pers 5.3 berbeda dengan persamaan 5.1, tetapi sebenarnya kedua persamaan adalah sama. Hal ini dpt ditunjukkan dengan mengalikan suku-suku dari persamaan 5.3 sehingga menjadi : f2(x) = b0 + b1x - b1x0 + b2x2 + b2x0x1- b2xx0 – b2xx1 atau f2(x) = a0 + a1x + a2x2 dengan a0 = b0 - b1x0 + b2x0x1 a1 = b1 – b2x0 – b2x1 a2 = b2

56 terlihat bahwa persamaan 5.3 sama dengan persamaan 5.1 Selanjutnya, untuk keperluan interpolasi, persamaan polynomial ditulis dlm bentuk persamaan 5.3.Berdasarkan titik data yang ada lemudian dihitung koefisien b0, b1, dan b2. Berikut ini diberikan prosedur untuk menentukan nilai dari koefisienkoefisien tersebut : Koefisien b0 dpt dihitung dari persamaan 5.3 dengan memasukkan nilai x = x0, f(x0) = b0 + b1(x0-x0) + b2(x0-x0) (x0-x1) b0 = f(x0)

5.4

Apabila persamaan 5.4 disubtitusikan ke dlm persamaan 5.3, dan kemudian dimasukkan nilai x = x1, maka akan diperoleh koefisien b1, f(x1) = f(x0) + b1(x1-x0) + b2(x1-x0) (x1-x1) b1 =

f(x 1 )  f(x 0 ) x1  x 0

5.5

Apabila persamaan 5.4 dan 5.5 disubtitusikan ke dlm persamaan 5.3 dan untuk x = x2 maka akan diperoleh koefisien b2. f(x2) = f(x0) +

f(x 1 )  f(x 0 ) (x2-x0) + b2(x2-x0) (x2-x1) x1  x 0

b2(x2-x0) (x2-x1) = f(x2) – f(x0) = f(x2) – f(x0) = f(x2) – f(x1) atau

f(x 1 )  f(x 0 ) (x2-x1) – f(x1) + f(x0) x1  x 0 f(x 1 )  f(x 0 ) (x2-x1) x1  x 0

f(x 1 )  f(x 0 ) (x 2  x 1 ) (x 2  x 0 )(x 2  x 1 ) (x 2  x 0 )(x 2  x 1 )

f(x 2 )  f(x 1 )  b2 =

f(x 1 )  f(x 0 ) [(x2-x1) + (x1-x0)] x1  x 0

57

f(x 2 ) - f(x 1 ) f(x 1 )  f(x 0 )  x 2 - x1 (x 1  x 0 ) b2 = (x 2  x 0 )

5.6

Dengan memperhatikan persamaan 5.3, 5.4, 5.5, da, 5.6 terlihat bahwa dua suku pertama dari persamaan 5.3 adalah ekivalen dengan interpolasi linier dari titik x0 ke x1 seperti diberikan oleh persamaan 5.2. sedang suku terakhir b2(x-x0)(x-x1) merupakan tambahan kurva order 2. Koefisien b1 dan b2 dari inetrpolasi polynomial order 2 ( persamaan 5.5 dan 5.6) adalah mirip dengan bentuk beda hingga untuk turunan pertama dan kedua seperti terlihat dlm persamaan 1.18 dan 1.19. Dengan demikian penyelesaian interpolasi polynomial dpt dilakukan dengan menggunakan bentuk beda hingga. Contoh 2. Gunakan polynomial order 2 dengan data seperti dlm cth 1, untuk mencari ln 2 x0 = 1,

f(x0) = 0

x1 = 4,

f(x1) = 1,3862944

x2 = 6,

f(x2) = 1,7917595

Penyelesaian. Interpolasi polynomial dihitung dengan menggunakan persamaan 5.3, dan koefisien b0. b1, dan b2 dihitung dengan persamaan 4.4, 4.5, dan 4.6. Dengan menggunakan persamaan 5.4 diperoleh nilai b0 : b0 = 0 koefisien b1 dpt dihitung dengan menggunakan persamaan 5.5 : b1 =

b1 =

f(x 1 )  f(x 0 ) x1  x 0

1,3862944  0  0,46209813 4 1

58 persamaan 5.6 digunakan untuk menghitung koefisien b2 :

f(x 2 ) - f(x 1 ) f(x 1 )  f(x 0 )  x 2 - x1 (x 1  x 0 ) b2 = (x 2  x 0 )

1,7917595 - 1,3862944  0,46209813 6 4 = - 0,051873116 b2 = 6 1 nilai-nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan 5.3 : f2(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0) (x-x1) f2(x) = 0 + 0,46209813(x-1) – 0,051873116(x-1) (x-4) untuk x = 2, maka diperoleh nilai fungsi inetrpolasi : f2(2) = 0,56584436 besar kesalahan adalah :

