BAB I TEOREMA-TEOREMA LIMIT BARISAN PDF

Preview

Summary

BAB  I  TEOREMA‐TEOREMA LIMIT BARISAN    Definisi  :  Barisan  bilangan  real  X  =  (xn)  dikatakan  terbatas  jika  ada  bilangan  real  M  >  0  sedemikian  sehingga |xn| ≤ M untuk semua n ∈ N.  Catatan : X = (xn) terbatas jika dan hanya jika himpunan dari suku‐suku barisan tersebut,        ya...

Description

BAB  I  TEOREMA‐TEOREMA LIMIT BARISAN    Definisi  :  Barisan  bilangan  real  X  =  (xn)  dikatakan  terbatas  jika  ada  bilangan  real  M  >  0  sedemikian  sehingga |xn| ≤ M untuk semua n ∈ N.  Catatan : X = (xn) terbatas jika dan hanya jika himpunan dari suku‐suku barisan tersebut,    

   yaitu {xn | n ∈ N} terbatas di R 

  Teorema 1.1 :  Barisan bilangan real yang konvergen adalah barisan terbatas.    Bukti :   X = (xn) merupakan barisan konvergen artinya …  Jika diambil ε = 1, maka akan diperoleh K(1) ∈ N ∋ ∀ n ≥ K(1) maka …  Oleh karena itu, untuk n ≥ K diperoleh |xn|  0, ∃ K(ε) ∈ N ∋ ∀ n ≥ K(ε) → |(X + Y) – (x + y)|  0, ∃ K1∈ N ∋ ∀ n ≥ K1→ |X– x| < , dan Y = (yn) konvergen ke y : ∀ ε > 0, ∃ K2∈ N ∋ ∀ n ≥ K2→ |Y– y| < (mengapa?) Oleh karena itu, jika kita ambil K(ε) = sup {K1, K2} (?), maka akan diperoleh : |(X + Y) – (x + y)| ≤ |X ‐ x| + |Y ‐ y|  0, ∃ K(ε) ∈ N ∋ ∀ n ≥ K(ε) → | xnyn – xy| < ε | xnyn – xy|= | xnyn – xny + xny - xy| =… ≤… , dan harus ditunjukkan bahwa |XY –xy| < ε. Barisan X konvergen, berarti X terbatas, sehingga ∃ M ∈ R, M > 0, ∋|xn| ≤ M, ∀ n ∈ N Sehingga, |xnyn – xy| ≤ M |yn - y| + |y||xn - x|, perhatikan bahwa M dan |y| merupakan bilangan-bilangan real yang berbeda, sehingga dengan mengambil M1∈R, dan M1 = sup{M,|y|}akan diperoleh |xnyn – xy| ≤ … , yang nilainya harus lebih kecil dari ε. Kembali kita perhatikan X = (xn) dan Y = (yn) adalah barisan-barisan yang konvergen ke x dan y, sehingga dengan menggunakan definisi barisan konvergen dan mengambil K(ε) = …, akan dapat dibuktikan bahwa |XY –xy| < ε atau dengan kata lain XY= (xnyn) konvergen ke xy Tunjukkan bahwa cX = (cxn) konvergen ke cx ! (Pembuktian dengan menentukan barisan Y sebagai barisan konstan (c, c, c, …) ) (b) Ambil Z = (zn) merupakan barisan bilangan real tidak nol yang konvergen ke z, z ≠ 0, maka        barisan 

) akan konvergen ke  . 

     Z = (zn) konvergen ke z, maka untuk sembarang ε > 0, ∃ K1∈N, ∋ ∀ n ≥ K1 → |zn ‐ z|  0, sehingga bisa kita ambil ε = α, sehingga |zn ‐ z|  0, maka dapat disimpulkan lim

) =   

       Untuk membuktikan    konvergen ke  , dilakukan dengan menggunakan perkalian barisan           X yang konvergen ke x dan Y = 

) barisan yang tidak nol dan konvergen ke   , sehingga  

        X.Y konvergen ke        Catatan :  Apabila A = (an), B = (bn), C = (Cn), …, Z = (zn) merupakan barisan‐barisan bilangan real yang konvergen,  maka : 

(1) A + B + C + … + Z = (an + bn + cn + … + zn) merupakan barisan yang konvergen, dan lim(an + bn + cn + … + zn) = lim(an) + lim(bn) + lim(cn) + … + lim(zn) (2) A x B x C x … x Z = (an . bn . cn . … .zn) merupakan barisan konvergen, dan lim (an . bn . cn . … .zn) = lim(an). lim(bn).lim(cn). … . lim(zn) (3) Jika k ∈ N dan A = (an) barisan yang konvergen, maka lim( ) = (lim(an))k  

Teorema 1.3  Jika X = (xn) adalah barisan bilangan real yang konvergen, dan xn ≥ 0, ∀n∈N, maka   x = lim(xn) ≥ 0    Bukti:  Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi (mengapa?)  Andaikan x  0.  Karena X konvergen ke x, maka untuk sembarang ε > 0, ∃ K∈N ∋ x ‐ ε 0, maka  

 

                = 

 

 

 

|

 

X konvergen ke x, artinya … 

 

Sehingga, dengan mengambil K(ε) = …, maka |

√

,  

 ‐ √ | ≤ … 

            bahwa (

)  konvergen ke  √  

 ‐ √ | ...