Et 

0,69314718  0,56584436 x100%  18,4% 0,69314718

f(x) nilai benar 1-

f(x)=ln x

f2(x)= nilai perkiraan order dua

0

1

2

3

4

5

6

7

x

Gambar 5.4. Interpolasi polynomial order 2

59 5.4. Bentuk umum Interpolasi polynomial Prosedur

seperti

dijelaskan

terdahulu

digunakan

untuk

membentuk

polynomial order n dari n + 1 titik data. Bentuk umum polynomial order n adalah : fn(x) = b0 + b1(x-x0) + …………+ bn(x-x0) (x-x1) ……….(x – xn-1)

5.7

seperti yang dilakukan dengan inetrpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data dpt digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0, b1, ……., bn. Untuk polynomial order n, diperlukan n+1 titik data x0, x1, x2, ……..,xn. Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien. b0 = f(x0)

5.8

b1 = f(x1, x0)

5.9

b2 = f(x2, x1, x0)

5.10

. . bn = f(xn, xn-1, …………..x1, x0)

5.11

dengan definisi fungsi berkurung ([……]) adalah pembagian beda hingga, Misalnya pembagian beda hingga pertama adalah : f(x i , x j ) 

f(x i )  f(x j ) xi  x j

5.12

pembagian beda hingga kedua adalah :

f(x i , x j , x k ) 

f(x i , x j )  f(x j , x k ) xi  xk

5.13

pembagian beda hingga ke n adalah :

f(x n , x n -1 ,....., x 1 , x 0 ) 

f(x n , x n -1 ,......, x 1 )  f(x n -1 , x n -2 ,......, x 0 ) xn  x0

5.14

60 bentuk pembagian beda hingga tersebut dpt digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien

dalam

persamaan

5.8

sampai

5.11,

yaitu

kemudian

disubstitusikan kedalam persamaan 5.7 untuk mendapatkan inetrpolasi polynomial. fn(x) = f(x0) + f(x1,x0)(x-x0) + f(x2,x1,x0)(x-x0) (x-x1) + …… + f(xn,xn-1,…x1,x0)(x-x0) (x-x1)…(x – xn-1)

5.15

persamaan 5.12 sampai 5.14 adalah berurutan, artinya pembagian beda hingga yang lebih tinggi terdiri dari pembagian beda hingga yang lebih rendah, seperti dalam tabel 5.1 Tabel 5.1 bentuk grafis dari pembagian beda hingga i

xi

f(xi)

Pertama

Kedua

Ketiga

0

x0

f(x0)

f(x1,x0)

f(x2,x1,x0)

f(x3,x2,x1,x0)

1

x1

f(x1)

f(x2,x1)

f(x3,x2,x1)

2

x2

f(x2)

f(x3,x2)

3

x3

f(x3)

Contoh 3. Dalam contoh 2, titik data x0 = 1, x1 = 4 dan x2 = 6 digunakan untuk mengestimasi ln 2 dengan parabola, sekarang dengan menambah titik ke empat x3 = 5, f(x3) = 1,6094379, hitung ln 2 dengan interpolas polynomial order tiga. Penyelesaian : Data yang diketahui : x0 = 1,

f(x0) = 0

x1 = 4,

f(x1) = 1,3862944

x2 = 6,

f(x2) = 1,7917595

x3 = 5,

f(x3) = 1,6094379

61 persamaan polynomial order tiga diperoleh dengan memasukkan nilai n = 3 ke dalam persamaan 5.7 : f3(x) = b0 + b1(x-x0) + b2(x-x0) (x-x1) + b3(x-x0) (x-x1)(x – x2) pembagian beda hingga pertama dihitung dengan persamaan 5.12 : f(x1 , x 0 )  f(x 2 , x 1 )  f(x 3 , x 2 ) 

1,3862944  0  0,46209813 4 1

1,7917595  1,3862944  0,20273255 64 1,6094379  1,7917595  0,18232160 56

pembagian beda hingga kedua dihitung dengan persamaan 5.13 : f(x 2 , x 1 , x 0 )  f(x 3 , x 2 , x 1 ) 

0,20273255  0,46209813  0,051873116 6 1

0,18232160  0,20273255  0,020410950 54

pembagian beda hingga ketiga dihitung dengan persamaan 5.14 : f(x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ) 

 0,020410950  (0,051873116)  0,0078655415 5 1

hasil dari f(x1,x0), f(x2,x1,x0) dan f(x3,x2,x1,x0) merupakan koefisien b1, b2, dan b3 dari persamaan 5.7 dan dengan b0 = f(x0) = 0, maka persamaan 5.7 menjadi : f3(x) = 0 + 0,46209813 (x-1) - 0, 051873116 (x-1)(x-4) + 0,0078655415 (x-1)(x4)(x-6) yang akhirnya didapat : f3(2) = 0,62876869 besarnya kesalahan dengan menggunakan interpolasi polynomial order 3 adalah

Et 

0,69314718  0,62876869 x100%  9,3% 0,69314718

62 5.5. Interpolasi Polynomial Lagrange. Interpolasi polynomial Lagrangeadalah hampir sama dengan polynomial Newton, tetapi tidak menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Inetrpolasi polynomial lagrange dapat diturunkan dari persamaan Newton, bentuk polynomial lagrange order satu : f1(x) = f(x0) + (x-x0)f(x1,x0)

5.16

pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk :

f(x 1 , x 0 ) 

f(x 1 )  f(x 0 ) x1  x 0

f(x 1 , x 0 ) 

f(x 0 ) f(x 1 )  x1  x 0 x 0  x1

atau 5.17

substitusikan persamaan 5.17 ke dalam persamaan 5.16 memberikan :

f1 (x)  f(x 0 ) 

x - x0 x - x0 f(x 0 ) f(x1 )  x 0  x1 x1  x 0

dengan menelompokkan suku-suku diruas kanan maka persamaan diatas menjadi :

f1 (x)  [

x - x0 x 0  x1 x - x0 f(x1 ) ] f(x 0 )   x1  x 0 x 0  x1 x 0  x1

f1 (x)  [

x - x0 x - x1 ] f(x 0 )  f(x1 ) x 0  x1 x1  x 0

atau 5.18

persamaan 5.18 dikenal dengan interpolasi polynomial Lagrange order satu dengan prosedur diatas, untuk inetrpolasi order dua akan didapat : f 2 (x)  [

x - x0 x - x2 x - x 0 x  x1 x  x1 x - x 2 ] f(x 0 )  f(x 1 )  f(x 2 ) x 0  x1 x 0  x 2 x1  x 0 x1 - x 2 x 2 - x 0 x 2  x1

5.19

secara umum bentuk ineterpoalsi polynomial lagrange order n adalah :

63

 Li (x)f(xi) n

fn(x) = dengan

x n

Li =

i 0

x xj

j 0 j i

i

xj

5.20

5.21

Dimana symbol  merupakan perkalian Dengan menggunakan persamaan 5.20 dan 5.21 dapat dihitung inetrpolasi Lagrange order yang lebih tinggi, missal untuk interpolasi Langrange order 3, persamaan tersebut adalah :

 Li (x)f(xi) 3

f3(x) =

i 0

= L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1) + L2(x)f(x2) + L3(x)f(x3) L0(x) =

L1(x) =

L2(x) =

L3(x) =

x  x1 x  x2 x  x3 x0  x1 x0  x2 x0  x3

x  x0 x  x2 x  x3 x1  x0 x1  x2 x1  x3

x  x0 x  x1 x  x3 x2  x0 x2  x1 x2  x3 x  x0 x  x1 x  x2 x3  x0 x3  x1 x3  x2

Sehingga bentuk interpolasi polynomial Lagrange order 3 adalah : f3(x)=

x  x0 x  x2 x  x3 x  x0 x  x1 x  x3 x  x1 x  x2 x  x3 f(x0)+ f(x1)+ f(x2) x1  x0 x1  x2 x1  x3 x0  x1 x0  x2 x0  x3 x2  x0 x2  x1 x2  x3

+

x  x0 x  x1 x  x2 f(x3) x3  x0 x3  x1 x3  x2

contoh 4. Gunakan interpolasi polynomial Langrange order satu dan dua untuk menghitung ln 2 dengan menggunkan data pada contoh 3.

64 Penyelesaian x0 = 1,

f(x0) = 0

x1 = 4,

f(x1) = 1,3862944

x2 = 6,

f(x2) = 1,7917595

penyelesaian order satu menggunakan persamaan 5.18 :

f1 (x)  [

x - x0 x - x1 f(x1 ) ] f(x 0 )  x1  x 0 x 0  x1

untuk x = 2 dan dengan data yang diketahui maka : 2 -1 2-4 1,3862944  0,4620981 ]0  f1 (2)  [ 4 1 1 4

untuk interpolasi Lagrange order dua digunakan persamaan 5.19 f 2 (x)  [ f 2 (2)  [

x - x0 x - x2 x - x 0 x  x1 x  x1 x - x 2 ] f(x 0 )  f(x 1 )  f(x 2 ) x 0  x1 x 0  x 2 x1  x 0 x1 - x 2 x 2 - x 0 x 2  x1

2 -1 2  4 2 -1 2 -1 24 2-6 1,7917595  0,56584437 1,3862944  ]0  6 -1 6  4 4 1 4 -1 1 4 1 6

terlihat bahwa kedua hasil diatas memberikan hasil yang hampir sama dengan contoh sebelumnaya.

65...